新課程下立體幾何教學探討

張振棟

新課程下，立體幾何內容的體系結構有了很大的變化。過去常從研究點、直線和平面開始，再研究由它們組成的幾何體，遵循部分到整體的原則；現在先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面，按照從整體到局部的方式展開幾何內容，并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程。新課標強調幾何直覺，把空間觀念的建立和空間想象能力的培養放到突出的位置。這種安排有助于培養學生的空間想象能力和幾何直觀能力，淡化幾何論證，改變立體幾何學習入門難的狀況，提高學生學習立體幾何的興趣。學生在學習過程中存在以下問題：一是沒有建立立體感和空間觀念；二是基本定義定理掌握不牢固；三是表述不規范。根據新課程的特點和學生的學習情況，以下是我在教學中幫助學生學好立體幾何的做法。

一、教學中強調幾何直觀，建立空間觀念，培養空間想象力。

1. 仔細看模型。一是實物模型。如教學“直線與平面的位置關系”時，可以讓學生拿出筆和書或讓學生觀察教室的墻角線，墻面課桌講臺黑板所存在的線面關系。二是看教具模型。如教學“多面體”時給出柱錐臺多種多面體模型，讓學生仔細觀察模型中的線面及其之間的位置關系，總結出多面體的結構特征。

2. 借助多媒體展示豐富的圖形。用電腦將表示直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，以及各種幾何體的模型投影圖播放出來，讓學生觀察，提高學生的幾何直觀能力，幫助學習認識幾何體的結構特征，為學生理解和掌握圖形的幾何性質提供支持。

3. 鼓勵學生制作模具。引導學生制作多面體和旋轉體模具，特別是制作規定大小的幾何體，手腦并用，實物演示，化抽象為直觀。讓學生在親手制作中發現知識，加深印象，培養他們的空間想象力。

4. 指導學生畫圖。學立體幾何，離不開畫圖。因此，教學初始教師應該引導學生勤畫圖，繪好圖，讓畫圖與推理論證相輔相成，培養學生良好的解題習慣。教師要指導學生學會畫空間圖形的三視圖和直觀圖。實踐證明，較好的繪畫藝術不僅能激發學生對空間圖形的熱愛、邏輯推理論證的追求，而且對于建立空間觀念很有幫助。

二、教學中歸納常見的證明策略。

1. 總結各種證明的基本證明方法。例如：A.線線平行的證明方法有：（1）公理4。（2）線面平行的性質定理。（3）面面平行的性質定理。（4）線面垂直的性質定理。（5）平面幾何證平行的方法。B.線線垂直的證明方法有：（1）線面垂直的性質。（2）平面幾何證垂直的方法。掌握各種證明方法，學生就能尋找證明的途徑。

2. 明確定理應用的關鍵。講解每個定理時，要通過解題明確定理應用關鍵，學生才能靈活準確地應用定理。例如：線面垂直的判定定理應用的關鍵是在平面內有兩條相交直線與已知直線垂直，線面平行的性質定理應用的關鍵是引輔助平面。如：求線線角，線面角，面面角的關鍵是選擇點。

3. 讓學生積累相關的解題經驗。在牢固地掌握立體幾何的概念、定理、法則、公式的基礎上，面對一道題，一定要讓學生知道自己要做什么，不要拿到一道題就盲目地做。一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識銜接點，一個固有的或確定的數字關系。我們的規則是“條件給誰，想誰的性質定理。結論證誰，想誰的判定定理。”在證明之前就要設計好證明的路線，明確每一步的目的，讓學生會大膽假設，仔細推理。要不斷提高反省認識水平，積極反思自己的學習活動，從經驗上升到自動化，從感性上升到理性，提高對理論的認識水平，提高解決問題的能力，發展創造性思維。例如：證明線面垂直一般多用判定定理，證明直線與兩條相交直線垂直。常見題型是已知一個線線垂直，另外一個線線垂直需要利用線面垂直證明。

4.不斷將所學內容結構化和系統化。所謂結構化，是指從整體到局部，從高層到底層認識、組織所學的知識，并領會其中隱含的思想方法。所謂系統化，是指將同類問題和平行的問題，垂直的問題，角的問題，距離的問題等集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認識。牢固地把握一些統攝全局、組織整體的概念，用這些概念統攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關系的已知知識間的聯系，形成整體觀念。要注意積累解決問題的策略，如將立體幾何問題轉化為平面問題，又如求點到平面的距離的問題或轉化為體積的問題。

三、教學中注重規范和技能的訓練。

立體幾何要用圖形、文字、符號三種形式表達概念。定理、公式教學中要及時不斷地復習前面學過的內容，這是因為它前后聯系緊密，前面內容是后面內容的根據，后面內容既鞏固了前面的內容，又發展和推廣了前面內容的根據。不少學生對作，證，求三個環節交代不清，表達不夠規范嚴謹，存在因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等問題。這就要求學生平時養成良好的答題習慣，教師應該發揮好格式示范及榜樣作用。按課本上例題的答題格式，步驟推理過程等一步步把題目演算出來。例如：立體幾何求值題，按照“一作二證三求值”的過程完成。答題的規范性在數學的每一部分內容的學習中都很重，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。所以要讓學生明確幾何語言最講究言之有據，言之有理，不符合定理的話不要說。

要掌握基本技能，用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交代清楚。要學會用圖（畫圖，分解圖，變換圖）幫助解決問題。要掌握各種角、距離、面積、體積的基本方法和推理證明的基本方法——分析法，綜合法，反證法。數學思想的一個極其重要的內容是“轉化”將其滲透于立體幾何教學中尤為重要，它是學好立體幾何的關鍵所在。一是把空間問題轉化為平面問題；文字語言，符號語言，圖形語言之間的相互轉化。二是在有關證明和求值中，“面面垂直”通常轉化為“線面垂直”，而“線面垂直”通常轉化為“線線垂直”；“面面成角”通常轉化為“線面成角”，而“線面成角”通常轉化為“線線成角”，等等。立體教學中，教師應該把“轉化”思想滲透到每一堂課，那么在教師的潛移默化下，學生的“轉化”能力必將得到提高，從而在不知不覺中提高邏輯思維能力。

高中數學的重點和難點之一是立體幾何。由于學生空間想象能力有限，該課程具有高度抽象性，造成了學習困難。我認為在教學中要突破立體幾何這一難點，關鍵不僅僅在于教學形式上的改變，更在于以先進的思想指導教學。教師不僅要關注學生的結果，更要注重學生的學習過程，促進學生學會自主學習，合作學習，引導學生探究學習，讓學生親歷感受和理解知識產生和發展的過程，培養學生的數學素養、創新能力終身學習能力。

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準.人民教育出版社.

[2]普通高中課程標準實驗教科書（數學）.教師培訓手冊.人民教育出版社.