均值—CVaR模型在正態條件下風險資產組合的研究

余俊+朱寧

摘 要：條件風險值（CVaR）是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，它克服了VaR的非一致性，不滿足凸性等局限性。給出了在風險證券的預期回報率服從正態分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下的最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

關鍵詞：均值-CVaR模型;金融資產;正態分布

一、引言

風險價值（Value at Risk ，簡稱VaR），是一種風險管理與控制的新工具，是指在正常的市場條件下和給定的置信水平上，在給定的持有期內，投資組合或資產所面臨的潛在最大損失，其數學表達式為： ，其中 表示組合在持有期內 的價值變動量， 表示指定概率分布的分位數。VaR最大的優點就是其定量標準化，從而營造了一個統一的框架，把金融機構所有資產組合的風險量化為一個簡單的數字，VaR的概念雖然簡單，但VaR方法在原理和統計估計方面存在一定局限性，如VaR的計算結果不穩定;VaR不滿足次可加性，所以不是一致風險度量;VaR不滿足凸性，VaR對證券投資組合進行優化時可能存在多個極值，局部最優化解不一定是全局最優解。VaR將注意力集中在一定置信度下的分位點上，而分位點下面的情況則完全被忽略，這使得此方法不能防范某些極端事件，這些極端事件發生的概率雖小，但一旦發生，將給金融機構帶來很大的麻煩。

針對VaR的不足，人們提出了各種改進方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的條件風險價值（CVaR）方法，無論在理論上還是在優化計算上均比VaR有很大進步，CVaR是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，CVaR滿足一致性風險度量標準的四條公理，其優化問題可轉化為線性規化，計算簡便，結果穩定，而且優化CVaR問題的同時可以得到最優的VaR值。Palmquist給出了均值-CVaR有效前沿的三種等價描述，本文給出了風險證券的預期回報率服從正態分布，最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下給出了最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

二、CVaR的定義

設 表示一個投資組合的損失函數，控制向量 為投資組合的可行集，市場因子 為隨機向量，代表能影響損失的市場不確定性。

對任意固定 ，損失 是 的函數，設隨機向量 的概率安度函數為 ，對任意 ，若分布函數 在任意一點都連續，則：

它是關于 的非增，右連續函數， 在相應的概率置信度 下，損失VaR和CVaR分別定義為：

，

三、正態條件下均值-CVaR模型

設投資者選定種風險證券進行投資組合，令 是第種資產的預期回報率， 是投資組合的權重向量，V是n種資產間的協方差矩陣， 和 分別是投資組合的期望回報率和期望回報率的方差，設R服從正態分布 ，即 ：，則損失函數：

，

即 。其中， 表示標準正態分布， 表示標準正態分布的密度函數， 。現在將 作為目標函數，得到基于 的證券組合優化，即為均值- 模型，則有： ? ? ? ?。將 代入上式，則 證券組合優化模型等價于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ，其 ， ， 于是對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ， 顯然，均值- 邊界等價于均值-方差邊界的一個變換。

定理1 組合 屬于均值- 邊界 組合 屬于均值-方差邊界。

定理2 風險證券的預期回報率服從正態分布， 組合有解 ?。

證明：

因為， ， ，

， ?則有

取 ，可得 ，

則 （1） ?（2）則 。因為 ，因此當 時，（1）式是無解的。從 得到 ，是 組合有解的必要條件。當 時，則 ，即 ，因此

綜上所述，組合有解，當且僅當。

又因為

則

定理3 如果，的證券組合優化模型的投資比例向量為：及模型的最小值

其中，。證明：

由定理2可得，又根據定理1可得：

參考文獻：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市場風險管理VaR方法[M].天津：天津大學出版社，2000：56-60.

[5]張衛國，王蔭清.無風險投資或貸款下證券組合優化模型及應用[J] .預測，1996，15：65-67.

[6]劉小茂，李楚霖，王建華.風險財產組合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程學報，2003，17：29-33.endprint

摘 要：條件風險值（CVaR）是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，它克服了VaR的非一致性，不滿足凸性等局限性。給出了在風險證券的預期回報率服從正態分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下的最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

關鍵詞：均值-CVaR模型;金融資產;正態分布

一、引言

風險價值（Value at Risk ，簡稱VaR），是一種風險管理與控制的新工具，是指在正常的市場條件下和給定的置信水平上，在給定的持有期內，投資組合或資產所面臨的潛在最大損失，其數學表達式為： ，其中 表示組合在持有期內 的價值變動量， 表示指定概率分布的分位數。VaR最大的優點就是其定量標準化，從而營造了一個統一的框架，把金融機構所有資產組合的風險量化為一個簡單的數字，VaR的概念雖然簡單，但VaR方法在原理和統計估計方面存在一定局限性，如VaR的計算結果不穩定;VaR不滿足次可加性，所以不是一致風險度量;VaR不滿足凸性，VaR對證券投資組合進行優化時可能存在多個極值，局部最優化解不一定是全局最優解。VaR將注意力集中在一定置信度下的分位點上，而分位點下面的情況則完全被忽略，這使得此方法不能防范某些極端事件，這些極端事件發生的概率雖小，但一旦發生，將給金融機構帶來很大的麻煩。

針對VaR的不足，人們提出了各種改進方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的條件風險價值（CVaR）方法，無論在理論上還是在優化計算上均比VaR有很大進步，CVaR是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，CVaR滿足一致性風險度量標準的四條公理，其優化問題可轉化為線性規化，計算簡便，結果穩定，而且優化CVaR問題的同時可以得到最優的VaR值。Palmquist給出了均值-CVaR有效前沿的三種等價描述，本文給出了風險證券的預期回報率服從正態分布，最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下給出了最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

二、CVaR的定義

設 表示一個投資組合的損失函數，控制向量 為投資組合的可行集，市場因子 為隨機向量，代表能影響損失的市場不確定性。

對任意固定 ，損失 是 的函數，設隨機向量 的概率安度函數為 ，對任意 ，若分布函數 在任意一點都連續，則：

它是關于 的非增，右連續函數， 在相應的概率置信度 下，損失VaR和CVaR分別定義為：

，

三、正態條件下均值-CVaR模型

設投資者選定種風險證券進行投資組合，令 是第種資產的預期回報率， 是投資組合的權重向量，V是n種資產間的協方差矩陣， 和 分別是投資組合的期望回報率和期望回報率的方差，設R服從正態分布 ，即 ：，則損失函數：

，

即 。其中， 表示標準正態分布， 表示標準正態分布的密度函數， 。現在將 作為目標函數，得到基于 的證券組合優化，即為均值- 模型，則有： ? ? ? ?。將 代入上式，則 證券組合優化模型等價于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ，其 ， ， 于是對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ， 顯然，均值- 邊界等價于均值-方差邊界的一個變換。

定理1 組合 屬于均值- 邊界 組合 屬于均值-方差邊界。

定理2 風險證券的預期回報率服從正態分布， 組合有解 ?。

證明：

因為， ， ，

， ?則有

取 ，可得 ，

則 （1） ?（2）則 。因為 ，因此當 時，（1）式是無解的。從 得到 ，是 組合有解的必要條件。當 時，則 ，即 ，因此

綜上所述，組合有解，當且僅當。

又因為

則

定理3 如果，的證券組合優化模型的投資比例向量為：及模型的最小值

其中，。證明：

由定理2可得，又根據定理1可得：

參考文獻：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市場風險管理VaR方法[M].天津：天津大學出版社，2000：56-60.

[5]張衛國，王蔭清.無風險投資或貸款下證券組合優化模型及應用[J] .預測，1996，15：65-67.

[6]劉小茂，李楚霖，王建華.風險財產組合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程學報，2003，17：29-33.endprint

摘 要：條件風險值（CVaR）是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，它克服了VaR的非一致性，不滿足凸性等局限性。給出了在風險證券的預期回報率服從正態分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下的最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

關鍵詞：均值-CVaR模型;金融資產;正態分布

一、引言

風險價值（Value at Risk ，簡稱VaR），是一種風險管理與控制的新工具，是指在正常的市場條件下和給定的置信水平上，在給定的持有期內，投資組合或資產所面臨的潛在最大損失，其數學表達式為： ，其中 表示組合在持有期內 的價值變動量， 表示指定概率分布的分位數。VaR最大的優點就是其定量標準化，從而營造了一個統一的框架，把金融機構所有資產組合的風險量化為一個簡單的數字，VaR的概念雖然簡單，但VaR方法在原理和統計估計方面存在一定局限性，如VaR的計算結果不穩定;VaR不滿足次可加性，所以不是一致風險度量;VaR不滿足凸性，VaR對證券投資組合進行優化時可能存在多個極值，局部最優化解不一定是全局最優解。VaR將注意力集中在一定置信度下的分位點上，而分位點下面的情況則完全被忽略，這使得此方法不能防范某些極端事件，這些極端事件發生的概率雖小，但一旦發生，將給金融機構帶來很大的麻煩。

針對VaR的不足，人們提出了各種改進方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的條件風險價值（CVaR）方法，無論在理論上還是在優化計算上均比VaR有很大進步，CVaR是指金融資產或其組合的損失額超過VaR的條件均值，CVaR滿足一致性風險度量標準的四條公理，其優化問題可轉化為線性規化，計算簡便，結果穩定，而且優化CVaR問題的同時可以得到最優的VaR值。Palmquist給出了均值-CVaR有效前沿的三種等價描述，本文給出了風險證券的預期回報率服從正態分布，最小均值-CVaR風險資產組合有解的條件，并在該條件滿足下給出了最小均值-CVaR組合的投資比例向量和最小值。

二、CVaR的定義

設 表示一個投資組合的損失函數，控制向量 為投資組合的可行集，市場因子 為隨機向量，代表能影響損失的市場不確定性。

對任意固定 ，損失 是 的函數，設隨機向量 的概率安度函數為 ，對任意 ，若分布函數 在任意一點都連續，則：

它是關于 的非增，右連續函數， 在相應的概率置信度 下，損失VaR和CVaR分別定義為：

，

三、正態條件下均值-CVaR模型

設投資者選定種風險證券進行投資組合，令 是第種資產的預期回報率， 是投資組合的權重向量，V是n種資產間的協方差矩陣， 和 分別是投資組合的期望回報率和期望回報率的方差，設R服從正態分布 ，即 ：，則損失函數：

，

即 。其中， 表示標準正態分布， 表示標準正態分布的密度函數， 。現在將 作為目標函數，得到基于 的證券組合優化，即為均值- 模型，則有： ? ? ? ?。將 代入上式，則 證券組合優化模型等價于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ，其 ， ， 于是對于任意證券組合，其回報率的期望與標準差滿足： ， 顯然，均值- 邊界等價于均值-方差邊界的一個變換。

定理1 組合 屬于均值- 邊界 組合 屬于均值-方差邊界。

定理2 風險證券的預期回報率服從正態分布， 組合有解 ?。

證明：

因為， ， ，

， ?則有

取 ，可得 ，

則 （1） ?（2）則 。因為 ，因此當 時，（1）式是無解的。從 得到 ，是 組合有解的必要條件。當 時，則 ，即 ，因此

綜上所述，組合有解，當且僅當。

又因為

則

定理3 如果，的證券組合優化模型的投資比例向量為：及模型的最小值

其中，。證明：

由定理2可得，又根據定理1可得：

參考文獻：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市場風險管理VaR方法[M].天津：天津大學出版社，2000：56-60.

[5]張衛國，王蔭清.無風險投資或貸款下證券組合優化模型及應用[J] .預測，1996，15：65-67.

[6]劉小茂，李楚霖，王建華.風險財產組合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程學報，2003，17：29-33.endprint