WSB基函數(shù)的Marsden恒等式

摘 要：為了進(jìn)一步發(fā)揮WSB基函數(shù)在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的優(yōu)越性，利用組合的方法得到WSB基的對(duì)偶基函數(shù)，然后再利用WSB基函數(shù)的對(duì)偶基推導(dǎo)出相應(yīng)的Marsden恒等式。

關(guān)鍵詞：對(duì)偶基函數(shù)；WSB基函數(shù)；Bernstein基函數(shù)；Marsden恒等式

中圖分類號(hào)：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-7712 （2014） 24-0000-02

自1974年Ball首次提出Ball基函數(shù)，王國謹(jǐn)?shù)腤ang-Ball曲線和said的said-ball曲線都與Bezier曲線有許多相似的性質(zhì)，如：凸包性、仿射不變性、端點(diǎn)插值性、對(duì)稱性、穩(wěn)定性等；鄔弘毅先后給出Wang-Ball曲線與的said-ball曲線統(tǒng)一表示，said-ball曲線與Bezier曲線的統(tǒng)一表示，朱曉臨先后給出Bezier曲線與Wang-Ball曲線的統(tǒng)一表示。Wang-Ball曲線與said-ball曲線和Bezier曲線的統(tǒng)一表示，且給出了相應(yīng)的基函數(shù)（即WSB基函數(shù)）。對(duì)偶基被廣泛的應(yīng)用于同一曲線不同基之間的相互轉(zhuǎn)換，Othman和xi給出奇次Said-Ball基函數(shù)的對(duì)偶基，Juttler給出了Bernstein多項(xiàng)式的對(duì)偶基，鄔弘毅深入研究Wang-Ball基函數(shù)的對(duì)偶基；鄔弘毅、張麗、檀結(jié)慶給出正規(guī)化對(duì)稱冪基的對(duì)偶基；鄔弘毅、張麗、檀結(jié)慶給出Wang-Bezier基函數(shù)的對(duì)偶基。本文利用對(duì)偶基理論，對(duì)WSB基函數(shù)作進(jìn)一步研究，推導(dǎo)出了WSB基的對(duì)偶基公式，用WSB基的對(duì)偶基推導(dǎo)出相應(yīng)的Marsden恒等式，同時(shí)利用WSB基的對(duì)偶基簡捷的導(dǎo)出WSB基到Bernstein基的轉(zhuǎn)換，這為充分利用Bezier曲線距離控制多邊形最近的優(yōu)點(diǎn)和Wang-Ball曲線與said-ball曲線有著更高的計(jì)算效率提供理論依據(jù)。

一、SB基函數(shù)的對(duì)偶基

定義1：給定R2或R3中n+1個(gè)控制點(diǎn){Pi}ni=0，對(duì)于給定的整數(shù)0≤u≤m-L+1；0≤L≤m；稱曲線 ；0≤t≤1；為n次WSB型曲線。

圖1 L，u取不同值時(shí)的七次WSB型曲線圖

其中wni（t）（i=0，1…，n）稱為WSB基函數(shù)。

當(dāng)n=2m+1時(shí)

當(dāng)n=2m時(shí)，

Theorem 1：當(dāng)n=2m+1時(shí)則有WSB基函數(shù)的對(duì)偶基為：

當(dāng)n=2m時(shí)則有WSB基函數(shù)的對(duì)偶基為：

二、Marsden恒等式

Theorem 2 假設(shè)l∈[0，n]，n=2m+1；則存在下列恒等式：

證明：

設(shè)當(dāng)l∈[0，2m+1]；由于span{ti}ni=0=span{wni（t）}ni=0；則我們可以利用wni（t）的線性組合來表示tl；即

根據(jù)對(duì)偶理論則系數(shù)ci滿足ci=λi（tl）；

當(dāng)i∈[0，m-L-u]時(shí)則

當(dāng)i∈[m-L-u+1，m-L]時(shí)，則

當(dāng)i∈[m-L+1]時(shí)，則

當(dāng)i∈[m-L+2，m]時(shí)，則

命題證畢。

注：對(duì)n=2m時(shí)我們可以采用相似的方法進(jìn)行證明。

三、結(jié)束語

WSB曲線擁有許多類似于Wang-Ball曲線，Said-Ball曲線和Bezier曲線的性質(zhì)。如：計(jì)算穩(wěn)定性，對(duì)稱性等；這篇文章利用對(duì)偶基理論進(jìn)一步研究WSB曲線的基函數(shù)且推導(dǎo)出其對(duì)偶基函數(shù)和相應(yīng)的Marsden恒等式，這篇文章為我們以后在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中應(yīng)用WSB基函數(shù)提供了有效的工具。

參考文獻(xiàn)：

[1]A A Ball.Introduction of the conic lofting tile [J].Computer-Aided Design，1974（04）：243-249.

[2]A A Ball.Description of the algorithms[J].Computer-Aided Design，1975（04）：237-242.

[3]王國瑾.高次Ball曲線及其幾何性質(zhì)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯，1987（01）：126-140.

[4]H B Said.A generalized ball curve and its recursive algorithm[J].ACM Transactions on Graphics，1989（04）：360-371.

[5]T N T Goodman，H B Said.Shape-preserving properties of the generalized Ball basis [J].Computer Aided Geometric Design，1991（08）：115-121.

[6]T N T Goodman，H B Said.Properties of generalized Ball curves and surfaces[J].Computer-Aided Design，1991（23）：554-560.

[7]H Y Wu.Unifying representation of Bézier curve and generalized Ball curves[J].Applied Mathematics： A Journal of Chinese Universities （Series B），2000（15）：109-121.

[8]汪志華，朱曉臨.Bezier 曲線與Wang-Ball曲線的統(tǒng)一表示[J].計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2008（20）：888-893.

[9]朱曉臨，汪志華.Bezier曲線與兩類廣義Ball曲線的統(tǒng)一表示[R].第四屆全國幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算學(xué)術(shù)會(huì)議，2009：13-16.

[作者簡介]唐桂林（1984.10-），男，安徽人，講師，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通信；吳長中（1978.07-），男，安徽人，講師，碩士研究生，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

[基金項(xiàng)目]W-S-B基函數(shù)的對(duì)偶泛函及其應(yīng)用研究（項(xiàng)目編號(hào)：YJ201305ZR）。