耦合網絡邊相繼故障模型研究

王建偉，蔣 晨，孫恩慧

東北大學 工商管理學院，沈陽 110819

耦合網絡邊相繼故障模型研究

王建偉，蔣 晨，孫恩慧

東北大學 工商管理學院，沈陽 110819

針對耦合網絡上頻發的相繼故障問題，通過分析邊級聯故障蔓延的動力學演化機制，構建耦合網絡上邊相繼故障模型。以提高耦合網絡整體抵制相繼故障能力為出發點，依據不同度量指標，多角度分析具有不同耦合模式的耦合網絡魯棒性與模型參數之間的關聯性，研究耦合網絡間耦合模式和網絡基本模型等因素對相繼故障的影響，探討耦合網絡邊相繼故障模型的整體保護策略。研究結果表明，同配連接模式能夠增強耦合網絡抵制級聯故障的魯棒性；相互依賴的兩個耦合網絡之間拓撲結構越相似，網絡抵制相繼故障的魯棒性越強；耦合網絡魯棒性與網絡平均度正相關；適當的增加耦合網絡間對稱邊數量，能夠有效提高網絡的魯棒性。最后，應用邊相繼故障模型在耦合電力網絡上進行實例分析。

相繼故障；耦合網絡；連接模式；魯棒性

1 引言

近年來，國內外突發事件頻繁發生，如意大利大停電事故、禽流感病毒傳播、松花江水污染、印度洋海嘯、金融危機等，這些事件都可以看作是相繼故障引發的災難。大規模相繼故障一旦發生，往往會給國家造成嚴重的經濟損失，也會對人們生活帶來諸多不利的影響。為應對相繼故障引發的各種災難，國內外學者展開了廣泛的研究。已有對相繼故障領域的研究主要聚焦在單層次網絡上，但通過對2003年意大利停電事故導致互聯網癱瘓以及2012年印度斷電事故導致一系列連鎖災害等突發事件的驗證發現，許多關鍵網絡系統上發生的相繼故障災難大多是由于網絡間具有耦合作用關系導致的。在耦合網絡中，一層網絡上出現微小的故障，可能導致多層相互依賴的網絡間發生故障的連鎖反應。并且，許多關于耦合網絡相繼故障模型的研究中僅考慮網絡節點的行為，忽略了邊在相繼故障蔓延中的作用。另外，由于耦合網絡的研究起步較晚，對于控制相繼故障發生、提高網絡魯棒性等方面尚未進行充分的研究，雖然僅僅依靠單層次網絡上相繼故障模型來探討有效的預防策略有一定的作用，但這個框架與一個能正常運轉的系統還有很大的差距。

基于此，本研究選取耦合網絡作為研究對象，從邊的角度建立相繼故障模型，基于模型給出有效的保護策略，為指導現實網絡系統的構建提供借鑒和參考。

2 相關研究評述

相繼故障現象普遍發生在許多關鍵的基礎設施網絡中，如電力網絡上的大規模停電事故[1]、交通網絡中的大范圍擁堵現象[2]、Internet網絡上計算機病毒傳播[3]等。為此，許多學者針對相繼故障問題展開大量的研究，并得到許多有價值的結論，通過對相繼故障理論的研究，能夠合理地解釋現實生活中重大災難的演化機制。有關復雜網絡相繼故障的研究大多是從節點屬性的角度建立模型，最早的研究是基于網絡介數建立負荷容量模型。Motter等[4]研究發現，無標度網絡結構的異質性導致網絡負荷分布的極度不均勻，是呈現的脆弱性的關鍵所在；Zhao等[5]通過分析影響網絡魯棒性的臨界點，提出有效地預防無標度網絡節點大規模連鎖崩潰的保護措施。然而，計算介數必須要了解網絡的全局信息，由于一些現實的網絡系統規模龐大、結構復雜，很難獲取全局信息。針對于此，Zheng等[6]從網絡擁塞的角度提出節點負荷新的定義方式，并對導致相繼故障發生的一系列影響因素展開詳細分析；任俊亮等[7]基于節點剩余容量的負載重分策略，建立了一個無標度網絡的相繼故障模型；Cao等[8]基于節點度函數和超負荷節點局域擇優重新分配原則建立相繼故障模型。為了有效解決實際問題，王皓[9]構建Web服務交互網絡演化模型，基于兩種引發相繼故障的策略，研究服務網絡的相繼故障現象；陳星光等[10]構建城市交通系統的耦合映像格子模型，利用該模型研究城市交通系統的相繼故障問題；宋毅等[11]研究相繼故障的時序問題，構建了具有時序特征的相繼故障演化模型。為提高網絡的魯棒性，朱凌峰等[12]基于節點有效路徑的路由策略進行改進，能夠在基本不增加網絡數據包平均傳輸延時的基礎上有效地提高網絡吞吐量；段東立等[13]分析過載機制下節點重要度的演化機理，即非關鍵節點如何演化成影響網絡級聯故障行為的關鍵節點；Tessone等[14]從網絡節點能力臨界參數的角度，建立相繼故障模型，通過賦予節點能力一定的安全閾值，實現有效地降低故障連鎖反應對網絡造成災難性的破壞。

在關注網絡節點屬性的同時，許多學者也從邊的角度展開探討，Holme[15]基于邊的介數定義節點負荷；Wang等[16]根據加權流局域分配的原則，建立邊相繼故障負荷-容量模型，研究發現，網絡中起傳輸作用的邊同樣在相繼故障中占據著舉足輕重的地位。

實際上，許多關鍵生命線系統網絡中大規模相繼故障的發生往往是由多網絡間具有相互耦合的關系所導致的，如2003年意大利發生的互聯網與電力網絡相互影響導致的近乎全國性的斷電事件(只有西西里幸免)以及互聯網癱瘓事件。Buldyrev等[17]基于意大利真實的地理位置，模擬2003年爆發在電力網-計算機耦合網絡上的相繼故障現象，解釋了由于1個供電站失效導致的近乎全國性的大規模停電和互聯網癱瘓事件，從耦合網絡的角度分析多層網絡間大規模相繼故障的發生原因，并闡述了許多大規模災難不僅僅是相繼故障在單層網絡上蔓延擴散的事實情況，開辟了有關耦合網絡領域的研究先河。之后，Parshani等[18]、Shao等[19]在Buldyrev等[17]研究的基礎上，突破已有耦合網絡研究體系的局限，提出基于網絡間局部隨機耦合的理論研究框架，探討網絡間局部耦合的兩層次網絡模型的魯棒性，并得到許多有價值的結論。

有關耦合網絡相關性質的研究，許多已有的成果都是基于滲流理論展開的。Buldyrev等[17]最早關注兩個相互依賴網絡遭遇相繼故障的滲流變化過程；Hu等[20]也應用滲流理論研究耦合網絡的魯棒性，發現滲流曲線呈現一階和二階混合過渡的變化過程是由于網絡間存在相互依賴的連邊所致；Dong等[21]應用滲流理論研究局部耦合的加權網絡遭遇蓄意襲擊的魯棒性；李穩國等[22]分析邊攻擊下的相互依賴網絡相繼故障滲流及其結果。在兩層次耦合網絡的基礎上，部分學者針對多層耦合網絡上發生的相繼故障研究滲流曲線的變化規律，Gao等[23]探討樹型和環型的多層耦合網絡，Dong等[24]研究樹型全局耦合和星型局部耦合的多層網絡模型。廣泛應用于物理和數學領域的滲流理論也適用于復雜網絡相關的研究，能夠詮釋網絡系統的穩定性和脆弱性，分析襲擊策略的有效性，并預測滲流臨界值等。

耦合網絡的研究起步較晚，在2010年以前，有關相繼故障理論的研究和應用主要聚焦在單層次網絡。而許多關于耦合網絡相繼故障模型的研究中，僅考慮網絡節點上的行為，而忽略了網絡中連接兩個節點之間的邊扮演的重要角色，并且有關應用領域的研究尚未充分展開。本研究重點分析邊在耦合網絡相繼故障繁衍中扮演的角色，通過詳細分析耦合網絡上相繼故障的動力學演化機制，提出耦合網絡上邊相繼故障模型；依據提出的幾種度量網絡魯棒性的指標，研究耦合網絡間的耦合連接模式和網絡拓撲結構對網絡魯棒性的影響，給出抵制相繼故障最穩健的耦合網絡架構以及耦合網絡上整體的保護措施。

3 相繼故障模型

在建立耦合網絡的相繼故障模型時，僅關注由兩個網絡構成的相互依賴耦合網絡，即網絡A和網絡B，定義兩個網絡具有相同的網絡規模，且網絡A中的節點與網絡B中的節點一一對應，相互依賴。如果網絡A中的1個節點失效，將導致與之相互依賴的網絡B中的節點也隨之失效；反之，如果網絡B中的1個節點失效，將導致與之相互依賴的網絡A中的節點也失效。

耦合網絡上相繼故障的蔓延過程如圖1所示，初始階段網絡中沒有節點和邊的失效，圖中實心的節點表示正常的節點，空心的節點表示失效的節點，虛線表示即將要失效的邊。圖1(a)中，當網絡中的邊A3A5由于人為的襲擊或移除(圖中attack)導致失效，網絡A分裂成兩個獨立的團體，在每個團體內部所有節點都是健康的并相互連通，將這種團體稱之為功能團，那么網絡A分裂成為兩個不同的功能團，分別是節點{A1、A2、A3}所在的功能團和節點{A4、A5、A6、A7}所在的功能團。依據Buldyrev等[17]對耦合網絡上功能團的定義方式，下一階段網絡B也將分裂成與網絡A一一對應的相互獨立的功能團，連接在兩個功能團上的所有連邊B3B4、B1B5隨之失效，如圖1(b)所示。此時的網絡B分裂成3個不同的功能團{B1、B2}、{B3}、{B4、B5、B6、B7}，節點B3分裂成孤立的節點，節點B3失效，網絡A與網絡B之間的連邊A3?B3隨之斷開(圖中×)；B3通過A?B耦合在網絡A的節點A3隨之失效，與節點A3相連的所有連接也相繼失效，如圖1(c)所示。圖1(d)為沒有相繼故障的蔓延，網絡最終的穩定狀態。當網絡最終達到穩定狀態時可能會出現很多種情況，如包含N(N≥0)個功能團，但是只有最大的功能團才是被關注的。

(a) (b) (c) (d)

圖1相繼故障在耦合網絡上傳播過程
Figure1PropagationProcessofCascadingFailuresinCoupledNetworks

網絡A中的部分節點和網絡B中的部分節點分別記為集合a和集合b，稱集合a和b構成耦合網絡上彼此相互連接的最大功能團，當且僅當滿足以下條件。①集合a中的節點與集合b中的節點之間一一對應、相互耦合；②集合a中的所有節點之間能夠通過某種連邊路徑彼此相互連通；③集合b中的所有節點之間能通過某種連邊路徑彼此相互連通；④耦合網絡上都不能再增加其他相互耦合的節點來滿足上述所有條件，則稱集合a和b構成耦合網絡上彼此相互連接的功能團。在耦合網絡上，只有彼此相連的功能團才能發揮潛在的功能。滿足上述所有條件的彼此相互連接的功能團可能不止1個，如果滿足上述所有條件外，也滿足⑤該相互連接的功能團相比耦合網絡上其他的相互連接的功能團擁有最多的節點數量。根據上述對耦合網絡功能團的定義，圖1(d)中節點A4所在的彼此相連的功能團為耦合網絡中最大的功能團。

4 耦合網絡模型

4.1 網絡模型選擇

為了更好地研究影響耦合網絡魯棒性的因素，構建出合理的耦合網絡模型至關重要。在本研究中，網絡基本拓撲模型的選擇主要聚焦于兩種經典的網絡模型，即BA無標度網絡模型[25]和ER隨機網絡模型[26]。在構建BA網絡時，設定參數值m=2，m0=3，網絡節點數N=5 000。依據BA網絡模型原理可知，生產的BA網絡的平均度〈k〉=2m，即網絡的平均度〈k〉=4。在構建ER網絡時，設定模型中參數p=0.0008，網絡節點數N=5 000，網絡的平均度〈k〉≈4。

4.2 網絡間耦合模式設計

耦合網絡的拓撲結構對相繼故障的動力學過程起著至關重要的作用，對于1個給定的基本網絡模型(BA無標度網絡或ER隨機網絡)，耦合網絡拓撲結構的不同主要取決于兩層網絡之間連接模式的差異。本研究在構建相互依賴的耦合網絡模型時，主要采用隨機連接、同配連接和異配連接3種不同的耦合連接模式。

(1)隨機連接(random link, RL)。網絡A中的節點隨機連接網絡B中的節點，并構成兩個網絡節點間一對一的連接模式。

(2)同配連接(assortative link, AL)。網絡A中節點和網絡B中的節點按照節點度大小連接，即網絡A中度大的節點連接網絡B中度大的節點，并構成兩個網絡節點間一對一的連接模式。

(3)異配連接(disassortative link, DL)。與同配連接相反，網絡A中度大的節點連接網絡B中度小的節點，并構成兩個網絡節點間一對一的連接模式。

5 耦合網絡抵制邊相繼故障的魯棒性分析

5.1 度量指標的確定

為了更好地研究耦合網絡上的相繼故障現象，更全面地量化網絡整體抵制相繼故障的能力，從全局性角度衡量整個耦合網絡的魯棒性，提出4種度量指標。

(1)失效節點歸一化指標S。在耦合網絡邊的相繼故障模型中，邊的失效可能會導致網絡中節點失效，指標S表示網絡中失效節點的數量占網絡所有節點數量的比重。通過計算網絡中邊的失效導致失效節點的數量，能夠度量網絡抵制相繼故障的穩定性。計算公式為

(1)

其中，p為網絡中移除的邊占全部邊的數量的比例，Np為移除比例為p的邊以后失效節點的數量，N為一個單層次網絡中節點的總數。

(2)耦合網絡失效點數量占單層網絡的比例p(s)。為了更好的對比不同的耦合連接模式對網絡魯棒性的影響，并對比相繼故障對單層次網絡的影響，以建立最優的抵制相繼故障的耦合網絡架構。p(s)表示耦合網絡相比單層網絡所增加的額外脆弱程度，即

(2)

其中，Sc為耦合網絡失效節點的總數，Ss為單層次網絡失效節點的數量。

(3)失效邊歸一化指標F。計算移除比例為p的邊后所導致網絡中其他邊失效的數量f，0≤f≤N(1-p)。由于選擇進行數值模擬的耦合網絡具有不同的連邊數量，為了量化整個網絡抵制相繼故障的魯棒性，采用失效邊的歸一化指標，即

(3)

其中，EA∪B為耦合網絡上所有連邊數量和。

(4)衡量耦合網絡連通性的歸一化指標P∞?；谮w月[2]對度量指標P∞的定義，P∞為移除比例為p的連邊引發的網絡上相繼故障蔓延結束后，隨機選取1條邊，這條邊包含在最大功能團中的概率，0≤P∞≤1。在耦合網絡中，只有彼此相互連通的功能團才具有研究意義。因此，無相繼故障蔓延后剩余的最大功能團代表著耦合網絡中能夠發揮效用的最大功能團，最大功能團中節點的數量越多，說明網絡仍可保持基本的連通性。如果在移走少量邊后，耦合網絡之間絕大部分的節點仍然能通過網絡中存在的邊相互連通，那么則稱該網絡的連通性對抵制故障具有魯棒性。因此，P∞的值與網絡的魯棒性之間正相關，即P∞值越大，網絡抵制相繼故障的能力越強，反之網絡越脆弱。

5.2 無標度網絡的對比分析

選擇BA無標度網絡作為研究對象，對比分析由BA網絡構成的耦合網絡上相繼故障的蔓延情況，構建6種不同的耦合網絡架構，分別為BA-BA(RL)、BA-BA(AL)、BA-BA(DL)、BA-ER(RL)、BA-ER(AL)和BA-ER(DL)，兩層次相互依賴的耦合網絡模型在數值模擬圖中簡寫為bbr、bba、bbd、ber、bea和bed；對比單層BA網絡，所有采用的網絡規模N=5 000，平均度〈k〉≈4。

本研究模擬了6種不同架構的耦合網絡與單層BA網絡在移除比例為p的連邊，即移除E·p數量的連邊后引發相繼故障的蔓延結果(E為網絡邊數量)，并使用失效節點歸一化S、失效點比例p(s)、失效邊歸一化指標F和P∞共4種度量指標量化網絡抵制相繼故障的魯棒性。數值模擬結果如圖2所示，圖中每條曲線的模擬結果都是20個不同耦合網絡上相繼故障數值模擬的平均結果。

(a) (b)

(c) (d)

圖2不同連接模式下耦合網絡模型與BA單層網絡的對比
Figure2ComparisonbetweenCoupledNetworksandSingleBANetworkwithDifferentLinkPatterns

圖2給出6種不同的耦合網絡模型與單層BA網絡的失效節點數量對比情況。依據各度量指標的定義，失效節點歸一化值S和失效的邊歸一化指標F值越小，網絡的魯棒性越強；失效點比例p(s)值和P∞值越大，網絡的魯棒性越強。因此，從圖2(a)中能夠看出，由BA網絡組成的耦合網絡相比單層BA網絡更易導致相繼故障的蔓延，并且抵制相繼故障蔓延的最優耦合網絡架構的排列順序依次為BA-BA(AL)>BA-ER(AL)>BA-ER(RL)>BA-BA(RL)>BA-BA(DL)>BA-ER (DL)。為了進一步對比6種不同的耦合網絡模型相比單層BA網絡模型增加的脆弱程度，本研究采用網絡增加的失效點比例p(s)度量指標量化耦合網絡增加的脆弱性，數值模擬的結果如圖2(b)所示。由圖2(b)可以看出，BA-ER(DL)比其他耦合網絡更易導致相繼故障大面積的蔓延，而BA-BA(AL)是所有耦合網絡中抵制相繼故障蔓延的最穩健的耦合網絡架構。3種連接模式下，BA-ER耦合網絡在移除比例p值很小時，網絡的p(s)指標值出現異常的原因如下。①對于網絡規模N=5 000的ER隨機網絡，在平均度〈k〉≈4時，模型參數p=0.0008，此時ER隨機網絡可能會出現孤立的節點或網絡不完全連通等不確定性因素。對于耦合網絡來講，只有彼此相連的功能團才能發揮作用，耦合在一起的BA-ER耦合網絡，由于ER隨機網絡在結構上的不確定性，會使耦合的BA網絡中連接于兩個不同功能團間的連邊失效，基于此，即使對于較小的p值(p<0.100)，BA-ER耦合網絡也會表現出異常的脆弱性。②BA網絡一個基本的特征在于網絡中度分布的不均勻性，網絡中存在少量的節點擁有特別大的度，而模型中的ER網絡又可能會存在孤立的節點或分散的功能團，BA-ER耦合網絡在異配連接DL模式下，使BA網絡中度大的節點與ER網絡中度小的節點相耦合，甚至可能會導致BA網絡中度最大的幾個節點連接ER網絡中度為零的節點，這樣，當p=0時，相比其他耦合網絡和BA單層網絡，BA-ER(DL)會出現異常大的失效節點和失效邊。

網絡抵制邊相繼故障的魯棒性在基于失效邊的歸一化指標F與參數p的關系曲線對比中可得出與失效節點指標模擬下相同的結論，如圖2(c)所示。當p=0時(不移除網絡中的連邊)，BA-ER耦合網絡會存在失效邊，是因為在ER網絡中可能存在孤立的節點或不完全連通的功能團。在圖2(d)中，由數值模擬結果可知，隨著p值的增加，P∞呈現滲流變化的過程，其中存在一個明顯的相變點pc(即曲線與橫坐標的交點)，當ppc時，網絡中幾乎不存在較大的功能團。pc值與網絡抵制相繼故障的魯棒性呈正相關關系，pc值越大，網絡魯棒性越強；反之，網絡越脆弱。根據相變點pc值的大小也可得出最優耦合網絡架構的排列順序依次為BA-BA(AL)>BA-ER(AL)>BA-ER(RL)>BA-BA(RL)>BA-BA(DL)>BA-ER (DL)。

從圖2可以看出，相比其他5個耦合網絡結構，BA-BA(AL)耦合網絡表現出更強的魯棒性，產生這種現象的原因可能是，對于BA無標度網絡，網絡中存在少量度特別大的節點，而最大度與最小度之間又存在很大的差異，同配連接AL模式能夠減少耦合網絡之間連接節點度之間的差異性，并且相同拓撲結構的網絡耦合在一起，耦合網絡中對稱連邊數量最多，網絡之間結構越相似，使兩個網絡在移除連邊后導致相繼故障蔓延的結果更加相似，對網絡造成的破壞性也就相對減弱。為了比較直觀地了解耦合網絡中的對稱邊在抵制相繼故障中的作用，通過對比兩個具有不同數量的對稱邊的耦合網絡模型進行解釋。圖3給出對稱邊對耦合網絡抵制相繼故障魯棒性的作用，圖3(a)中的耦合網絡比圖3(b)中的耦合網絡具有更多數量的對稱邊，圖3(a)中的耦合網絡有3組對稱邊，圖3(b)中的耦合網絡有1組對稱邊，對稱邊的數量越多，兩層網絡越相似，耦合網絡結構越穩定，當移除圖3(a)中的耦合網絡的1條邊時，可能不會影響網絡整體的連通性，而移除圖3(b)中的耦合網絡的1條邊可能會導致整個網絡的崩潰。

(a) (b)

圖3對稱邊對耦合網絡抵制相繼故障魯棒性的作用
Figure3InfluenceofSymmetricEdgesonRobustnessofCoupledNetworksAgainstCascadingFailures

選取合適的耦合網絡模型和網絡間的連接模式，能有效預防相繼故障在耦合網絡上大范圍的傳播擴散。綜上所述，對于一個給定的BA無標度網絡，在給定耦合網絡模型(BA-BA或BA-ER)的條件下，最優耦合連接模式的順序依次為AL>RL>DL，BA-BA(AL)是6種不同耦合網絡中最穩健的耦合網絡架構。

5.3 隨機網絡的對比分析

與基于無標度網絡的研究方法類似，對于給定的ER隨機網絡，采用3種耦合連接模式，構建出6種兩層次相互依賴的耦合網絡模型，分別是ER-ER(RL)、ER-ER(AL)、ER-ER(DL)、ER-BA(RL)、ER-BA(AL)和ER-BA(DL)，兩層次相互依賴的耦合網絡模型在數值模擬圖中簡寫為eer、eea、eed、ebr、eba和ebd；對比單層ER網絡，所有網絡的規模N=5 000，平均度〈k〉≈4?；谑Ч濣c歸一化S、失效點比例p(s)、失效邊歸一化F和P∞，圖4給出不同連接模式下耦合網絡模型與ER單層網絡的魯棒性的比較結果，圖中每條曲線的模擬結果都是20個不同的耦合網絡上相繼故障數值模擬的平均結果。

(a) (b)

(c) (d)

圖4不同連接模式下耦合網絡模型與ER單層網絡的對比
Figure4ComparisonbetweenCoupledNetworksandSingleERNetworkwithDifferentLinkPatterns

采用上一節中對相繼故障的定量研究方法。圖4(a)給出6種不同的耦合網絡和ER單層網絡關于失效節點歸一化指標S和移除邊的比例p之間的關系，從數值模擬的對比結果可以看出，耦合網絡相比單層次網絡在移除部分連邊后更易導致相繼故障的發生，并且邊相繼故障對耦合網絡造成更嚴重的破壞性，依據度量指標的定義，可以看出ER-ER(AL)耦合網絡架構比其他耦合網絡模型表現出較強的抵制相繼故障的魯棒性。圖4(b)給出6種不同的耦合網絡和ER網絡基于失效節點數量的差異p(s)與移除邊的比例p之間的關系，綜合關于失效節點的對比結果(圖4(a)和圖4(b))可看出，由ER網絡組成的耦合網絡中，最優的耦合網絡架構的順序依次為ER-ER(AL)>ER-BA(AL)>ER-ER(RL)>ER-BA(RL)>ER-ER(DL)>ER-BA(DL)。在基于失效邊歸一化指標F與參數p的數值模擬曲線中(圖4(c))也能夠得出上述相同的結果。在圖4(d)中，對比幾個網絡在移除邊比例為p的連邊后導致的網絡中相繼故障的產生，相繼故障經歷了反復迭代的蔓延過程，直到最終的穩定狀態時剩余網絡的連通情況。對比在P∞指標模擬下不同耦合網絡的滲流相變點pc的值，也可得出與上述3個指標數值模擬下相同的結論。數值模擬的結果能夠對現實生活中基礎設施的構建提供指導幫助。對于給定的基礎設施網絡，管理者可以選擇最優的耦合連接模式抵制相繼故障的大面積擴散，從而提高網絡整體結構的魯棒性。

對比在RL、AL和DL3種連接模式下的ER-ER和ER-BA耦合網絡遭遇相繼故障的結果，ER-ER(AL)耦合網絡表現出更強的魯棒性。ER-ER(AL)耦合網絡在抵制相繼故障中表現出的強魯棒性主要源于以下3個方面。①ER隨機網絡節點度分布均勻，服從泊松分布，在網絡中度遠大于平均的度的節點幾乎不存在，節點度之間差異性??；②對于模型中平均度相同的不同ER網絡，同配連接(AL)模式又使同類型的2個網絡耦合在一起時節點度之間更具相似性，即便在ER網絡中可能存在孤立的節點或不連通的功能團，AL連接模式也會最大程度地弱化這種不確定性和結構的不完整性對耦合網絡造成的破壞；③相似的網絡結構以及相似的網絡之間的耦合節點會使移除部分連邊后相繼故障蔓延的趨勢趨于一致，產生的后果更相似，抑制了相繼故障的進一步蔓延，很大程度上提高了網絡的魯棒性。然而，對于較異質的BA無標度網絡而言，節點度之間存在很大的差異，網絡中存在少量的度相對很大的節點，BA網絡和ER網絡兩種截然不同的拓撲結構耦合在一起，移除部分邊后相繼故障在兩層網絡上蔓延的結果不同，將更易于導致耦合網絡上連鎖故障的大面積擴散。此外，同配耦合模式相比隨機和異配兩種連接模式更能減弱耦合網絡之間節點度的差異性，使耦合網絡表現出更強的相似性，在給定耦合網絡模型(ER-ER或ER-BA)的條件下，最優的耦合連接模式順序依然為AL>RL>DL。因此可以得出，在相同的網絡規模和平均度下的耦合網絡模型，耦合網絡之間越相似，網絡抵制相繼故障的魯棒性越強。

5.4 耦合網絡的拓撲結構對魯棒性的影響

在耦合網絡中，基本網絡拓撲模型的選擇以及網絡間耦合連接模式的差異都會影響網絡抵制相繼故障的魯棒性大小。在上面的分析探討中僅給定一層網絡的拓撲結構，對比RL、AL和DL3種連接模式對耦合網絡魯棒性的影響，得出的結論是，對于給定的耦合網絡結構，采用AL連接模式時網絡整體表現出最強的魯棒性。下面進一步探討在確定耦合網絡之間的連接模式下，網絡模型的拓撲結構對魯棒性的影響。網絡的連通性能夠很好地度量網絡抵制相繼故障的能力，因而選取P∞作為度量指標，研究在AL連接模式下，基于P∞與參數p之間的關系，探討耦合網絡的拓撲結構與魯棒性之間的關聯，結果如圖5所示。

圖5 AL連接模式對網絡魯棒性的影響Figure 5 Influence of AL Link Pattern on Network Robustness

由圖5可知，在最優的AL耦合連接模式下，BA-BA和ER-ER耦合網絡比BA-ER耦合網絡表現出更強的抵制相繼故障的魯棒性。產生這種現象的原因在于，ER隨機網絡和BA無標度網絡是兩種度分布完全不同的復雜網絡模型，ER隨機網絡是均勻網絡，度分布服從泊松分布，網絡中節點度的大小一般都分布在平均度的附近，遠大于或遠小于平均度的節點幾乎不存在；而BA無標度網絡的度分布具有冪律性質，網絡的結構較異質。由于BA-ER耦合網絡中兩個網絡在拓撲結構上表現出很大的差異性，相比于BA-BA和ER-ER具有相同拓撲結構的兩個網絡耦合在一起的耦合網絡模型，將會使相繼故障在BA-ER耦合的兩層網絡上演化的不對稱性進一步導致連鎖故障的發生。因此，在同配連接模式下，具有相同拓撲結構的網絡組成的耦合網絡模型具有更強的魯棒性。

在1個網絡中，平均度也是影響網絡拓撲特性的1個重要指標，而在上述所有的數值模擬和探討中，采用網絡模型的平均度均為4。為了進一步研究網絡拓撲結構與魯棒性之間的關系，依然采用相同的網絡規模N=5 000，在確定耦合連接模式的情況下，探討BA-BA耦合網絡平均度〈k〉與耦合網絡連通性之間的關聯，結果如圖6所示。由于生成的ER網絡可能會存在孤立的節點或不連通的功能團，為減少不確定性因素對實驗模擬結果的影響，這里只考慮BA-BA耦合網絡模型。

圖6 AL耦合網絡平均度對網絡魯棒性的影響Figure 6 Influence of Average Degree of Coupled Networks with AL on Network Robustness

在AL耦合連接模式下，對擁有不同平均度的BA-BA耦合網絡進行數值模擬，采用度量指標P∞，通過相變點pc值衡量耦合網絡抵制相繼故障蔓延的魯棒性強弱。從圖6可以得出，相變點pc的值與網絡平均度〈k〉呈正相關關系，即平均度〈k〉越大，pc值越大，耦合網絡抵制相繼故障的魯棒性越強。平均度大的耦合網絡表現出的強魯棒性主要是由于連邊數量的增多，使連接在一起的兩個網絡相互對稱的連邊數量增加，進而增加網絡之間的相似度，減少了相繼故障的進一步擴散。

進一步對比在RL和DL連接模式下平均度〈k〉對耦合網絡魯棒性的影響，結果如圖7所示。從圖7可以得出與AL連接模式下相同的結論，即平均度〈k〉越大，相變點pc值也越大，耦合網絡抵制相繼故障的魯棒性越強。由于BA網絡中節點度存在較大的異質性，AL連接模式可弱化耦合網絡之間拓撲結構的差異，在平均度〈k〉及網絡規模相同的情況下，3種連接模式的最優順序依舊是AL>RL>DL。由于連邊數量的增加導致網絡之間拓撲結構的相似性，使網絡表現出更強的抵制相繼故障的魯棒性。因此，提高網絡結構的相似性可使網絡的魯棒性增強。

(a) (b)

圖7RL和DL耦合網絡平均度對網絡魯棒性的影響
Figure7InfluenceofAverageDegreeofCoupledNetworkswithRLandDLonNetworkRobustness

6 耦合網絡邊相繼故障模型中的整體保護策略

相比單層次網絡，在耦合網絡上邊的失效更易導致相繼故障的爆發，邊相繼故障的蔓延對耦合網絡也會造成更嚴重的破壞性。由于現實網絡系統彼此間相互依賴，僅依靠單層次網絡提出的保護策略不能很好的適用于耦合網絡模型，因此需要建立基本的耦合網絡模型模擬網絡上的邊相繼故障現象，通過對不同的耦合網絡模型的數值模擬分析，探討對網絡魯棒性強弱的影響因素，進而提出有效抵制邊相繼故障蔓延的預防策略，構建穩健的耦合網絡架構。由邊相繼故障的數值模擬結果可知，耦合網絡之間的連接模式、網絡基本模型的選擇以及平均度等因素都對網絡抵制相繼故障的魯棒性有影響。通過前面對模擬結果的分析，提出針對耦合網絡上的整體保護策略，預防雪崩式的相繼故障對網絡造成的破壞。

(1)耦合連接模式。通過對3種不同連接模式的研究發現，對于確定的耦合網絡模型，采用AL連接模式的耦合網絡產生的對稱連邊數量最多，網絡間相似性更大，邊相繼故障在兩層次網絡上的蔓延趨勢更相似，進而表現出更強的抵制邊相繼故障的魯棒性。因此，為了避免雪崩式的連鎖故障對耦合網絡造成大面積破壞，對于實際的耦合網絡，如計算機-電網，在初建網絡架構時應該盡量使耦合網絡之間的連接模式服從同配連接。

(2)網絡基本模型的選擇。網絡的拓撲結構是影響耦合網絡魯棒性的因素之一，數值模擬結果顯示，在最優的AL連接模式下，具有相同拓撲結構的網絡耦合在一起比不同拓撲結構組成的耦合網絡表現出抵制相繼故障蔓延的更強魯棒性。不同的拓撲結構會使耦合在一起的網絡節點度之間差異性大，相似性較差，相比之下也更脆弱。所以，為了避免拓撲結構的差異對耦合網絡能力造成的影響，在現實生活中建設基礎設施網絡時，應盡量使耦合在一起的網絡具有相似拓撲結構。

(3)網絡的平均度。網絡的平均度是指網絡中每個節點平均的連邊數，在一定程度上也可以認為是網絡的投入成本，平均度越大，網絡投入成本越高。如現實生活中的交通網絡，平均度越大，平均通往每個路口的路線就越多，網絡投入成本也就越多。依據數值模擬結果可以發現，在固定耦合網絡架構時，網絡的魯棒性與平均度正相關，即平均度越大，網絡魯棒性越強。平均度的增大，使網絡中連邊數量增多，進而增加耦合網絡間對稱的連邊數量，增加網絡間的相似程度。考慮到現實情況中投入成本有限等客觀因素，網絡拓撲結構很難改變，可以適當地增加一些對稱的連邊，實現優化網絡拓撲結構的目的。

7 實例分析

選擇美國西部電力網絡作為實例分析的對象[27]，美國西部電力網絡的網絡規模N=4 941，共6 594條邊，平均度〈k〉≈2.670。對比美國電力網絡與BA、ER兩種拓撲結構網絡基于3種不同的連接模式構成的兩層次耦合網絡拓撲模型在抵制邊相繼故障的魯棒性方面的差異，目的是為建設最穩健的耦合網絡架構，選擇網絡基本拓撲模型，在確定耦合網絡模型的基礎上匹配合適的連接模式。從耦合網絡靜態角度給出最優的耦合網絡模型和網絡間耦合模式，為指導現實網絡系統的構建、保證基礎設施網絡安全穩定的運轉提供參考性建議和指導。

電力網與ER、BA兩個網絡分別采用3種耦合模式，構建出6種不同結構的兩層次耦合網絡模型，分別是Power-BA(RL)、Power-BA(AL)、Power-BA(DL)、Power-ER(RL)、Power-ER(AL)和Power-ER(DL)，兩層次相互依賴的耦合網絡模型在數值模擬圖中簡寫成pbr、pba、pbd、per、pea和ped，用Power代表電力網。在探討耦合網絡上的相繼故障現象時，基于失效邊歸一化F、失效點歸一化S和P∞度量指標，并對比單層Power網絡，通過逐步增加移除邊的比例p的方式，對比分析7種不同的網絡抵制邊相繼故障的魯棒性，每一個模擬結果都是20個不同的耦合網絡上相繼故障數值模擬的平均結果，數值模擬的結果如圖8所示。

(a)

(b)

(c)

從圖8能夠明顯的看出，無論是基于3個度量指標值，還是比較相變點p(c)值，電力網與BA網、ER網構成的耦合網絡相比單層次電力網絡更易引發大規模相繼故障。由于耦合網絡彼此耦合的特性，網絡節點之間相互依賴，一層網絡上的邊發生故障，會使故障在兩層網絡上產生連鎖反應。在不考慮網絡負荷動態屬性的情況下，單層網絡上邊的失效，不會繼續引發網絡上其他邊的接連失效。因此，在邊移除比例相同的情況下，耦合網絡邊的連鎖故障對網絡造成的破壞性更嚴重。對比6個不同拓撲結構的耦合網絡模型基于3個度量指標模擬曲線得出的pc值可以看出，耦合網絡間采用AL連接模式比采用DL和RL兩種連接模式能更好地提高網絡抵制相繼故障的魯棒性，按魯棒性大小排列順序依次為Power-ER(AL)>Power-BA(AL)>Power-BA(RL)>Power-ER(RL)>Power-BA(DL)>Power-ER(DL)。然而，采用AL連接模式的Power-ER、Power-BA兩個耦合網絡，在p值較小的情況下，基于3個度量指標可知，在p<0.070時，Power-BA耦合網絡架構優于Power-ER網絡，產生這種現象的原因在于，利用計算機生成網絡規模為4 941、平均度約為4的ER網絡可能會存在不完全連通、孤立點等不確定因素，ER網與電力網構成的耦合網絡在邊的移除比例p為0時，依據對耦合網絡連通子團的定義，由于網絡結構上彼此的不完全連通性，在沒有人為移除任何邊的情況下，依然可能會觸發網絡上的相繼故障現象，這也能夠很好地解釋應用3種耦合連接模式的Power-ER耦合網絡在p=0時失效邊和失效點不歸0、P∞不為1的原因。

基于上述的對比分析，從網絡靜態角度，為提高網絡抵制故障蔓延的魯棒性，對由電力網構成的耦合網絡提出整體保護預防策略，即當給定網絡基本模型時，AL連接模式下耦合網絡的魯棒性優于RL和DL兩種連接模式；對比分析的所有耦合網絡模型中，Power-ER(AL)耦合網絡架構的魯棒性最優，并且實際構建的ER網絡系統能夠有效避免生成ER網絡時產生的一系列不確定性因素。基于此，研究結果為中國電網選擇匹配的耦合網絡、設計網絡間的連接模式、優化網絡結構的建設提供參考性依據，對構建具有穩定結構的耦合網絡架構提供指導。

8 結論

本研究從耦合網絡邊的角度建立相繼故障模型，重點研究由于邊的失效導致的相繼故障現象。通過仿真模擬和實例驗證發現，與單層次網絡相比，耦合網絡更易導致大規模的相繼故障的發生，并對網絡整體造成更嚴重的破壞性后果。耦合網絡間的連接模式、網絡基本模型的選擇、平均度等因素都關乎網絡的能力，影響耦合網絡魯棒性大小的一個重要因素是網絡中存在的對稱連邊，對稱連邊數量越多，相互耦合的網絡之間拓撲結構越相似，網絡抵制相繼故障蔓延的魯棒性越強。為了提高網絡的魯棒性，在現實網絡建設時可以使同種類型的網絡，應用同配耦合連接模式，并適當增加對稱邊數量，這樣能夠有效地提高網絡的魯棒性。應用本研究提出的整體保護策略，可以指導現實社會中基礎設施耦合網絡的構建，并為實際耦合網絡上預防和控制雪崩式連鎖故障對網絡造成的破壞提供借鑒和參考依據。未來研究可在耦合網絡靜態屬性的基礎上進一步考慮負荷的動態變化，探討負荷相繼故障蔓延中的動力學過程。

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StudyonCascadingFailures′ModelofEdgeinCoupledNetworks

Wang Jianwei，Jiang Chen，Sun Enhui

School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110819, China

In order to deal with cascading failures in coupled networks, this study analyzes the dynamics mechanism of cascading failures and propose the cascading failures′ model of edge in coupled networks. To improve the robustness of coupled networks against cascading failures, according to different measures, this study takes multiple perspectives to analyze the correlation between the robustness of coupled networks with different link patterns and some parameters in our model. this study then discusses the influences of link patterns of coupled networks and the basic network model on cascading failures and states the whole protection strategies in the proposed model. This study finds: the assortative link pattern can enhance the robustness of coupled networks against cascading failures; the more similar the topological structures of two interdependent networks, the stronger the network robustness against cascading failures; the robustness of coupled networks has a positive correlation with the average degree; an appropriate increase in the number of symmetrical edges between two networks can improve the network robustness. Finally, the cascading failures′ model of edge in the real coupled power grid is analyzed.

cascading failures；coupled networks；link pattern；robustness

Date:June 5th, 2014

DateSeptember 15th, 2014

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71101022) and the Program for New Century Excellent Talents in University(NCET-12-0100)

Biography:Dr.Wang Jianwei, a Liaoning Fuxin native(1978-), graduated from Dalian University and Technology and is an Associate Professor in the School of Business Administration at Northeastern University. His interests include emergency management and network science, etc.

E-mail：jwwang@mail.neu.edu.cn

N941.3

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2014.06.012

1672-0334(2014)06-0132-11

2014-06-05修返日期2014-09-15

國家自然科學基金(71101022)；教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-12-0100)

王建偉(1978-)，男，遼寧阜新人，畢業于大連理工大學，獲博士學位，現為東北大學工商管理學院副教授，研究方向：應急管理和網絡科學等。E-mail：jwwang@mail.neu.edu.cn

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