基于木星借力的太陽極軌探測器軌道設計方法

董澤政，李綠萍，張靖沛，張 嵬，陳昌亞

（1.上海衛星工程研究所，上海 200240；2.上海航天技術基礎研究所，上海 201109）

0 引言

太陽是距離地球最近的恒星，也是支撐人類活動的最重要能源。對太陽進行全方面、深入觀測，進一步提高人類對太陽的認識有重要的現實意義。太陽極軌探測器運行于日心大傾角軌道，可飛抵太陽兩極區域并繞行運轉，對太陽表面實現全方位的觀測，對了解太陽活動分布和演化有重要意義。美國于1990年10月發射了尤利西斯探測器，在軌服役近17年，尤利西斯探測器發回的數據進一步加深了科學家對太陽的認識，對探測太陽兩極做出重要貢獻。

日心大傾角軌道設計方法是實現太陽極軌探測的前提。與一般深空軌道不同，日心大傾角軌道并非以某行星作為目的地，而以特定日心軌道為目標，由此產生實現的特殊性。目前，國內外對日心大傾角軌道設計方法的研究并不多，尤利西斯探測器的參考軌跡特征報告中有所提及，但僅限對軌道設計結果的描述，未提供可行的設計方法［1，5］。本文對日心大傾角軌道的實現方式和借力方案進行了分析，研究了步軌道設計方法。

1 日心大傾角軌道實現方式

分析地球直接發射和不同行星借力方式下實現日心大傾角軌道對運載能力的要求和可能性。考慮地球直接發射的方式，如圖1所示。

以黃道面夾角60°～90°為目標傾角，從地球直接發射，所需速度增量

圖1 地球直接發射進入日心大傾角軌道Fig.1 Geometry of larger inclination heliocentric orbit launched from earth directly

式中：μ為太陽引力常數；rp為目標軌道近點日心距；ra為目標軌道遠點日心距；i為目標軌道傾角；ve為地球公轉速度，據此得到地球直接發射C3與rp，i的關系如圖2所示。圖中：C3為地球逃逸速度v∞的平方。由圖2可知：若從地球直接發射，實現日心大傾角軌道的C3需求為700～1 400km2／s2，遠超出目前運載火箭的實際能力，即目前技術條件下從地球直接發射進入日心大傾角軌道是不可行的。應考慮通過行星借力方式實現（如圖3所示），從地球發射探測器，使之與某行星交會，通過飛越行星過程中的“借力效應”獲取大傾角軌道所需的速度增量。

圖2 地球直接發射下實現日心大傾角軌道對運載能力C3要求Fig.2C3requirement to larger inclination heliocentric orbit launched from earth directly

圖3 行星借力進入日心大傾角軌道Fig.3 Geometry of larger inclination heliocentric orbit by planet gravity-assists

太陽系各大行星的公轉軌道基本參數見表1。

表1 太陽系各大行星公轉軌道參數Tab.1 Heliocentric orbit parameters of solar system planets

由表1可知：除水星外各行星運行軌道傾角均小于3°，水星傾角也不足8°。從地球發射至其他行星的探測器星際轉移軌道將近似于黃道面，類似于地球發射，不同行星借力實現日心大傾角軌道的速度增量

式中：［vx0vz］T為探測器飛越前的速度矢量。由此可粗略計算出不同行星軌道借力進入日心大傾角軌道所需速度增量見表2。

表2 不同天體借力進入日心大傾角軌道的速度增量需求Tab.2 Δvrequirements of larger inclination heliocentric orbit by different planet gravity-assists

根據文獻［1，2］，行星飛越速度增量

式中：v∞／B為探測器與飛越星體的相對速度；rp1為飛越軌道的近心點半徑；μB為飛越天體的引力常數。實際上rp1存在最小值，當rp1為飛越星體半徑（或大氣層半徑）時，ΔvB取局部最大值，進一步分析可知當v∞／B與借力天體的第一宇宙速度相等時，可得ΔvB的最大值，且其數值與第一宇宙速度相等。當rp1取最小值時，由式（3）可得不同v∞／B下各星體提供ΔvB如圖4所示。

圖4 不同相對速度時行星借力最大速度增量Fig.4 MaximumΔvunder various relative velocity of planet gravity-assists

比較圖2、表2可知：金星、地球和火星能提供的最大速度增量無法滿足日心大傾角軌道轉移需求；木星和土星可滿足速度增量需求。若選擇的借力天體越遠，運載發射負擔越重，任務實施時間越長，因此建議選擇木星作為飛越天體，以獲得日心大傾角軌道所需的速度增量。

2 軌道設計

采用地球發射木星飛越的方式實現日心大傾角軌道，軌道設計將包括地球－木星轉移軌道和木星借力軌道兩部分。

2.1 星際轉移軌道設計

探測器通過運載工具提供速度增量，從地球逃逸并經日心軌道運動至木星周圍。這類典型的星際轉移軌道設計可通過蘭伯特問題解決：給定兩點位置矢量r1，r2及轉移時間Δt，可確定轉移軌道的飛行軌跡。工程實際中，習慣將地球發射時間t0、木星借力時間tf作為設計變量，由此根據星歷計算出地球和目標天體的空間位置，完成轉移軌道設計。具體可表示為

式中：lambert（t0，tf）為蘭伯特問題求解，具體可參見文獻［3］。通過求解蘭伯特問題，可算出地球逃逸所需C3能量及木星進入日心速度vin，這兩個參數將分別作為地球逃逸軌道設計和木星借力軌道設計的輸入。

2.2 木星借力軌道設計

為便于日心大傾角軌道設計，建立如圖5所示木星借力坐標O-XYZ：坐標系原點O位于木星；OX軸指向為借力時木星相對太陽的矢量；OZ軸垂直木星公轉軌道面；OY軸與OX、OY軸構成右手系，指向木星前進方向。

圖5 木星借力坐標系Fig.5 Reference system of Jupiter gravity-assist

木星公轉軌道傾角較小（iJ≈1.309°），XOY平面近似于黃道面，另忽略木星影響球的影響。在O-XYZ坐標系中，探測器沿日心地木轉移軌道到達木星附近的相對速度vin已知，而借力后日心速度vout是目標軌道傾角i0、近日點日心距rp0、遠日點日心距ra0、近日點幅角ω0和真近點角θ0的函數。定義vout的分量形式可表示為

式中：vx，vy，vz分別為借力后日心速度vout在O-XYZ系OX、OY、OZ軸方向的分量，且

若探測器地木轉移軌道ra0與木－日距離r接近時，可認為θ0≈180°，而探測器地木轉移軌道近日點接近黃道，即ω0≈0°，180°。由此可算得探測器日心速度vout的分量為

式中：e為木星公轉軌道的偏心率。

據此可得飛越后的木星相對速度

同樣，飛越前木星相對速度

則由飛越前后的相對速度矢量vrin，vrout，可計算木星飛越的近木點木心距離和傾角，具體如下：為實現進出木星相對速度vrin，vrout的大小相等，假設在近木點位置存在一個脈沖機動，木星借力幾何如圖6所示。圖中：真實運動軌跡由脈沖前后的兩條雙曲線軌道軌跡拼接而成。兩條軌跡的近地地心距相同。在近地點進行深空機動（DSM）的原因是此時探測器動能最大，相同的速度增量可獲得最多的能量增加。由圖6可知：速度變化角度α可分為α1，α2兩部分，分別為過近地點前后的速度方向變化角度。由文獻［4］，

式中：vi0，vo∞分別為進出木星相對速度vrin，vrout的大小。由此可得相對速度的變化角

由式（18）用迭代算法可解出rp。

對雙曲線軌道長半軸a大小取決于剩余速度v∞，即進出木星相對速度vrin，vrout的大小，有

圖6 木星借力幾何描述Fig.6 Geometry of Jupiter gravity-assist

能量式為

式中：v為探測器任一位置的速度大小；μ1為中心天體的引力常數；r為探測器至中心天體質心的距離。由此可得近木點處的速度

因此在近地點處的速度增量

由此計算出了飛越時所需要的速度增量Δv以及近點地心距rp。用文獻［4］中的方法可計算出瞄準的通徑

2.3 日心大傾角軌道設計方法

根據前文分析，在已知t0，tf時可設計出確定的星際轉移軌道和木星借力軌道，并可據此計算該方案的包括地球逃逸C3能量、木星借力脈沖速度Δv、木星借力木心距rp、日心軌道半長軸、日心軌道傾角等指標。通過對設計指標的尋優，可完成日心大傾角軌道的優化設計。地球發射、木星借力至太陽極軌探測器軌道的初步設計方法如下：

a）初步確定發射日期、借力日期范圍；

b）根據t0，tf，通過蘭伯特問題求解得到地球逃逸速度增量Δvesp和木星進入時日心速度矢量vin；

c）根據i0，rp0，ra0，ω0，θ0的設計要求，由式（5）～（10）或式（11）～（14）計算vout；

d）由式（14）、（15）計算借力前后vrin，vrout；

e）根據vrin，vrout，用式（16）～（22）計算木星借力脈沖機動ΔvDSM和rp；

f）重復步驟b）～e），根據尋優算法優選轉移方案。

3 仿真

尤利西斯探測器是美歐合作的太陽極軌探測器，于1990年10月6日11點47分由發現號航天飛機發射入軌，經16個月的地木轉移后于1992年2月8日到達近木點，隨后進入近日點1.34AU、遠日點5.4AU、傾角80°的太陽極軌軌道。用本文方法分析尤利西斯探測器發射窗口，所得目標軌道傾角80°時發射－到達時間與近日點日心距rp0和地球逃逸C3的關系如圖7所示。

圖7 發射－到達時間與近日點日心距和發射C3需求的關系（目標軌道傾角80°）Fig.7 Date of launch and arrival under launchC3and heliocentricrp

根據尤利西斯軌道設計要求，近日點距離范圍應為1.28AU≤rp≤2.3AU，而探測器運載發射的C3最大能力為128.94km2／s2，得到發射窗口為發射時間1990年10月3日至1990年10月22日［5］。尤利西斯探測器實際發射日期為1990年10月6日，設計得到地木轉移軌道和木星借力軌道參數見表3［5］。

表3 尤利西斯探測器軌道設計結果Tab.3 Characteristics of Ulysses orbit designation

根據表3中的參數，設計1990年10月6日地球發射，1992年2月8日木星借力的太陽極軌探測器軌道如圖8所示。可見本方法軌道設計結果與尤利西斯探測器軌道參數基本吻合，證明了本文方法在處理此類軌道設計問題中的有效性：在固定發射時間和到達時間時，發射所需C3和主要日心軌道參數誤差為2%～3%，設計結果與尤利西斯軌道參數基本吻合。

圖8 尤利西斯探測器運行軌道Fig.8 Trajectory of Ulysses mission

4 結束語

本文對地球發射至太陽極軌探測器軌道設計方法進行了研究，分析了基于行星借力實現日心大傾角軌道的可行性，通過分析借力前后各軌道參數的關系給出借力參數計算方法并進行適當簡化，給出太陽極軌的設計方法。用本文方法對尤利西斯探測器進行軌道設計，結果與實際軌道參數基本吻合，表明本文方法可用于此類軌道的初步設計。

［1］ 趙 鈞.航天器軌道動力學［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2011.

［2］ CURTIS H D.軌道力學［M］.周建華，等（譯）.北京：科學出版社，2009.

［3］ OLDENHUIS R P S.Trajectory optimization for a mission to the solar bow shock and minor planets［M］.Delft：Delft University of Technology，2010.

［4］ CAPDEROU M.Satellites orbits and missions［M］.Berlin：Springer，2005.

［5］ POJMAN J L.Ulysses：reference trajectory characteristics［R］.California Institute of Technology：JPL，1990.