基于模型參考自適應滑模技術的姿態跟蹤控制

李 黎，叢炳龍，呂高見，劉向東，陳 振

（1.航天東方紅衛星有限公司，北京 100094；2.北京理工大學 自動化學院，北京 100081；3.北京控制工程研究所，北京 100094）

0 引言

滑模控制（SMC）是一種魯棒性強且簡單易行的非線性控制技術，近年來被廣泛用于剛體航天器的姿態控制系統設計［1－4］。在滑模姿態控制器設計中，切換增益的選擇需事先知道外部干擾和慣量陣不確定性的上界信息。但在實際應用中，這些上界信息常難以獲得。為去除該限制，提出了ASMC方法［5－6］。與傳統SMC事先確定的常值切換增益不同，ASMC中的切換增益通過自適應機制進行實時更新。但對大角度姿態跟蹤來說，現有ASMC方法會出現切換增益過度適應問題，即自適應算法產生的切換增益值遠大于控制所需值。因非連續ASMC的抖振程度與切換增益值成正比，故過度適應的切換增益會加劇抖振問題。另對采用邊界層法連續化后的ASMC，過度適應問題則會導致控制力矩的大幅值跳變，不利于執行結構伺服系統對力矩的實現。

導致ASMC過度適應問題的原因是切換增益的自適應律中未考慮初始跟蹤誤差的影響。為消除初始跟蹤誤差對切換增益自適應過程的影響，本文將積分滑模的全局滑模擴展至模型參考策略中，對基于模型參考自適應滑模技術的姿態跟蹤控制進行了研究。

1 數學模型及問題描述

用修正羅德里格斯參數（MRP）表示航天器的姿態，并結合陰影 MRP解決其奇異性問題［7］。設σb，σd分別為航天器當前和期望的MRP向量，則定義MRP誤差為

式中：上標“＊”表示MRP的共軛，且σ＊d＝－σd；⊕為MRP的乘法算子，且

此處：‖·‖表示向量的2范數；上標“×”表示向量的反對稱矩陣算子，且對任一一個3×1維向量α＝［α1α2α3］T有

令ωb，ωd分別為航天器當前和期望的角速度向量，則定義相應的角速度誤差向量為

式中：R為姿態轉移矩陣算子，且

此處：I3為3×3維的單位矩陣。

式中：uc為控制力矩；d為包括外部干擾力矩和慣量陣不確定性影響在內的聚合干擾力矩，并假設其無窮范數有界；M為Jacobian矩陣算子，且

至此，本文的控制目標可描述為：針對式（3）、（4）的姿態跟蹤控制系統，當聚合擾動上界未知時，設計姿態跟蹤的ASMC算法實現對期望姿態軌跡的漸近穩定跟蹤。此外，切換增益在滿足控制所需的前提下應盡可能小。

2 基于模型參考的ASMC設計

為說明基于模型參考的ASMC能有效解決現有ASMC對切換增益的過度適應問題，將設計過程分為兩步：先假設聚合擾動上界‖d‖∞已知，設計姿態跟蹤的模型參考SMC算法，并揭示其全局滑模的特點，再針對‖d‖∞未知的情況，利用自適應機制對切換增益進行調節，并根據全局滑模的特點消除初始跟蹤誤差對切換增益自適應過程的影響，給出基于模型參考的ASMC設計。

2.1 姿態跟蹤的模型參考SMC設計

姿態跟蹤的模型參考SMC設計思路如下。針對期望姿態運動軌跡σd，ωd，結合給定的跟蹤響應G（σcd，ωcd）＝0（此處：σcd，ωcd為輔助跟蹤誤差變量；G為描述跟蹤指標的向量函數），反解出參考姿態運動軌跡σc，ωc（此處：σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0）；t0為初始時刻）。設計姿態跟蹤的 SMC 算法實現對參考姿態軌跡的全跟蹤，即對t∈［t0，∞）成立σb（t）≡σc（t），ωb（t）≡ωc（t），從而保證實際跟蹤誤差變量σbd，ωbd同樣滿足指標G（σbd，ωbd）＝0。相應的控制框圖如圖1所示。

圖1 姿態跟蹤的模型參考SMC設計Fig.1 Block diagram of model reference based adaptive SMC for attitude tracking

為簡單起見，選擇期望的跟蹤指標函數為

式中：kd＝2ξωn，kp＝ （ωn）2，且ξ＞0，ωn＞0，分別為二階系統的阻尼系數和無阻尼自振角頻率。

根據式（5）所確定的σcd，ωcd，結合σd，ωd，可得σc，ωc的表達式為

類似式（1）、（2），定義

對應的相對姿態動力學和運動學方程為

定義滑模函數

式中：λ為滑模函數切換，且λ＞0。設計姿態跟蹤的模型參考SMC算法為

式中：η為切換增益，且η＝‖d‖＋δ；

此處：δ為任意小的正數。則可得下述引理。

引理1：對式（8）、（9）所示的姿態跟蹤控制系統，式（11）的姿態控制律使σbc，ωbc始終處于式（10）確定的滑模面上，即對t∈［t0，∞）有S＝0成立。

式中：‖·‖1為向量的1范數。

因σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0），由式（7）可得σbc（t0）＝ωbc（t0）＝0，而由式（10）可知S（t0）＝0，繼而V1（t0）＝0。結合Lyapunov函數的正定性和其導數的負定性，可知V1（t）≡0，即S＝0。

在引理1的基礎上，可得下述推論。

推論1：對式（3）、（4）所示的姿態跟蹤控制系統，當采用式（11）所示的姿態控制律時，σbd，ωbd同樣滿足給定的跟蹤指標G（σbd，ωbd）＝0。

證明：根據引理1，有

式（12）兩端同時左乘矩陣M，有

求解上述微分方程可得：

繼而

綜合式（7）可知：σb≡σc，ωb≡ωc，即實現了參考姿態運動軌跡的全跟蹤。由此可得G（σbd，ωbd）＝0。

注1：從上述推導中可知模型參考SMC設計具有積分滑模控制的全局滑模特點，但積分滑模控制器在設計過程中需對標稱系統設計顯式標稱控制律，該控制律直接決定積分滑模函數。模型參考SMC只需確定期望的跟蹤響應，該響應可由標稱控制律得到，也可用軌跡規劃等方法獲得，因此更具設計靈活性。

2.2 姿態跟蹤的模型參考ASMC設計

因實際工程中聚合干擾結構的復雜性和不可預知性，‖d‖∞通常無法獲得，繼而無法確定式（11）中的切換增益η。為此，采用自適應機制對切換增益進行調節。令為式（11）中η的最終解且η＞‖d‖∞，且為的估值。此時，姿態跟蹤的模型參考ASMC算法設計為

式中：κ為調節自適應速率的增益，且κ＞0。則可得下述定理。

定理1：對式（8）、（9）所示的姿態跟蹤控制系統，當采用式（15）、（16）的模型參考ASMC算法時，閉環系統是漸近穩定的。

取t→∞時的極限，有

注2：由式（16）可知ASMC通過系統狀態偏離滑模面的程度調整切換增益值。為盡可能精確估計，希望聚合干擾是導致滑模面偏離的主要或全部原因，但現有ASMC并未考慮初始跟蹤誤差的影響。對大角度姿態跟蹤來說，初始跟蹤誤差所引起的滑模面偏離程度遠大于聚合干擾。繼而產生的切換增益會遠大于控制所需值。模型參考ASMC利用全局滑模的特點消除了初始跟蹤誤差對切換增益自適應過程的影響，因此能有效地解決過度適應問題。

注3：在實際應用中，為消除非連續ASMC中的抖振，可采用邊界層法對式（15）所示的姿態控制律進行連續化。此時，由于滑模函數值無法嚴格為零，自適應律使切換增益持續增加并最終無界。為解決該參數漂移問題，采用Sigma修正對式（15）、（16）進行修正。相應的連續化ASMC算法設計為

3 仿真測試

仿真中設＝diag［950 600 360］kg·m2，ΔJ為標 稱值 10%，外部干擾力矩為［sin0.1t2cos0.1t3sin0.2t］T×10－3N·m，初 始MRP姿態σb（t0）＝［0.3 －0.4 －0.5］T，初始姿態角速度為ωb（t0）＝［0 0 0］Trad／s，初始期望MRP姿態為σd（t0）＝［－0.2 0.3 0.1］T，期望角速度ωd（t0）＝［sin0.05t5sin0.02t3sin0.02t］T×10－3rad／s。為驗證本文方法的有效性，將文獻［6］提出的現有ASMC算法用于此姿態跟蹤控制。為便于比較，調節兩種控制器的參數使誤差MRP響應的調節時間均為30s，令記模型參考ASMC設計為R－ASMC，文獻［6］的 ASMC設計為C－ASMC。

設仿真采樣時間為0.001s以近似實現無窮頻率的切換動作。仿真結果如圖2～4所示。由圖2可知：當聚合干擾上界未知時，兩種ASMC設計均可保證誤差MRP的調節時間要求。由圖3可知：C－ASMC中的控制力矩出現了嚴重的抖振，RASMC中的抖振被有效抑制。因非連續ASMC算法的抖振程度與切換增益成正比，這意味著CASMC產生的切換增益遠大于R－ASMC，即出現了過度適應問題。這可由圖4的切換增益對比結果得到驗證。由圖4可知：C－ASMC的切換增益值約13.5，R－ASMC中的≈0.8，說明本文方法能有效解決現ASMC設計的過度適應問題。

圖2 兩種控制器作用下的誤差MRP響應Fig.2 Error MRP response under action of two controllers

圖3 兩種控制器的軸1控制力矩Fig.3 1st axis control torque of two controllers

圖4 兩種控制器的切換增益對比Fig.4 Switching gain of two controllers

測試兩種控制器邊界層滑模條件下的性能。設仿真采樣時間為0.2s，均用式（17）、（18）的sigma修正保證切換增益的一致有界性。因誤差MRP響應對比和切換增益對比類非連續ASMC的情況，本文僅給出連續化控制器的軸1控制力矩如圖5所示。由圖5可知：C－ASMC的控制力矩出現了大幅值跳變，在t≈13s時，控制力矩從－20N·m變為10N·m，這顯然不利于執行機構的伺服控制系統對該力矩指令的實現。

圖5 兩種連續化控制器軸1控制力矩Fig.5 1st axis control torque of two continuous controllers

4 結束語

本文對基于模型參考自適應滑模技術的姿態跟蹤控制進行了研究。將積分滑模控制的全局滑模特點擴展到模型參考控制策略，設計了剛體航天器姿態跟蹤的模型參考自適應滑模控制方法。該方法消除了初始跟蹤誤差對切換增益自適應過程的影響，有效解決了現有自適應滑模控制中的過度適應問題，且無需設計標稱控制器。仿真結果驗證了所提方法的有效性。與現有的ASMC算法相比，本文方法能很大程度減少切換增益值，且與積分滑模控制需要設計顯式的標稱控制律不同，基于模型參考的ASMC策略利用參考軌跡描述標稱姿態跟蹤系統的響應過程，可與現有的路徑規劃方法結合解決約束條件下的姿態跟蹤問題，設計上有較大的靈活性。

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