遠程導引脈沖變軌方案的有限推力修正

趙春慧，李仕海

（上海宇航系統工程研究所，上海 201109）

0 引言

國內外對遠程導引變軌方案設計進行了大量研究。文獻［1，2］介紹了遠程導引段的Hohmann交會、雙橢圓轉移和Lambert交會等方法；文獻［3］在考慮測控約束的條件下，針對燃料消耗最優、交會時間最優或兩者加權最優的目標進行了多脈沖變軌設計。上述脈沖式變軌是工程問題的簡化處理。實際變軌過程中，推力大小有限，推進并非瞬時進行，特別是容許過載較小的衛星進行大軌道轉移時，在軌道上存在較長的推力弧段，此時脈沖假設不再成立。隨著高性能，中、低推進水平的液體火箭發動機的廣泛采用，對有限推力變軌進行了大量研究［4－6］。但與脈沖變軌相比，有限推力變軌設計的理論研究和工程實踐尚不成熟。另外，設計對遠程導引變軌方案時，攝動模型一般較簡單（至多粗略估計J2項的長期效應），當飛行時間較長時攝動模型誤差對交會結果的影響的積累量較大，會使由設計獲得的變軌方案在實際攝動模型中難以實現追蹤航天器和目標航天器的攔截或交會。

為此，本文對多脈沖式變軌方案的轉換修正算法進行了研究。

1 基本原理

1.1 轉換原理

脈沖式變軌方案到有限推力式變軌方案的轉換如圖1所示。圖中：第i次速度脈沖Δvi作用在變軌時刻ti，第i次推力矢量Fi作用開始和結束時刻分別為tbi，tfi，1≤i≤n。

圖1 脈沖式變軌到有限推力式變軌

由牛頓第二定律，Fi的作用時間

式中：M為變軌過程中航天器的平均質量；F為發動機推力。F為常值時，式（1）可近似變為

此處：ω為有效排氣速度。

在確定Fi作用的開始和結束時刻后，還應確定其在作用時間內的推力方向，可用軌道系中的方位角Al和俯仰角Ei描述，即

式中：Δvix，Δviy，Δviz分別為 Δvi在軌道系x、y、z三軸的分量；Δvi＝｜Δvi｜。

發動機在工作過程中，其推力方向分為慣性系定向和軌道系（原點在航天器質心，z軸垂直向下指向地心；x軸在軌道平面內，垂直于z軸，指向前；y軸垂直于軌道平面，指向右）定向兩種。慣性系定向是指在發動機點火時刻將推力方向調至Ai，Ei，此后推力方向在慣性空間保持不變；軌道系定向是指在整個發動機工作時段內不斷調整推力方向，使之在軌道系中的方位角、俯仰角始終為Ai，Ei。工程中慣性系定向更易實現，軌道系定向可在固定方位、俯仰偏置角的準對地定向三軸穩定模式下操縱，或采用擺動發動機在對地定向三軸穩定模式下操縱。

1.2 修正原理

記遠程導引結束時刻tf時追蹤航天器和目標航天器的相對位置和相對速度矢量分別為ΔRf，Δvf，則實現交會的條件為

實現攔截的條件為

此修正問題實際是求解無約束優化問題

式中：X為優化變量（可選擇歷次變軌的起始、結束時間、推力方位角、俯仰角等變量）。

ΔRf，Δvf各有三個分量，當且僅當優化變量個數≥6時，交會問題可解；當且僅當優化變量個數≥3時，攔截問題可解。

一般，由初始脈沖式變軌方案轉換得到的有限推力式變軌方案為此優化問題提供了一組較好的初值。只要選擇合適的優化算法并構造合適的優化變量和目標函數，此優化問題能快速收斂至最優解。

1.3 算法流程

算法流程如圖2所示。其中：修正算法模塊為核心部分，包括優化算法模塊和預報器模塊兩部分。

L－BFGS－B算法依賴于模型梯度信息，可求解精確的局部最優解，對初值依賴性較強［7］。遺傳算法不依賴于模型梯度信息，使用隨機轉換原則工作，可將結果優化至全局最優解附近，對初值依賴性弱［5］。當優化問題初值較好時，可直接用L－BFGSB算法求解；當初值不好時，可先用遺傳算法將結果優化至全局最優解附近，再用L－BFGS－B算法求取精確的全局最優解。

遺傳算法設計流程包含參數編碼、初始群體的設定、適應度函數的設計、遺傳操作設計和控制參數設定五個基本要素。其中，參數編碼將需優化的參數結合入遺傳算法，主要有二進制編碼、浮點數編碼、動態變量編碼等方式。本文問題為多約束多目標連續變量優化問題，故采用浮點數編碼。

圖2 修正算法流程Fig.2 Modified algorithm flowchart

控制參數選擇對遺傳算法收斂的作用非常重要。本文通過對交叉概率和變異概率的控制，使遺傳算法達到自適應控制，在算法的速度和尋優能力間取得了較好平衡。

STK／Astrogator預報器是STK軟件中的軌道機動模塊，此模塊（通過STK／X技術嵌入程序）能提供真實攝動環境中的精確軌道數據，但存在仿真速度慢的問題；J234軌道預報器是指在無推力作用段和推力作用段分別采用J234解析軌道預報器和Cowell數值積分法進行軌道預報，一般情況下其精度能滿足要求，具有仿真速度快的優點。

2 優化問題分析

空間軌跡優化是多變量復雜問題，非線性程度高，收斂性與初值誤差、優化變量和目標函數選取關系密切。

2.1 初值誤差分析

初值誤差為轉換誤差和攝動模型誤差。

不同工況下由脈沖轉換為有限推力后的位置誤差如圖3所示。圖中：實線表示軌道系定向；虛線表示慣性系定向。由圖可知：脈沖速度越小，發動機的推力和衛星初始質量之比越大，轉換誤差越小；推力方向在軌道系定向的轉換誤差小于在慣性系定向的誤差。

圖3 不同工況下轉換位置誤差Fig.3 Transfer position error under various states

對攝動誤差，其主要影響因素是地球非球形引力勢。一般飛行時間越長，軌道高度越低，由攝動模型帶來的誤差就越大。

初始設計的多脈沖式變軌方案，轉換為有限推力式后，在真實攝動環境中仿真，交會誤差可達102～103km量級。

2.2 優化變量選擇

2.3 目標函數選擇

對攔截，可直接將ΔRf作為目標函數，即

式中：Δx，Δy，Δz為攔截時刻兩航天器在慣性坐標系或軌道坐標系中相對位置的三軸分量。

對交會，若用ΔRf，Δvf構造目標函數，則因兩者量綱和量級均不同，目標函數相對優化變量的敏度較大，優化變量的微小變化就會引起目標函數值的劇烈振蕩，目標函數隨優化變量變化的曲線形態較惡劣，不利于優化問題的快速搜索求解。用相對軌道要素構造目標函數，可解決此問題［3］。

定義相對軌道要素型的目標函數

式中：D，Δex，Δey，Δix，Δiy，ΔM′為交會時刻兩航天器的相對軌道要素；at0為初始時刻目標航天器的半長軸；Tt0為初始時刻目標航天器的軌道周期［8］。

相對軌道要素的定義如圖4所示。圖中：S0為基準航天器軌道；S1為伴隨航天器軌道；O－XnYnZn為基準航天器節點坐標系Sn。

圖4 相對軌道要素定義Fig.4 Definition of relative orbit elements

在攝動條件下，瞬時軌道要素時刻在變化，而平均軌道要素則是一組變化很慢的量。同理，為使目標函數隨優化變量變化的曲線性態更平緩，更利于優化問題的快速求解，目標函數中所用的相對軌道要素采用交會時刻兩航天器的平均軌道要素求得。

3 算例與分析

設初始時刻追蹤航天器和目標航天器的軌道參數見表1。表中：a為半長軸；e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點赤經；ω為近地點幅角；f為真近點角。令追蹤航天器的初始質量（包括燃料）1 000kg，變軌發動機推力50N，比沖300s。工程任務要求：將初始設計的脈沖式變軌方案轉換為有限推力式并進行修正，使交會時刻兩航天器的相對距離在15km以內，以便順利轉入近程階段。

表1 初始瞬時軌道根數Tab.1 Initial instance orbit elements

將初始設計得到的4次脈沖式變軌方案轉換為有限推力變軌方案，結果見表2。

表2 轉換后的有限推力變軌方案Tab.2 Finite thrust orbital transfer after transition

采用轉換后的有限推力變軌方案，真實飛行環境中，遠程導引結束時刻兩航天器的交會誤差為176.74km（推力方向軌道系定向）；796.08km（推力方向慣性系定向）。兩種定向的優化收斂過程分別如圖5、6所示。

圖5 推力方向軌道系定向修正收斂Fig.5 Modified convergence with orbit system orientation in thrust direction

圖6 推力方向慣性系定向修正收斂Fig.6 Modified convergence with inertial system orientation in thrust direction

初始設計脈沖式變軌方案和不同修正結果的有限推力式變軌方案的燃料消耗為：脈沖式變軌方案37.117kg；推力方向軌道系定向（修推力方向）38.285kg；推力方向軌道系定向（不修推力方向）38.455kg；推力方向慣性系定向（修推力方向）40.424kg；推力方向慣性系定向（不修推力方向）49.309kg。

實際上，脈沖式變軌方案只是一種簡化處理，實際工程中需轉化為有限推力方案實施。用本文的方法進行轉化和修正，由上述不同方案結果可知：有限推力式變軌方案消耗的燃料多于脈沖式變軌方案，這是因為在變軌弧段過程中存在引力損失；推力方向在慣性系定向消耗的燃料多于軌道系定向，是因為慣性系定向的引力損失大于軌道系定向；不修正推力方向的燃料消耗多于修正推力方向，是因為通過修正推力方向可通過尋優找到此種推力定向方式下（軌道系或慣性系中）引力損失最小要求的推力方位角和俯仰角。

4 結束語

本文對遠程導引脈沖變軌方案的有限推力修正進行了研究，可基于真實飛行環境對變軌方案進行修正，仿真算例證明了各種工況下算法的有效性。由仿真結果可知：雖然推力方向在慣性系中定向較軌道系中定向操縱更容易，但消耗燃料更多。修正過程中可通過優化推力方位角、俯仰角，實現節省燃料目的。

［1］ 肖業倫.航天器飛行動力學原理［M］.北京：宇航出版社，1995：89－94.

［2］ BATE R R.航天動力學基礎［M］.吳鶴鳴，李肇杰（譯）.北京：北京航空航天大學出版社，1990：201－246.

［3］ 石 俊.航天器快速軌道機動策略規劃研究［D］.北京：北京航空航天大學，2007.

［4］ LAWDEN D F.Optimal trajectories for space navigation［M］.London：Butter Worths，1963.

［5］ 湯一華，陳士櫓，徐 敏，等.基于遺傳算法的有限推力軌道攔截優化研究［J］.西北工業大學學報，2005，23（5）：671－675.

［6］ 王小軍，吳德隆，余夢倫.最少燃料消耗的固定推力共面軌道變軌研究［J］.宇航學報，1995，16（4）：9－15.

［7］ BYRD R H，LU P，NOCEDAL J，etal.A limited memory algorithm for bound constrained optimization［J］.SIAM Journal on Scientificand Statistical Computing，1995，16（5）：1190－1208.

［9］ 楊 宇，韓 潮.編隊飛行衛星群描述及攝動分析［J］.中國空間科學技術，2002，22（2）：15－23.