應(yīng)用數(shù)學(xué)手段，解決物理問題

張東

物理是一門精確的科學(xué)，與數(shù)學(xué)有密切的關(guān)系。物理是一門基礎(chǔ)科學(xué)，是整個(gè)自然科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)代技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，在現(xiàn)代生活、社會(huì)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。但在應(yīng)用物理知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，一般或多或少都運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行推理，而且處理的問題越高深，所要應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)越多。所以能熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)處理物理問題，是學(xué)好物理的必要條件。近年來(lái)高考對(duì)考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力要求十分明確，即要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析和處理問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題，有時(shí)是數(shù)字運(yùn)算，有時(shí)是符號(hào)運(yùn)算，即既要重視定量運(yùn)算，又要重視定性和半定量的分析和推理。筆者從以下方面對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行分析。

1.向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征又有幾何特征。通過(guò)向量可以解決許多物理問題。

（1）向量的大小：用向量的大小比較判斷繩子的受力情況。

例：如圖所示，無(wú)彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A、B處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC下端系著一個(gè)稱盤，且使得OB垂直O(jiān)C，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大。

由上圖可以看出直角三角形OAC中，OA的長(zhǎng)度最大，即向量OA的大小最大。

（2）向量的加法運(yùn)算。

例：一物體從0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，然后又從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，則整個(gè)過(guò)程的位移是多少？

解：根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法計(jì)算，總位移OB=OA+AB（矢量表示）。

根據(jù)位移的定義，位移是由初位置O到末位置B的一個(gè)有向線段表示，則OB（矢量表示）為整個(gè)過(guò)程的位移。

同樣，在速度、加速度、力等矢量的合成中，無(wú)不用到了矢量的加法運(yùn)算。

例：一木箱在拉力F的作用下，發(fā)生了位移S，拉力與位移的夾角為θ，那么該力對(duì)此物體所做的功為多少？

解：根據(jù)功的定義，力對(duì)物體所做的功W，就是拉力F與在其作用下物體產(chǎn)生的位移S的數(shù)量積F·S

3.利用正余弦函數(shù)表示物理規(guī)律

物理中運(yùn)用到正余弦函數(shù)的地方很多，比如，質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系，機(jī)械波的波動(dòng)方程，交變電流的電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的投影規(guī)律。筆者以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為例，對(duì)其進(jìn)行分析。

例：如圖所示為一單擺和它的振動(dòng)圖像，O為平衡位置B、C為最大位移處，規(guī)定向右為正方向，試回答：

（1）振幅和周期各為多大？

（2）單擺在振動(dòng)過(guò)程中通過(guò)哪個(gè)位置時(shí)，作為起始時(shí)刻（即t=0）？

（3）當(dāng)t=0.75秒時(shí)，單擺通過(guò)哪個(gè)位置？運(yùn)動(dòng)的方向向哪里？

（4）在t=0.5秒～0.75秒的時(shí)間內(nèi)，單擺的位移、速度、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能的大小分別怎樣變化？

4.利用立體幾何的空間觀解決物理問題

良好的空間觀是解決物理問題的基本素質(zhì)，學(xué)好立體幾何，樹立良好的空間觀，會(huì)畫出各個(gè)物理模型的截面分析圖，對(duì)學(xué)好物理有很大的幫助。

例：如圖，MN、PQ是兩根足夠長(zhǎng)的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在導(dǎo)軌的M、P端連接一個(gè)阻值為R的電阻，一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，質(zhì)量為m，從靜止釋放開始沿導(dǎo)軌下滑，求ab棒的最大速度。（已知ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌和金屬棒電阻不計(jì)）

解：對(duì)ab棒進(jìn)行受力分析，畫出側(cè)面的受力分析圖，

5.數(shù)列在物理中的應(yīng)用

一固定的斜面，傾角為θ=45°，斜面長(zhǎng)L=2米。在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為零。質(zhì)點(diǎn)下滑到斜面最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞，已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.20，試求此質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第11次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程。

在倡導(dǎo)素質(zhì)教育的今天，學(xué)科之間的綜合非常重要。高考有理科綜合和文科綜合，初中還未實(shí)行綜合考試。為此，在近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，已開始出現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理綜合的考題，學(xué)科結(jié)合型試題是今后中考命題的一個(gè)趨勢(shì)，值得引起大家的注意。數(shù)學(xué)是物理的基本工具之一，沒有數(shù)學(xué)就不可能得到更深入的物理，就好像沒有微積分就沒有牛頓力學(xué)的繁榮，沒有黎曼幾何和張量代數(shù)就沒有愛因斯坦的相對(duì)論一樣。物理是數(shù)學(xué)得以向前發(fā)展的動(dòng)力之一，物理總是在給數(shù)學(xué)提出一個(gè)又一個(gè)論題，就如數(shù)學(xué)中的小波分析就是為了實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的一樣。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法有時(shí)是解決物理問題的一大捷徑。