例談小學數學教學中合情推理能力的培養

郝高峰

摘 要：《數學課程標準》指出，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中，那么作為幾乎無處不在的合情推理理應在小學數學教學中得到足夠的重視。本文以《點陣中的規律》教學為例，論述在教學中，教師應創造條件，引導和鼓勵學生經常“猜一猜”、“比一比”、“證一證”，逐步培養學生的合情推理能力，促進學生思維的提升。

關鍵詞：合情推理；思維能力；小學數學

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）21-151-01

推理是數學的基本思維方式，包括合情推理和演繹推理。在以往的教學中，我們比較重視演繹推理的教學，忽視了合情推理的培養。而小學生更多是在豐富多彩的數學活動中經歷觀察、實驗、猜想、驗證等合情推理過程。因此，在小學數學教學中要重視培養學生的合情推理能力。

一、鼓勵學生“猜一猜”

我在教學《點陣中的規律》時，猜想可謂是貫穿了整節課的始末。如在研究正方形點陣時，請學生猜猜第10個，甚至第100個點陣的樣子及排列規律；研究完了正方形點陣，請學生猜一猜還可能有什么形狀的點陣并自己設計、研究；學生設計出三角形點陣、長方形點陣、十字形點陣后鼓勵學生猜猜第n個是什么樣子，用算式如何表示；教師出示了五邊形點陣后，引導學生猜猜還可能有六邊形、七邊形等點陣；課尾，將點陣從平面引向了空間，告訴孩子“畢達哥拉斯學派”的數學家們還研究了“三棱錐數”，請學生猜一猜數學家們還可能研究什么樣的“形數”呢。整節課，孩子遨游于猜想的海洋，思維活躍，幾近“山重水復”，屢歷“柳暗花明”。先后了解了正方形、三角形、長方形、十字形、五邊形、中心五邊形、五角星、三棱錐數等“形數”。我一次次折服于孩子大膽的猜想，難怪大教育家波利亞疾呼：“讓我們教猜想吧！”

二、聯系異同“比一比”

合情推理被譽為“科學發現的金鑰匙”，它有不完全歸納推理和類比推理兩種主要形式。而不管是“從個別到一般”的歸納推理，還是從“特殊到特殊”的類比推理都是在觀察、比較、分析、聯想的基礎上進行的。在小學數學教學中，我們要牢記俄國心理學家巴浦洛夫的告誡——“要研究事實，對比事實，積聚事實”，經常引導學生對所學知識進行比較，辨別異同，認識本質，發展學生的合情推理能力。探究正方形點陣的排列規律時，學生可能會出現以下思路：

1、從上往下。第1個點陣有1×1=1個點、第2個有2×2=4個點、第3個有3×3=9個點……第n個點陣共有n×n（即n2）個點；2、斜著觀察。第1個點陣有1個點、第2個有1+2+1=4個點、第3個有1+2+3+2+1=9個點……第n個點陣共有1+2+3+…+n+…+3+2+1個點；3、轉著觀察。第1個點陣有1個點、第2個有1+3=4個點、第3個有1+3+5=9個點……第n個點陣共有1+3+5+…+（2n-1）個點。

教學中，不但要引導學生通過“比一比”歸納或類推出第n個正方形點陣有多少個點，更要引導學生比較這三種思路之間的異同，類推出一般的找規律的方法（有序思考、數形結合等），還可以引導學生發現：n×n=1+2+3+…+n+…+3+2+1=1+3+5+…+（2n-1）=n2。把學生的思維引向一個新的高度，培養了學生的合情推理能力，發展了學生的思維。

三、引導學生“證一證”

合情推理是一種似真推理，主要用來探索思路，發現結論。而“實踐是檢驗真理的唯一標準”。因此，當我們通過合情推理得到一個猜想以后，應鼓勵學生在他們已有的知識和經驗的基礎之上進行推理驗證，經歷一個“猜想——驗證”，甚至“再猜想——再驗證”的過程。比如學生在研究自己“創造”的十字形點陣時，通過觀察發現相鄰兩個點陣的點數總相差4，有同學猜測第n個點陣共有4n+1個點，也有人猜測應有4n-3個點。如果教師迅速宣布結果，我們就將失去一次大好的思維訓練契機。教學時，我適時追問了一句：“你能想辦法驗證你的猜想嗎？”短暫的思考之后，孩子們就第n個點陣的點數到底是4n+1還是4n-3展開了激烈的爭論：

生1：我認為應該是4n+1，大家看，如果不看中間的點，這里每一圈都有4個點（孩子見說著不清楚，直接走上了講臺，借助實物投影展示），總點數應該是4的倍數多1，不就是4n+1嗎？

生2：不對，不對！（她顯然有些著急了）如果你說的是正確的，那么第5個點陣就有5×4+1=21個點。大家看（她走上黑板畫了起來）——只有17個點！

師：是這樣嗎，孩子們？（能看出生1也認可）看來，要驗證一個猜想的正確，可能需要嚴格的證明或大量的事實，而要說明一個猜想錯誤，只要一個反例就夠了。是這樣嗎？

生3：這里的n表示第幾個點陣，如果沒有第一個點陣，那么4n+1就對了！（我順手蓋住了第一個點陣，孩子們表示認同）

生4：我畫了幾個點陣，證明4n-3是正確的。（他展示了自己的成果）

生5：我是這樣想的，第n個點陣每條邊上都可以看作n個點，4條就有4n個。但中間一個點被多算了3次，所以共有4n-3個點。

生6：我是受生1的啟發。每圈有4個點，但是第n個點陣應該有n-1圈，再加上中間一個點，一共有4（ n-1）+1個點，化簡也是4n-3。

我不禁要為孩子們精彩的“驗證”鼓掌叫好！誰說“證明與推理”只能是“大學生”的專利！《數學課程標準（2011版）》在對義務教育階段的數學學習總目標進行具體闡述時指出，要引導學生“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法。”

“演繹推理用于證明，合情推理用于發明。”在小學數學教學中，由于小學生的思維特點決定了可能少有非常嚴密的邏輯證明，更多地是根據已有的事實，經過觀察、猜想、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的合情推理。但這不能成為我們忽視孩子推理能力培養的理由。我們應該“既教證明，又教猜想”——哪怕些許的滲透。我想：長期不懈的潛移默化，一定會讓合情推理和演繹推理這對思維的雙翅比翼齊飛！

參考文獻：

[1] G·波利亞.李心燦.王日爽.李志堯譯.數學與猜想（第一卷）北京：科學出版社.

[2] 吉智深.我們對推理和證明的理解有偏差.中小學數學（小學版）2012：05.endprint