“畫(huà)圖”學(xué)數(shù)學(xué)

[思考背景]

2010年，蔡金法教授主持新世紀(jì)高研班研修活動(dòng)時(shí)提供了一道“帽子平均數(shù)”問(wèn)題，并給出了3個(gè)學(xué)生的不同解題記錄（如下圖）。

蔡教授請(qǐng)67位學(xué)員們（教材編委、專(zhuān)家學(xué)者、30位高研班學(xué)員、部分優(yōu)秀教研員和骨干教師）對(duì)這3個(gè)學(xué)生的解題記錄進(jìn)行評(píng)分。最高分4分，最低分是0分，按0、1、2、3、4五個(gè)等級(jí)來(lái)評(píng)分。評(píng)分結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

蔡教授又出示了2002年對(duì)59名中國(guó)教師和52名美國(guó)老師做的評(píng)分對(duì)比（如下圖）。

這組數(shù)據(jù)中，兩國(guó)教師對(duì)A和C的態(tài)度都差不多，差異最大的是B，中國(guó)老師給出的平均值只有3.17（總分是4分），很多的中國(guó)老師都給2分或者是3分，個(gè)別的給1分。理由是這樣的解答不具備一般性，當(dāng)數(shù)字變得很大時(shí)畫(huà)圖太麻煩了。蔡教授還提到他2003年來(lái)內(nèi)地講學(xué)時(shí)與老師們也討論過(guò)這道題目，老師們竟然大喊畫(huà)圖的B不是數(shù)學(xué)。

從相隔8年的前后兩次調(diào)查數(shù)據(jù)的對(duì)比中不難發(fā)現(xiàn)，新課程已經(jīng)讓中國(guó)教師在對(duì)待學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題的態(tài)度上發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變。

2011年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》正式頒布使用后，相應(yīng)的教材編寫(xiě)也都做了調(diào)整。第四版北師大數(shù)學(xué)教材就提供了很多學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題的實(shí)例（如下圖），特別注重了對(duì)學(xué)生畫(huà)圖的關(guān)注。如：畫(huà)圖形表示數(shù)的大小；畫(huà)圖表示口算的過(guò)程；畫(huà)數(shù)線表示數(shù)的增減變化；把撥計(jì)數(shù)器的過(guò)程畫(huà)出來(lái)；點(diǎn)子圖做乘法；畫(huà)圖記錄平均分的過(guò)程；用圖幫助計(jì)算有余數(shù)除法；畫(huà)圖解決有關(guān)經(jīng)過(guò)時(shí)間的問(wèn)題……

畫(huà)圖對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟有哪些幫助呢？教師又該如何培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖能力呢？2014年4月，大慶市教師進(jìn)修學(xué)院教研轉(zhuǎn)型，學(xué)科中心組成員引領(lǐng)著老師們做小課題研究。我?guī)е鴮?duì)畫(huà)圖學(xué)數(shù)學(xué)的思考開(kāi)始在自己的課堂上大膽嘗試，并在下校聽(tīng)課中特別關(guān)注學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題的情況，積累了一些案例。

[實(shí)踐案例]

1.借助圖示認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念，理解意義。

案例1：大慶市祥閣學(xué)校劉娜老師執(zhí)教的三年級(jí)上冊(cè)“分一分“課上，問(wèn)題是“把1個(gè)蘋(píng)果平均分給兩個(gè)人，每人分到多少？”“你能用自己的方式表示一半嗎？”學(xué)生在充分的合作交流后輪流展示成果。學(xué)生們的方法之多，讓任課老師及聽(tīng)課教師都眼前一亮。一女生先板帖一張?zhí)O果圖被任意分成兩份的，并向全體學(xué)生提問(wèn)：這樣分可以嗎？為什么？得到否定答復(fù)后，再出示分得一樣大小的“半個(gè)蘋(píng)果”（如下圖），幫助學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)是建立在平均分的基礎(chǔ)上的。

三年級(jí)只要求初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，不研究分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可是學(xué)生卻提出了有關(guān)的問(wèn)題：對(duì)用表示四份中的兩份提出質(zhì)疑（如右上圖）。這時(shí)，劉老師不急于釋疑，而是把問(wèn)題交給學(xué)生去討論、去辨析。學(xué)生借助直觀的圖示明白了這其中的異同，也促進(jìn)了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，更對(duì)后續(xù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

2.利用圖示解釋計(jì)算過(guò)程，明晰算理。

案例2：大慶市萬(wàn)寶學(xué)校王麗艷老師的二年級(jí)下冊(cè)《撥一撥》課上，學(xué)生計(jì)算三位數(shù)減法時(shí)，有的畫(huà)數(shù)線計(jì)算，有的先用計(jì)數(shù)器撥一撥，又在圖上畫(huà)珠子表示“退位減”的過(guò)程。最后又把圖示與豎式筆算相對(duì)照，在溝通算法中理解“退一當(dāng)十”的道理，幫助學(xué)生明晰算理，理解和建立十進(jìn)位制。

3.利用圖示分析數(shù)量關(guān)系、解決問(wèn)題。

案例3：我在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《小熊購(gòu)物》一課時(shí)，提出問(wèn)題后，學(xué)生嘗試解答。有的分步計(jì)算，有的列出綜合算式，還有的同學(xué)畫(huà)出了示意圖（如下圖）。借助現(xiàn)實(shí)情境，明確要先算出4個(gè)面包的價(jià)錢(qián)再加上1個(gè)蛋糕的價(jià)錢(qián)。學(xué)生借助示意圖分析數(shù)量關(guān)系，看懂了綜合算式的每一步表示的意思，并結(jié)合圖示總結(jié)出乘加混合運(yùn)算“先乘后加”的運(yùn)算順序。

案例4：在大慶市祥閣學(xué)校白季老師的五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）》課上，學(xué)生分享了利用線段圖解決問(wèn)題的方法后，另一組學(xué)生又展示了畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖解題的方法，這組學(xué)生制作的學(xué)具特有創(chuàng)意，先粘上一張小正方形紙片，用磁扣蓋住，講到“多”時(shí)，學(xué)生把磁扣拿開(kāi)，把正方形小紙片翻轉(zhuǎn)下來(lái)，背面居然是綠色的，一下子突破了“多誰(shuí)的”的難點(diǎn)（如下圖），真是讓老師自愧不如。

通過(guò)案例研究，我看到了畫(huà)圖對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，為自己的執(zhí)著思考和大膽嘗試感到高興。同時(shí)，回顧整個(gè)研究的過(guò)程，我很樂(lè)于把自己的感受和體會(huì)分享給大家。

[經(jīng)驗(yàn)分享]

1.重視畫(huà)圖價(jià)值，轉(zhuǎn)變觀念。

目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的畫(huà)圖意識(shí)很薄弱。造成這種現(xiàn)狀的原因更多的是在教師。很多教師要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要有解題過(guò)程，這個(gè)過(guò)程即“算式和得數(shù)”。而教師對(duì)于學(xué)生畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題的做法并不認(rèn)可，讓學(xué)生形成了“唯算式”的定式思維。所以要想讓學(xué)生畫(huà)圖學(xué)數(shù)學(xué)，教師一定要轉(zhuǎn)變觀念，允許和鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題。

2.培養(yǎng)畫(huà)圖意識(shí)，養(yǎng)成習(xí)慣。

記得很多老師反映，在五年級(jí)須要畫(huà)線段圖解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不喜歡畫(huà)線段圖，也不會(huì)畫(huà)線段圖，導(dǎo)致弄不清數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題困難。畫(huà)圖能力不是一蹴而就的，須要從小培養(yǎng)，要養(yǎng)成看到問(wèn)題就畫(huà)一畫(huà)的習(xí)慣。一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)開(kāi)始，就要讓學(xué)生用圖來(lái)表示數(shù)目；初學(xué)加減法，更要畫(huà)圖來(lái)表示數(shù)目的增減變化。長(zhǎng)此以往，學(xué)生有了畫(huà)圖意識(shí)，形成了畫(huà)圖的習(xí)慣，五年級(jí)的線段圖就不再是可有可無(wú)、累贅的“附加品”，而是解決問(wèn)題的得力“好幫手”了。

3.分享畫(huà)圖策略，積累經(jīng)驗(yàn)。

最初，學(xué)生畫(huà)的圖五花八門(mén)，甚至和數(shù)學(xué)一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有。但是，孩子們之間是能看懂的。所以我經(jīng)常讓學(xué)生在畫(huà)圖后同桌之間，小組內(nèi)部說(shuō)一說(shuō)，把自己的圖介紹給同學(xué)。在全班分享時(shí)，讓看懂別人的圖的同學(xué)來(lái)講一講。在相互交流分享中，學(xué)生欣賞、比較、借鑒、反思、調(diào)整著，畫(huà)圖意識(shí)增強(qiáng)了，經(jīng)驗(yàn)也逐步地積累、豐富著。

4.指導(dǎo)畫(huà)圖方法，提升能力。

盡管畫(huà)圖要呈現(xiàn)學(xué)生的原始想法，但畫(huà)圖的方法還是有必要得到及時(shí)提升的。學(xué)生畫(huà)的圖可能光注重了美感，忽略了數(shù)學(xué)信息，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖示的“數(shù)學(xué)味”；隨著數(shù)量的變化，教師要提醒學(xué)生有時(shí)不必畫(huà)實(shí)物，可以用圖形代替實(shí)物；有時(shí)不必把所有數(shù)量都畫(huà)出來(lái)，只須配合上一個(gè)數(shù)字就可以了……要體現(xiàn)畫(huà)圖的“簡(jiǎn)潔美”；隨著年級(jí)的升高和題目難度的變化，教師要提醒學(xué)生在畫(huà)圖時(shí)正確表達(dá)數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“關(guān)聯(lián)性”等等，逐步提升畫(huà)圖的能力。

5.形成畫(huà)圖思想，創(chuàng)新思維。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增了核心概念“創(chuàng)新意識(shí)”，并明確提出：“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中。”學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。畫(huà)圖學(xué)數(shù)學(xué)能夠體現(xiàn)學(xué)生的獨(dú)立思考和學(xué)會(huì)思考，是創(chuàng)新的核心。給學(xué)生畫(huà)圖的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生形成畫(huà)圖思想，發(fā)展思維，讓創(chuàng)新成為可能。

（作者單位：大慶市萬(wàn)寶學(xué)校）