數學建模思想在高等數學教學中的運用

張寧 經來旺 趙前進

摘要：數學建模是利用數學知識和方法解決生活中實際問題的一種重要方法，本文討論了如何將數學建模的思想有效地引入高等數學教學，從而增強大學生的數學建模意識，促進他們對高等數學課程的學習興趣和效率，對高校高等數學的教學有一定的啟發作用。

關鍵詞：數學建模；高等數學；教學方法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0199-02

一、引言

21世紀是知識經濟時代。這個時代的最主要特征是知識與科技將成為主要資源，知識的生產、科技的創新和應用是社會發展的核心，高素質的創新人才是知識經濟發展的關鍵。江澤民同志曾在全國科學技術大會上提出：創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力，一個沒有創新能力的民族難以屹立于世界先進民族之林。而教育是創新的生存之本，高等教育則是其發展之源[1]。在高校教育中，高等數學的教學被認為是其他各門學科教育的基礎，它所提供的數學思想、數學方法、理論知識不僅是學生學習后繼課程的重要工具，也是培養學生創造能力的重要途徑。

二、大學高等數學教學中存在的問題及原因分析

高等數學是理工科其他專業構建專業知識體系的基礎，高等數學傳播的基本概念與方法、包含的數學思想以及數學文化，不僅是學生學習后繼課程的重要工具，也對培養大學生的自學能力和創新能力具有重要的意義。然而目前大學里每年參加高數補考的學生人數卻在不斷增加，而且隨著年級的增加與《高等數學》相關的學科補考率也逐漸提高，這些學生中不乏中學階段數學成績較為優秀的學生。為什么會出現這種現象呢？通過校內對學生進行問卷調查，發現進入大學后，由于各專業對《高等數學》的要求不一致，雖然大多數學生知道數學很重要，但對學習數學的興趣卻不大?！坝泻芏囝}目，老師講的時候覺得不難，當時聽懂了，但到自己去做的時候卻無從下手；老師沒有講的，那就完全不會做?！彼杂X得數學學習起來特別枯燥、乏味，再加上大學教學中老師沒有中學老師的監督力度，從而使得學生失去了學習數學的壓力和動力。還有些學生，在學習過程中由于不清楚學數學到底有什么實際用處，在面對數學抽象理論時產生厭學情緒，想認真學的同學，無非是想在期末考試中或為將來考研時取得一個好的分數，其結果也僅僅是學了一堆的定義及理論知識卻不知道其在實際問題中的作用，更不會用所學的知識去解決相關問題，缺乏利用數學知識解決實際問題的能力。我們對本校部分理工科學生進行了一個問卷調查，統計結果顯示：真正對數學有濃厚興趣，喜歡學習《高等數學》的人很少，不到四分之一；能夠了解《高等數學》的應用價值的只有5%左右；而能夠靈活運用數學知識解決實際問題的同學更少，不到3%；但同時在調查中發現高達80%的同學表示希望了解數學建模的思想與方法，并渴望學習如何使用《高等數學》知識來解決實際問題。

三、在教學中引入數學建模思想

1.數學建模定義及發展。數學模型（Mathematical Model）作為模型的一類，也是一種模擬，是以數學符號、數學表達式、程序、圖形等為工具對現實問題或實際課題的本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略等。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它們的建立常常既需要人們對現實問題有比較深入細微的觀察和分析，又需要人們能靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用各種知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程被稱為數學建模（Mathematical Modeling）。[2]數學建模最早在20世紀60～70年代進入一些西方國家大學，我國高校于20世紀80年代初由復旦大學將數學建模引入教學，1982年，朱堯辰、徐偉宣翻譯出版了E.A.Bender的“數學模型引論”，正式將數學建模概念在國內規范化。而大學生數學建模競賽最早是1985年在美國舉辦的，我國于1989年起由北大、清華、北理工首次組織部分學生參加了美國的競賽。1990年，上海市率先在本市舉辦了大學生數學建模競賽，1992年由中國工業與應用數學學會組織舉辦了國內10座城市的大學生數學模型聯賽，70多所高校的300多支隊伍參加。從1994年起由教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦全國大學生數學建模競賽，每年一屆。十幾年來這項競賽的規模以平均年增長25%以上的速度發展，參賽隊伍也已擴展到包括港澳在內的全國30多個省、市、自治區的上千所高校[3]。經過三十多年的發展，現在很多的本科院校甚至?？茖W校都開設了各種形式的數學建模課程和講座，不少學校成立了數學建模小組。這些都為提高學生對數學學習的興趣，加強利用數學方法分析、解決實際問題的能力創建了一條有效的途徑。

2.數學建模在教學中的應用。①數學建模思想在高等數學教學中的應用。許多數學概念都是在現實需要的基礎上產生的，是其他理論和實際應用的基礎。因此，在高等數學的教學過程中，應從實際問題出發，從數學概念的產生背景和產生原因說起，使學生從較為抽象的數學模型中認識到數學概念在解決實際問題中的作用，由此增強他們的數學建模意識，培養其利用高等數學原理解決實際問題的能力。魏晉時期的劉徽將“割圓術”理論描述為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！边@就是“化整為零取近似，聚整為零求極限”的思想，可以說古人已經開始使用數學建模的思想解決實際問題了。在實際教學過程中，針對各專業對學生的不同要求，選取合適的數學建模內容，將其融入教學過程。特別是在數學應用性例題解答時，可利用數學建模方法，教學過程中應當注意盡可能精簡計算和推導過程，強化模型的建立。對于多數計算問題而言，如極限、導數、積分的求解時，可使用Matlab、Spss、Lingo等計算軟件進行運算，不僅簡化了推導過程，還提高了學生的動手能力，實現了學生數學建模意識及方法的逐步養成。②開設數學建模課程。在高等數學課堂引入相關數學建模思想的基礎上，可以適當開設數學建模及建模實驗課等選修課，進一步提高學生對于數學建模的認識。數學建模選修課一方面可以提高了學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，另一方面可以為學校參加數學建模競賽打基礎并提供選拔人才。建模實驗課的開設不僅可以使學生受到高等數學式的思維訓練，而且可以激發學生的自主意識，提高其自我思考能力，從而激發學生學習高等數學的興趣和熱情，增強學生的自學能力和創新能力。在數學建模和實驗課程中，除了引導學生全面掌握課程知識及方法以外，還需要掌握現代數學工具及相關計算軟件的操作，如Matlab、Mathematics、Spss、Lingo等，以便解決實際問題及求解數學模型時使用。例如，在高等數學課程中可以利用Mathematics軟件解決極限、導數和積分的運算；概率統計中可利用Matlab軟件處理概率分布、統計回歸等問題；線性代數課中使用Matlab軟件進行矩陣運算。因此，在課堂上需要加強對學生計算軟件使用的培養，并結合教學內容和習題進行講解。③改革傳統教學方法。數學建模存在以下特點：問題的多樣性、解決方法的靈活性以及知識需求的廣泛性等。因此在教學過程中，教師應該放棄以往的填鴨式教學方法，積極實施啟發式、探究式、問題驅動式的新式教學方法。這樣，可以更加有效地激發學生的求知欲，促使學生將被動學習轉化為主動學習、自主學習，改變傳統教學中學生只能被動接受的情況，讓他們參與到教學過程中，有助于學生了解所學的數學知識該如何用于實際問題。④把數學建模能力的考察放入考試。習題課是高等數學教學中必不可少的關鍵手段，也是培養學生數學建模能力的重要方法。因此，教師在上習題課時應該在解題的過程中注意培養學生的建模意識，循序漸進地選擇一些難度適宜且遞進的問題作為例子，盡量讓學生自己發現問題，并利用已經掌握的數學知識加以解決。另外，教師應針對正在學習的課程內容，選擇一些簡化了的數學建模題當作課外作業，進一步提高學生理論分析及解決問題的能力，這樣可以讓學生有更多機會接觸數學建模方法，鞏固課堂所學知識。此外，在高數考試中，也可適當增設一些較為開放性的試題，嘗試多種考查形式，如讓學生寫小論文作為平時分評定標準等方法，對學生的分析、創新、歸納、實踐能力進行測評。

四、取得的成績

我校進行數學建模的試點教學和參加全國數學建模大賽雖然較遲，但是在廣大教師的共同努力下也取得了優異的成績。在2013年的全國大學生數學建模競賽上，獲得國家一等獎1項、二等獎3項，省級一等獎7項、二等獎5項、三等獎12項，在全省院校中名列前茅。參加數學建模選修課以及數學建模興趣小組的同學，其數學成績比起之前都有不小的進步。將數學建模思想引入教學的實驗班級考試平均成績比普通班級高了接近10分，不及格率明顯下降，后期問卷顯示學生對高數的學習興趣和了解程度比普通班級都有顯著提高。

高等數學的教學在整個高校人才培養中起著極其重要的基礎性作用。隨著計算機技術及數學計算軟件的普及，數學建模思想越來越多地為人們了解。將數學軟件和數學建模融入高等數學的教學可以進一步提高學生對于數學的興趣，打好學習基礎，實現人才培養目標。

參考文獻：

[1]蕭樹鐵.高等數學改革研究報告[J].數學通報，2002，（9）：3-8.

[2]楊啟帆.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]戴牧民，呂躍進.數學建模教學與數學建模競賽的歷史背景與意義[J].廣西大學學報（自然科學版），2003，28（10）：6-10.