淺談圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題

鄭美華

摘要：本文試就中學(xué)圓錐曲線中最常見(jiàn)的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題給出幾種系統(tǒng)的解法，主要有待定系數(shù)法、點(diǎn)差法、“公式法”、求導(dǎo)法等。方法各有千秋，沒(méi)有絕對(duì)的好方法，應(yīng)用因題而異，因人而異。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；中點(diǎn)弦；待定系數(shù)法；點(diǎn)差法；公式法；求導(dǎo)法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）52-0193-02

有解析幾何中與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為圓錐曲線的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題通常包括以下三個(gè)類(lèi)型：（1）求弦中點(diǎn)所在直線的方程問(wèn)題。（2）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。（3）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題。“中點(diǎn)弦”問(wèn)題是解析幾何中圓錐曲線部分很典型、很重要的一類(lèi)問(wèn)題，也是歷年高考數(shù)學(xué)最常考的問(wèn)題之一，在高考題中經(jīng)常以填空題、選擇題（大多以解答題）的形式出現(xiàn)，屬于中檔難題型，也因?yàn)橛?jì)算量較大，學(xué)生在這類(lèi)題目中花費(fèi)的時(shí)間相對(duì)較多，但得分率卻不高，而做好這題對(duì)后面題目的發(fā)揮也起著至關(guān)重要的心理作用，而往往這道題的解答完整與否是優(yōu)秀與及格的一個(gè)“分水嶺”，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法很多，但往往不是計(jì)算量大就是列式煩瑣，但又沒(méi)有千篇一律的最佳解題方法，應(yīng)該因題而異，因人而異，本文試就其解法給出系統(tǒng)性的結(jié)論，歸納起來(lái)主要有以下幾種：①待定系數(shù)法。②點(diǎn)差法。③“公式法”（實(shí)際上是“點(diǎn)差法”的變形和延伸）。④求導(dǎo)法。下面我們通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明。

例1：橢圓■+■=1的弦被（4，2）點(diǎn)所平分，求此弦所在的直線方程。

解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)所求直線方程為：y-2=k（x-4）即y=kx-4k+2，將其代入橢圓方程，消元后整理得關(guān)于x的一元二次方程（4k2+1）x2-（32k2-16k）x

-64k-20=0，∵（4，2）在橢圓內(nèi)且是直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)。

∴■=4，由韋達(dá)定理可知x1+x2=■.

∴■=4，解得k=-■.

∴所求直線方程為（y-2）=-■（x-4）.即x+2y-8=0.

解法2：（點(diǎn)差法）設(shè)過(guò)（4，2）點(diǎn)的線與已知橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則有：

4x■■+4y■■=36 ①4x■■+4y■■=36 ②■=4 ③■=4 ④k=■ ⑤

①-②得（x■■-x■■）+4（y■■-y■■）=0.

即（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.

將③④代入可求得即k=■=-■即k=-■，

∴所求直線方程為（y-2）=-■（x-4）.即x+2y-8=0.

點(diǎn)評(píng)：解法1是解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題中最常規(guī)的方法之一，它的一般步驟是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解，這種方法易忽略對(duì)判別式的考察，以及對(duì)中點(diǎn)位置的判斷，當(dāng)中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部時(shí)則被之平分的弦一般存在，但若此點(diǎn)在圓錐曲線外，則被之平分的弦可能就不存在。這種解法的優(yōu)點(diǎn)是進(jìn)入容易，解題順理成章，缺點(diǎn)是計(jì)算量相對(duì)較大，此種方法要特別注意的是要事先考慮斜率不存在的情形。

解法2是“點(diǎn)差法”，它也是解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題中最常規(guī)的方法之一，若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A（x1，y1）、B（x2，y2），將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”或“代點(diǎn)法”。

以上兩種解法雖然都是解決解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的常規(guī)方法，但方法1運(yùn)算煩瑣，方法2列式煩瑣，筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，總結(jié)出一種解這類(lèi)問(wèn)題的方法，我們姑且稱(chēng)之為“公式法”，它實(shí)際上是“點(diǎn)差法”的變形和延伸，我們先來(lái)看下面一個(gè)結(jié)論：

引理：設(shè)A、B是二次曲線C：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的兩點(diǎn)，P（x0，y0）為弦AB的中點(diǎn)，則KAB=-■（2Cy0+E≠0）.

證明：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則Ax■■+Cy■■+Dx■+Ey■+F=0

……（1）

Ax■■+Cy■■+Dx■+Ey■+F=0……（2）

（1）-（2）得：A（x1+x2）（x1-x2）+C（y1+y2）（y1-y2）+

D（x1-x2）+E（y1-y2）=0.

∴2Ax0（x1-x2）+2Cy0（y1-y2）+D（x1-x2）+E（y1-y2）=0.

∴（2Ax0+D）（x1-x2）+（2Cy0+E）（y1-y2）=0.

∵2Cy0+E≠0 ∴x1≠x2 ∴■=-■即KAB=-■.

（說(shuō)明：當(dāng)A→B時(shí)，上面的結(jié)論就是過(guò)二次曲線C上的點(diǎn)P（x0，y0）的切線斜率公式，即k=-■）。

推論1：設(shè)圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的弦AB的中點(diǎn)為

P（x0，y0）（y0≠0），則kAB=-■。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時(shí)，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為k=-■）。

推論2：設(shè)橢圓■+■=1的弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0）（y0≠0），則kAB=-■·■。

（注：對(duì)a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為k=-■·■）。

推論3：設(shè)雙曲線■-■=1的弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0）（y0≠0）則kAB=-■·■。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過(guò)P點(diǎn)的切線斜率為k=■·■）。

推論4：設(shè)拋物線y2=2px的弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0）（y0≠0）則kAB=■。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線斜率為k=■）

我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問(wèn)題，例如對(duì)于例1，運(yùn)用以上結(jié)論，可有簡(jiǎn)便解法如下：

P（4，2），a2=36，b2=9，即kAB=-■·■，∴kAB=-■.

∴所求直線方程y-2=■（x-4）即x+2y-8=0。

我們可以直接利用“公式法”解決有關(guān)問(wèn)題。

例2：求橢圓■+■=1斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。

解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有3=-■·■，故所示的軌跡方程為16x+75y=0（-■

例3：已知拋物線y2=6x，一點(diǎn)P（4，1），求以P為中點(diǎn)的弦所在的直經(jīng)方程。

解：設(shè)所求的直線的斜率為k，則k=■=3，故所求的直線方程為y-1=3（x-4），即：3x-y-11=0.

此種解法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單明了，可謂一步到位，大大減少了計(jì)算量。

4.求導(dǎo)法。導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)，豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和解法，給許多繁難問(wèn)題提供了一種通用的解題方法，也給許多常規(guī)問(wèn)題的解法提供了新的視角。利用導(dǎo)數(shù)解決解析幾何中的中點(diǎn)弦問(wèn)題，正是其中一個(gè)方面。如果以圓、橢圓等圖形的中心為中心，按比例縮小圖形，則一定存在同類(lèi)的圓、橢圓等與弦AB中點(diǎn)M相切（如圖1）。此時(shí)縮小的曲線方程如（x-a）2+（y-b）2=（tR）2，■±■=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可發(fā)現(xiàn)并不改變?cè)匠糖髮?dǎo)的結(jié)果。因此，利用導(dǎo)數(shù)法求中點(diǎn)弦的斜率，就是y'x在中點(diǎn)處的值。

例4：已知雙曲線2x2-y2=2 （1）求以A（2，1）為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)B（1，1），能否作直線l，使l與所給雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是弦PQ的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。

解：對(duì)2x2-y2=2兩邊求導(dǎo)，得4x-2yy'x=0.

（1）以A（2，1）為中點(diǎn)的弦的斜率k=y'x|x=2，y=1=4，所以所求中點(diǎn)弦所在直線方程為：y-1=4（x-2）.

（2）以B（1，1）為中點(diǎn)的弦的斜率k=y'x|x=1，y=1=2，所以所求中點(diǎn)弦所在直線方程為：y-1=2（x-1）即2x-y-1=0.

但與雙曲線方程2x2-y2=2聯(lián)立消去y得2x2-4x+3=0，Δ=-8<0，無(wú)實(shí)根。因此直線l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以滿足條件的直線l不存在。顯然這種方法計(jì)算量相對(duì)較小，也不用引用新知識(shí)，但對(duì)求導(dǎo)要求相對(duì)較高，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，程度低的學(xué)生顯然不適合，用此法需要注意：（1）求出的方程只是滿足了必要性，還必須驗(yàn)證其充分性，即所求直線與雙曲線確實(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)。

總而言之，圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題大致有以上四種解法，每種方法各有自己的優(yōu)點(diǎn)與不足，沒(méi)有一種是適合所有題型的，應(yīng)因題而異，因人而異。

參考文獻(xiàn)：

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