EQ—代數上模糊集的相關性質

摘 要：美國控制專家Zadeh，在1965年發表了論文《Fuzzy sets》，標志著模糊數學這門學科的誕生，經過四十多年的發展研究，并且應用模糊理論的人越來越多，模糊理論取得了很大的進步，其應用也日益廣泛。目前模糊拓撲學、模糊信息檢索、模糊綜合評判等理論已形成。

關鍵詞：EQ-代數；模糊集；模糊準濾子

中圖分類號：O159 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2015） 02-0000-01

一、EQ-代數的相關定義

定義1.1 一個（2，2，2，0）型代數 ，如果滿足：

（1）〈E，∧，1〉是一個∧半格且有最大元1，如果a∧b=a，記a≤b；

（2） 是一個有單位元1的半群且 保序；

（3）a～a=1；

（4） ；

（5） ；

（6）（a∧b∧c）～a≤（a∧b）～a；

（7） ：

則稱E是一個EQ-代數。

注：運算∧是一個取下確界的運算， 被稱為積和～被稱為一個模糊等式。顯然，≤是偏序關系且對任意的 ，我們定義 。

定理1.2 在EQ-代數E中以下結果是成立：對任意的

（1） ；

（2）a=b，當且僅當a～b=1；

（3） ；

（4）a→b=（a∧b）～a；

（5）a～b≤a→b和a→a=1；

（6） ，如果E是線性序，則≤可用“=”代替；

（7）若a≤b，則a→b=1 a～b=b→a c→a≤c→b b→c≤a→c；

（8） 。

定理1.3 設E是一個EQ-代數，下列性質在E中成立：

（1）a～b=b～a；

（2） ；

（3）a～b≤（a～c）～（b～c）。

定義1.4 設 是一個EQ-代數，

（a）若對任意的 由a～1=1推出a=1則稱E為半可分的。

（b）若對任意的 由a～b=1推出a=b，則稱E為可分的。

二、可分EQ-代數的模糊準濾子的概念及性質

下面給出模糊準濾子的定義并討論它的一些性質。

定義2.1設 為一個可分的EQ-代數，A為E上的模糊子集，如果（1）A（1）≥A（x），對任意的 ；

（2）A（x）≥A（a）∧A（a→b），對 。

則稱A是E的模糊準濾子。如果對任意的 ，有 和 ，則模糊準濾子稱模糊濾子。如果對所有 有A（a→b）=1或A（b→a）=1，則模糊準濾子也稱是素模糊準濾子。

定理2.2 設A為可分的EQ-代數E上的模糊準濾子，對任意的 ，如果x≤y，則有A（x）≤A（y）。

證明：設 且x≤y，由定理1.1知x→y=1，所以

A（y）≥A（x）∧A（x→y）=A（x）∧A（1）=A（x），證畢。

為了討論可分EQ-代數 上模糊準濾子和準濾子的關系，我們給出模糊集的水平截集的概念。設 為一個可分EQ-代數，A為E上的一個模糊子集。對 ，定義

，稱Aλ為A的一個模糊水平截集。

定理2.3 A為可分的EQ-代數E上的一個模糊準濾子的充要條件是對任意 且Aλ≠φ，則Aλ為準濾子。

證明：必要性。設A是一個模糊準濾子，且對 。則 ，使A（x0）≥λ。由定義2.1知A（1）≥A（x0），所以 Aλ。如果 ，則A（a）≥λ，A（a→b）≥λ，再由定義2.1知A（b）≥λ，所以 。由準濾子定義知Aλ為準濾子。

充分性。設對任意 且Aλ≠φ有Aλ為準濾子。對任意 ，令λ0=A（x）。則。由題設條件， 是 的準濾子。由準濾子定義知1 ，故A（1）≥λ0=A（x）。設a，b ，令λ1=A（a）∧A（a→b），則a ，a→b 。故 為E的一個準濾子。由準濾子定義b 。所以A（b）≥λ1=A（a）∧A（a→b）。證畢。

定理2.4 設 為可分的EQ-代數，A為E上的一個模糊集，則A為模糊準濾子的充要條件是，對任意x，y，z ，由x→（y→z）=1可推出A（z）≥A（x）∧A（y）。

證明：設A為EQ-代數上的模糊準濾子，則由定義2.1（2）得，

A（z）≥A（y）∧A（y→z）。設x→（y→z）=1，則（x∧（y→z））～x=1。由E為可分的，我們有x∧（y→z）=x，從而x≤（y→z）。所以得A（z）≥A（y）∧A（y→z）≥A（y）∧A（x）。

反過來，假設對任意的 由x→（y→z）能推出A（z）≥A（x）∧A（y）。對任意的 由x→（x→1）=1和（x→y）→（x→y）能推出A（1）≥A（x）∧A（x）=A（x）和A（y）≥A（x→y）∧A（x）。

由定義2.1知 為模糊準濾子。證畢。

參考文獻：

[1]Davvaz B..Roughness in rings[J].Information Sciences，2004（164）：147-163.

[2]喬全喜.粗糙集代數與MV代數[J].模糊系統與數學，2008（03）：152-155.

[作者簡介]段喆杰（1985.07-），女，陜西渭南人，研究方向：模糊代數。