巧用幾何和物理情景進行向量教學

胡旭耀

〔關鍵詞〕 數學教學；向量；物理；幾何

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）21—0118—02

《普通高中數學課程標準（實驗）》中，在必修課程、選修課程中設置了向量的內容.但是，對于中學生來說，向量卻是數學學習的一大跨越，不僅僅是增加了新內容，更重要的是要讓學生立足于向量這一全新的視角，拓展對問題的思維方式.因此，向量教學是高中數學教學的重點和難點之一.下面，筆者從向量的基本概念、向量的應用、向量數形結合的特點等幾個方面入手，談一談如何利用幾何與物理情景進行向量教學.

1. 向量基本概念與表示

學生初學向量，對向量“既有大小又有方向”的基本概念難以直接理解，教師可設計一些情景活動，來幫助學生加深理解.

活動1：平面上昆蟲的位移.如果觀察桌子上的一只螞蟻（用A表示），猜測螞蟻將會跑到哪里？

學生不容易猜出螞蟻移動的位置，因為有無數可能的方向.故教師可假設在若干秒內，螞蟻從起點開始有以下舉動，讓學生根據圖示進行列舉：（1）相等的距離、相反的方向（如從A到H和從A到C）；（2）相等的距離、不同的方向（如從A到B和從A到C）；（3）不同的距離、相同的方向（如從A到K和從A到L）.這樣，通過讓學生比較不同的位移和軌跡，引入“既有大小又有方向”的量，進而引出向量的概念.

活動2：城市之間的位移.每天早晨，某人要從城區I地點的家中坐車到城區E地點去上班，到了晚上，他又要從城區E地點返回到城區I地點的家中.問：這兩次行程之間有何區別？ 部分學生會對向量的表示存在錯誤理解，如將I←E表示成■，將I→E表示成■.通過該活動，引入向量的表示方法與含義，讓學生理解向量的記法、幾何表示以及相反向量和共線向量的概念.

活動3：幾何實例.在平行六面體中所標示出的向量中，請區別：（1）長度或者數量相等的向量；（2）在相同路徑上的向量；（3）和■有相同方向的向量；（4）和■相等的向量；（5）和■相反的向量.

由于語言表達的原因，一些學生可能會有如下的誤解：水平和垂直方向意味著“相反”的方向：所有的垂直向量都和水平向量■相反.類似地，和向量■垂直的向量，如向量■，會被認為是和水平向量■相反.通過該活動，讓學生直觀地理解垂直向量的概念.

2.向量的比較

比較向量時，學生的主要困難在于錯誤地認為向量的相等僅僅就是向量大小的相等，也就是在數量上的相等，而忽略向量在方向上的相同；另外，在向量的起點和終點平行移動后，誤認為是形成了不同的向量.可通過實例活動，來幫助學生理解.如通過舉例平行六面體中的■和■，說明它們是相等的向量，但不是同一個向量，不同是因為它們在不同的位置，但它們卻相等.

3.非共線向量求和

非共線向量求和時所用的向量運算法則是向量學習的難點和重點，學生學習時會有很大障礙.因此，教師在教學的時候可循序漸進地結合具體實例進行類比講授.（1）三角形法則.向量之間的操作可被看作是對對象進行多種操作之后的最終效果.可通過物理中常用的位移和速度的例子進行說明.（2）位移情景：甲從地點A行駛到地點C，中間經過地點B，并用向量表示其行程.乙從地點A直接行駛到地點C.請比較甲、乙兩人最終的位移.（3）速度情景：小球沿著管道以4厘米/秒的速度移動，同時管道以3厘米/秒的速度向上移動.在位移情景實例中，甲、乙兩人的最終位移相同；在管道問題實例中，在2秒內，如果管道沒有移動，則小球的位移是■；如果只有管道移動，小球的位移是■；如果同時移動，小球的位移是■.通過這些情景實例的解釋和討論，強化學生對三角形法則的理解.

2. 平行四邊形法則.在介紹平行四邊形法則時，可通過以下的預備活動，來幫助學生理解平行四邊形法則與三角形法則之間的關系.

（1）進行如圖所示的實驗活動：有一個平板車，車上有一小球.在平板車向右運動一段距離的同時，小球在車上向上邊運動一段距離.分析小球最終的位移情況，可以有兩種方式：一種是可認為平板車先向右運行，然后小球向上運動；一種是認為小球先向上運動，然后平板車向右運動.

無論我們如何觀察和分析運動的順序，小球最終的位移是相同的.在此基礎上，可以引入向量求和的可交換性概念，引入三角形法則與平行四邊形法則之間的等價關系.

（2）進行如下兩個構造活動， 要求保持形狀的平行四邊形，觀察和分析形成的軌跡：a.移動點A和點B之間的兩條線段；b.移動點A和點B之間的兩個向量，移動時，要保持向量的方向不變。

活動a的作用是讓學生首先感受由線段構成的平行四邊形的特點和形式；活動b的作用是讓學生理解帶有方向的向量所構成的平行四邊形的形式、通過和活動a進行比較，理解向量的平行四邊形法則的規律.在這些準備活動結束后，然后在課堂上進行了關于力的真實實驗活動：如圖所示，在A點需要掛多大的重量去保持平衡？通過思考、計算、試驗、講解，讓學生領會平行四邊形法則.

向量是高中數學新課程中的重點內容之一.本文針對中學生學習向量時面對的理解上的困難，提出基于學生的實際生活體驗，結合學生的物理和幾何課程，通過設計各種物理和幾何情景活動與實例，將抽象的概念用直觀具體的方式進行傳授，以幫助學生對向量概念有更深入地理解.

？笙 編輯：謝穎麗