運用過程性變式提升初中生數學問題解決能力

宋延宏 李三平

摘 要 變式教學在我國已成為比較成熟的教學理論，是有效地促進學生數學學習的一種“中國式”方法。過程性變式是變式教學的一種形式，它有助于數學活動經驗的形成。本文以“求解方程模型應用題”為例，闡述過程性變式對初中生問題解決能力的影響。

關鍵詞 變式教學 過程性變式 提升 問題解決能力

中圖分類號：G424文獻標識碼：A

Use of Process Variants Elevator to Improve Junior High

School Students' Math Problem-solving Skills

SONG Yanhong， LI Sanping

（School of Mathematics and Information Science， Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710062）

Abstract Variant teaching in China has become more mature teaching theory， is effective in promoting a student of mathematics learning， "Chinese-style" approach. Procedural variant is a variant form of teaching， it helps to form a mathematical experience activities. In this paper， "problem solving equations model" as an example to explain the process of the variants of the junior high school students problem solving capabilities.

Key words variation teaching; procedural variant; improve; problem-solving skills

如何幫助學生從“機械地搬用知識”走向“靈活地駕馭知識”，這是教師進行有效教學需要解決的問題。初中學生正處于形式運算階段，具有一定的推理能力，能從多維度對抽象的性質進行思維。①數學教學中提升學生的數學思維能力與問題解決能力非常必要，而過程性變式的運用可以幫助學生發散思維，靈活地分析、解決問題以形成豐富的活動經驗，也有助于提高他們的學習效率。

1 變式教學

傳統意義上的變式教學主要用于講授學科概念，目的是為了幫助學生多角度、多層次地理解知識。我們知道，學習者的認知結構不僅僅包含了知識體系，還應包括經驗系統。因此，數學教學除了概念教學外，還應有數學活動經驗的教學，這也是我國基礎教育數學新課程改革特別提倡的。顧泠沅教授于1981年提出了“過程性變式”的概念，②2003年鮑建生教授等根據我國變式教學的研究和實踐情況，多角度剖析了“變式教學”，并將“變式教學”中的“變式”區分為“概念性變式”和“過程性變式”。這樣區分對于我們更好地理解“變式教學”有特別重要的意義。

過程性變式的概念隸屬于變式教學，其含義主要是“在數學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗”，主要“用于概念的形成、問題解決和建構經驗活動體系”。③而將過程性變式用于問題解決的教學中，教師適時地通過設置多角度、多層次的由淺入深的變式，將有助于學生形成良好完善的認知結構，靈活地解決問題，融會貫通。這樣，不僅提升學生的數學素養，也有助于實現數學課堂教學的高效性。

2 過程性變式有助于改善初中生數學問題解決能力

本文將結合“求解方程模型應用題”的具體實例闡述過程性變式對初中生問題解決能力的影響。

2.1 運用過程性變式，培養學生分析問題的能力

問題1：甲乙兩站相距480千米，A車從甲站開出，每小時行駛90千米，B車從乙站開出，每小時行駛70千米。如果兩車同時開出，經過多長時間相遇？

變式1：甲乙兩站相距480千米，A車從甲站開出，每小時行駛90千米，B車從乙站開出，每小時行駛70千米。若A車開出1小時后B車再開，兩車相向而行，問：B車開出多長時間后兩車相遇？

變式2：甲乙兩站相距480千米，A、B兩車分別從甲、乙兩地同時開出，相向而行，3小時后在途中相遇。然后，A車返回甲地，B車繼續前進。當A車回到甲地，B車離甲地還有60千米，求A、B兩車的速度。

變式3：運動場的跑道一圈長400米。小健練習騎自行車，平均每分騎90米，小康練習跑步，平均每分跑70米。兩人從同一處同時反向出發，經過多長時間首次相遇？又經過多長時間再次相遇？

問題1是用一元一次方程解決行程問題的一個典型實例，通過學習和解答，有利于幫助學生形成方程解題的思想。為了加深學生對方程思想的理解，讓學生運用這一思想更深入地探究行程問題的本質，可對問題1作以上幾個變式：①變式1是改變了問題1的條件，學生僅靠對公式“S=vt”的機械套用難以解決問題，這個變式主要是引導學生根據具體情況對公式先變式再運用;②變式2改變了提問的內容（即所求的未知量），較之前兩種問法，需要學習者深入分析，從已知中找準數量關系;③變式3改變了問題1的背景。容易引起學生的誤解，停留于表面而產生畏懼心理。事實上，只要教師引導學生從實際問題中抽象出數學模型，學生自己會根據已有的數學基礎將問題歸類并加以解決。一題多變，學生通過少而精的變式練習學會分析問題，清楚地認識到問題的解決過程以及問題自身結構，體會問題中蘊含的數學思想方法并合理地運用。同時，這種變式訓練讓學生意識到“數學問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經解決的問題，復雜的問題化歸為簡單的問題”。④問題分析能力的提升將是學生邁出成功解決問題的第一步。

2.2 運用過程性變式，拓展學生的數學思維

問題2：現有一長方形的鐵皮，小明欲通過割補使它的長減少5厘米，寬增加2厘米后變成一塊與之等面積的正方形鐵皮。問：原來這塊鐵皮的長、寬各是多少？

對于問題2，大部分學生直接入題，依據“割補前后鐵皮總面積和邊長的變化”找出數量關系。若設原來這塊鐵皮的長為厘米，寬為厘米，則可列出二元一次方程組。也有一部分同學借助具體的圖形（如圖1），由于割補前后鐵皮的面積不變，所以不難發現陰影部分兩個矩形的面積相等。因此，可列出二元一次方程組。

以上是兩種常規的解法，教師還可以引導學生進一步去思考：這道題能否用其他的方法求解？不妨轉化一下思路，運用逆向思維分析這道題目，為了減少變元，設割補后所得正方形的邊長為厘米。然后用代數式來表示原長方形鐵皮的長為（+5）厘米、寬為（2）厘米，依據“割補前后鐵皮的面積不變”列出方程： = （+5）（2）。

一題多解，就是啟發和引導學生從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程解答同一道數學問題。⑤通過一題多解的練習，學生的數學活動經驗有所增長的同時也使得知識體系更加完善。教師通過引導學生尋求同一問題的不同解決途徑，拓展學生的數學思維，提高課堂效率，提升學生對數學知識的應用能力，有效地促進了學生的知識體系的完善。

2.3 運用過程性變式，提高學生模型遷移能力

問題3：現有濃度為10%和85%的鹽水。小強要配制濃度為45%的鹽水12千克，問：這兩種鹽水各需多少千克？

變式1：一家便利商店現有一些每千克賣4.6元的糖果和每千克賣3.4元的糖果。根據銷售情況，需要將現有糖果混合，得到每千克賣4.2元的雜拌糖200千克。請幫助老板設計出糖果的混合方案。

問題3可根據“溶液和溶質在配制前后總質量不變”找出數量關系，通過列二元一次方程組就可以解決。變式1是日常生活中的問題，在解決了問題3后，教師要有意地引導學生觀察兩個問題之間的異同。不難發現變式1僅改變了問題3的背景和提問的方式，換湯不換藥，因此可以把它化歸為問題3中涉及到的濃度問題。先找出不變量即“混合前后糖果的總質量和總售額是不變的”，再根據已知的數量關系用方程模型解決問題。學生通過對問題的類比歸納，能夠用同一方法解決相似的問題，這有利于學生相關經驗系統的構建，同時也將會提高學生問題解決中的模型遷移能力。教師運用過程性變式，指導學生“變中尋求不變”，又以“不變的模型”應萬變，從而引導學生從“學會”變為“會學”。

“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”，這是《義務教育數學課程標準（2011）》中提出的數學課程的基本理念。“在良好的數學基礎上謀求學生的數學發展”這也是中國數學教育的特色。⑥因此，從實際教學情況出發，根據教學目標，精選例題，合理有效地運用過程性變式幫助學生提升解決問題的能力，優化認知結構，實施高效的課堂教學，無疑是每位教師的追求。

注釋

① 陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

②③鮑建生，黃金榮，易凌峰，顧泠沅.變式教學研究（續）[J].數學教學，2003（3）.

④ 顧泠沅，黃金榮，費蘭倫斯.馬頓.變式教學：促進有效的數學學習的中國方式[J].云南教育，2007（3）.

⑤ 吳佑華.有效變式：為數學課堂生成智慧溢彩[J].數學教學研究，2010（8）.

⑥ 張奠宙.建設中國特色的數學教育理論[J].數學通報，2010（1）.