鼓勵學生猜想，提高課堂效率

沈建華

摘 要：數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。它是建立在已有的事實經驗基礎上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。數學方法理論的倡導者G·波利亞曾說過：“在數學領域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負責任的態度。”數學猜想能縮短解決問題的時間；能獲得數學發現的機會；能鍛煉數學思維。

關鍵詞：數學猜想；類比聯想；充分想象；頭腦風暴

歷史上許多重要的數學發現都是經過合理猜想這一非邏輯手段而得到的，例如，著名的“哥德巴赫猜想”“四色猜想”等。因此，在數學教學中，運用猜想可以營造學習氛圍，激起學生飽滿的熱情和積極的思維，培養學生克服困難的堅強意志，自始至終地主動參與數學知識探索的過程。

一、利用類比聯想培養學生進行有效猜想的能力

所謂類比聯想，就是在聯想的基礎上對兩個或兩個以上的事物進行比較，找出它們之間的共同點，進而受到新的啟示，產生新的思路，從而產生新的解決問題的方法。

數學教學要重視問題情境的創設，以引起學生的好奇心和求知欲，激發學生的學習興趣和探究的欲望，使學生發現問題、提出問題并尋求解決問題的方法。類比轉化法就是把要解決的問題轉化為另一個與之有關的，且是較熟悉的、易理解的問題去解答的方法。這種方法往往用于解答一些較抽象的概念或定理，由于難以表達，需轉換一個角度去思考，這樣問題就容易解決。例如，在“有理數加法”的教學中，如何理解8+（-5）等于多少呢？若舉些實際例子來解決這個問題，那么學生就能夠很快得出答案。我是這樣說的：“把8看作我原有8元錢，把-5看作我用了5元，則手里還剩下幾元錢？”學生很快就能答出是3。然后讓學生按照相似的方法舉出各種加法的情況再加以猜想，學生很快就得出了加法的法則。通過這些生活中的例子，學生對有理數加法法則有了感性的認識。因此，教師在創設問題情境時要在符合客觀事實的基礎上，凸顯出一些問題解決方式或答案的信息，使創設的情境對學生的猜想和假設具有一定的啟發和暗示性。這樣學生在猜想與假設時，就有了一個較為明確的方向，不至于做出一些不著邊際的猜想與假設，同時培養了學生收集信息的能力。

數學教學在解題過程中為了尋找問題的解決線索，通常借助類比聯想，從而達到啟發思路的目的。因此，類比聯想在求解問題中有著廣泛的應用。在解題教學中采用類比教學，可以梳理知識、歸納題型、總結解題方法，這樣做既有利于學生記憶和掌握所學知識，又有利于培養學生聯想思維的靈活性，從而培養了學生進行有效猜想的能力。

例：已知m2+3m-2=0，n2+3n-2=0（s≠t），求mn+4s+4t的值。

思路分析：觀察已知條件和所求代數式的外形，可聯想到一元二次方程的根與系數的關系。類比題設構造一個以m和n為根的一元二次方程x2+3x-2=0，然后根據一元二次方程的根與系數的關系知m+n=-3，mn=-2，從而很容易求出所求代數式的值：mn+4s+4t=mn+4（s+t）=-2+4×（-3）=-14。

二、讓學生在參與合作學習中激活猜想

“心理自由”或“心理安全”是有利于創造性活動的基本構件，一個學生如果感到課堂心理氣氛是自由和安全的，他就會心情舒暢，而不必花時間來保護自己，也不怕別人來責難，始終能按自己選定的目標不斷進取，敢于發表意見、敢于猜想。假如教師給學生的是一種“無法親近、高高在上”的感覺，那么，即使學生在學習過程中有一些猜想與假設，也不敢告訴教師，當然無法讓學生進行有效的猜想與假設了。因此，在數學教學中，教師要用發展的眼光看待學生提出的猜想，發現學生的閃光點，多激勵表揚學生，對學生提出的各種猜想哪怕是較為不合理的猜想也要認真對待，同時積極引導學生沿著合理科學的思維方向進行有效的猜想與假設。例如，在“可能性的大小”教學中，我讓每個學習小組模擬現實情境做轉盤游戲：課前將轉盤分成大小不等的幾個扇形，并分別涂上紅、黃、綠、黑四種不同的顏色，它們分別表示一等獎、二等獎、三等獎、謝謝參與，再在課堂上讓各個小組都動手做轉盤的游戲，并對中獎結果作了記錄。游戲后，我問學生：“你在轉出結果之前，頭腦里會想些什么？”學生必然會說：“猜我會得什么獎？”“可能得什么獎？”我緊接著問：“有四種可能：一等獎、二等獎、三等獎、謝謝參與。”“每個獎次出現的可能性相同嗎？”“不相同，圓心角越大，可能性越大。”……學生通過玩游戲，加深了對可能性的理解，充分感受到事件發生的可能性大小是不一樣的：事件發生的可能性大小是由事件發生的條件決定的，而不是運氣的問題。再例如，在求n多邊形內角和時，我提供了一種證法，從n邊形的一個頂點出發，引出（n-3）條對角線，他們將n邊形分為（n-2）個三角形，n邊形的內角和等于（n-2）×180°，學生在此基礎上，大膽地提出了自己的猜想——把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？由新的分法能得到多邊形的內角和公式嗎？于是我把學生分成幾個小組進行討論、探究，學生很快得到了兩種方法，方法1：在n邊形內任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形。因為這n個三角形的內角的和等于n·180°，以O為公共頂點的n個角的和是360°，所以n邊形的內角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°。即n邊形的內角和等于（n-2）×180°。方法2：在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其他各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，這（n-1）個三角形的內角和等于（n-1）·180°，以O為公共頂點的（n-1）個角的和是180°，所以，n邊形的內角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。他們通過努力，親自驗證了他們的猜想，學生更加有信心和參與課堂的積極性，突然又有兩三個學生大膽地進行了猜想，既然點O能在多邊形內部和邊上，那么點O能不能在多邊形的外部呢？這個猜想轟動了全班學生的思維，大家不約而同地小組討論起來，果不其然，一段時間后，有的小組得出了結論：可以得到多邊形內角和公式，于是得到了方法3：在多邊形外取一點O（點O不在n邊形任一邊的延長線上），連接此點與各頂點，得到（n-1）個三角形，所以此n邊形的內角和等于（n-1）個三角形的內角和減去一個三角形的內角和，即（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°，歸納之后得到n邊形的內角和為（n-2）×180°。雖然列出的式子和方法2的一樣，但是研究的方法是不一樣的，學生敢于猜想，并積極參與合作探究，驗證了猜想，這樣的處理符合學生的心理特征，也最大限度地調動了學生學習的積極性。整個學習過程，學生思維活躍，具有開放性。在師生的共同合作中，學生進行了非常有效的猜想，課堂教學取得了良好的效率。

三、提供充足的時間，讓學生充分想象

初中數學中的許多概念、性質、判定等知識，對于正處于由感性認識到理性認識轉化的初中生而言是比較抽象的。讓他們通過觀察具體圖形或實物模型和動手實驗，根據自己的觀察實驗，在感性認知的基礎上提出合理的猜想，猜想時，每個學生憑借自己的想象進行估計、推測，對問題的看法不同，教學時要讓學生的思維充分發散，以提出不同猜想。如，在教學“認識三角形”時，提出：“是不是任意三條線段都能組成三角形呢？”一開始幾乎所有的學生都回答：“是。”這時，我拿出事先準備好的一些長短不一的木棒，讓學生自己動手演示，學生通過親自動手實踐否定了他們的答案。我抓住學生的結論引導學生猜測：“能不能組成三角形是否與三條木棒的長度有關系？”請學生接著分組測量課本中提供的三類三角形的三邊之長，最后由學生自己得出三角形的三邊關系。這一問題情境創設突破了教學的難點，學生不僅能主動地獲取知識，而且能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習。反饋信息表明，學生對自己操作得到的數學結論理解得深，掌握得牢。教學時要善于引導學生密切聯系所學過的知識展開想象，使學生產生好奇心理。比如，在講授“等腰三角形的兩個底角相等”時，教師可先讓學生拿出已準備好的等腰三角形紙片，引導學生進行觀察并對兩個底角的關系進行猜想。學生通過自己的感官反應馬上得到“等腰三角形的兩個底角相等”，在教師的肯定與贊揚聲中，學生躍躍欲試，又通過動手操作：有的拿出了量角器來進行測量，有的通過對折來看這兩個角能否重合……很快他們就找到了驗證自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了這一性質。又如，新授“三角形中位線”定理時，學生在了解了“連接三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線”之后，通過“畫一畫”“量一量”“看一看”的操作來猜想三角形中位線的性質，通過學生自己的觀察與測量得到了“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”，這就引發了想象：是不是任何一個三角形的中位都平行于第三邊且等于第三邊呢？隨后，學生饒有興趣地進一步推理論證該定理。在講授新知識的同時，讓學生體驗知識本身的魅力與內心的喜怒哀樂，同時又培養他們的想象力。

每個學生的能力、水平、思維的敏捷性不同，提出猜想所需的時間也不相同；學生在猜想時還要不斷地進行交流討論甚至辯論，這也需要以一定的時間為基礎。因此，在探究教學中要提供給學生充分的時間，充分發揮其想象力，提出各種可能的猜想。如果沒有一定的時間保證，猜想只能匆匆進行，既不能使所有學生進行猜想也不能使猜想達到應有的深度。

四、利用頭腦風暴法，展示學生的猜想

頭腦風暴法是教學中讓學生根據自己對問題的看法，提出盡量多的猜測，教師和其他學生不要打斷和進行評價，直到把所有的可能都提出來的一種猜想方法。頭腦風暴法可充分發揮學生的聰明才智，調動學生的能動性、積極性，讓學生暢所欲言，把所有的猜想都提出來。例如，（1）在教學“有理數的乘方”時可這樣導入：讓學生把厚0.1毫米的紙依次折疊并計算紙的厚度。引導學生觀察、發現紙張的厚度變化是在成倍地增加。同時提出繼續折20次、30次會有多厚？如果一層樓高3米計算，折疊20次有30層樓高嗎？珠穆朗瑪峰有8844米，折疊30次有12個珠穆朗瑪峰高嗎？這一驚人的疑問讓學生精神集中，思維活躍，進入最佳狀態。（2）假如有一條很長很長的繩子，恰好可以繞地球赤道一周，如果把繩子再稍稍加長15米，在赤道的任何地方，你都可以站著從繩子下方自由穿過嗎？（3）相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他需要什么，發明者說，我想在棋盤的第一個格子里放一顆麥粒，第二個格子里放兩顆麥粒，以后的每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒的2倍，直到第64個格子，請國王滿足我這個要求即可。試問：“同學們，這64個格子里的麥粒之和為多少？怎樣計算呢？”不用多說，在這樣的問題情景之下，學生帶著渴求的心理去探究，課堂上學生不由自主地投入學習。

《義務教育數學課程標準》的基本理念是“以學生發展為本”“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”“發展學生的數學應用意識”，因此在實施素質教育的數學課堂教學中，要不斷優化課堂教學方法，教師在教學中利用猜想，為學生創造了更多的自主思考機會，激發了學生學習的內驅力，發展了學生的潛在能力，使學生在認識所學知識、理解所學知識的同時，智力水平不斷提高。使學生產生“疑而未解，又欲解之”的強烈愿望，進而轉化為一種對知識的渴求，從而調動學生學習的積極性和主動性，達到提高課堂教學質量的目的。

參考文獻：

[1]鄭良.全面貫徹新課程理念，提高數學教學學生參與程度和課堂效率[J].浙江教育技術，2010（01）.

[2]王娟娟.課堂教學應重視鼓勵性評價[J].作文教學研究，2007（05）.

編輯 董慧紅