二元函數極限方法探討

【摘 要】給出了二元函數求極限的七種方法。

【關鍵詞】二元函數；二重極限

二元函數極限也稱為二重極限，在求二元函數極限時常把二元函數極限轉化為一元函數極限問題，再利用四則運算性質、夾逼定理、變量代換、兩個重要極限、無窮小替代、對函數作恒等變換約去零因子、洛比達法則等，或者利用函數連續的定義及多元初等函數的連續性等方法來實現。本文通過一些具體例題討論上述方法在二重極限中的應用，希望對初學者有所幫助。

1.二元函數極限的定義

如果對于任意給定的正數ε，總δ>0，使得當0<ρ=<δ時，有f（x，y-A）<ε成立，就稱常數A為函數f（x，y）當（x，y）→（x0，y0）時的極限。二元函數極限定義與一元函數極限概念類似，但二元函數由（x，y）→（x0，y0）時的路徑方式是任意的，導致二元函數較一元函數極限要復雜得多。

2.求二重極限的方法

2.1定義法（適用于事先知道極限值的計算證明）：

例1：證明=0

證明：∵

≤

y，故?ε>0，?δ=當x-0<δ，y-0<δ且（x，y）≠（0，0）時，有

-0≤

y<δ=ε，由極限定義有=0。

2.2夾逼準則法

例2： 計算

解：∵x+y≥2xy，∴0≤

≤，又∵=0，所以由夾逼定理知=0。

2.3利用重要極限

例3：計算

解：=.y=.y=2.

2.4分子有理化求極限

例4： 計算

解：原式===-

2.5利用無窮小性質

例5： 計算

解：∵=（x-1）（y-2），又∵≤，（x-1）（y-2）=0，∴原式=0。

2.6利用多元函數連續性

例6：計算極限

解：設f（x，y）=，∵f（x，y）是二元初等函數，在其定義區域內是連續函數，∴原式=f（1，0）=1n2

2.7利用極坐標代換求極限

例7：計算極限（x+y）1n（x+y）

解：設x=r cosθ

y=r sinθ，則當（x，y）→（0，0）時，有r=→0，所以，原式=1im1nr=0。

【參考文獻】

[1]徐家斌，李莉.用極坐標變換求二重極限的定理及推廣[J].內江師范學院學報，2008，10.

[2]張天德主編.微積分輔導及習題精解（第四版）[M].北京：新華出版社，2009.