解答學生關于隱函數的二階導數計算中的疑問

沈兆益

摘 要 在高等職業學校高等數學多元函數微積分教學內容中，多元隱函數二階導數的求解由于并沒有沿用該章節隱函數的一階導數求解方法，學生在學習中會產生一些疑問，這是由于對函數的復合理解不夠深入，甚至導致對二階偏導數求解出現錯誤。本文針對學生在這一內容的學習中出現的問題，挖掘根源，找到學生理解的不足。并進行知識與方法總結，對高等教學提供具有參考意義的教學方法和學習參照。

關鍵詞 多元函數微分 隱函數 二階偏導

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Answer Students' Doubt about the Second Derivative

Calculation of the Implicit Function

SHEN Zhaoyi

（Wuxi City College of Vocational Technology， Wuxi， Jiangsu 214153）

Abstract Higher Mathematics at higher vocational schools teaching multi-function calculus content， multiple implicit function solving the second derivative does not follow that section because of the implicit function of the first order derivative solution method， the students in the study will produce some doubt that this is due to the understanding of the complex function is not deep enough， and even lead to solving second order partial derivative errors. In this paper， the students appearing in learning the content of this problem， digging roots find enough students to understand. And summarize the knowledge and methods of higher education to provide a reference meaningful teaching methods and learning reference.

Key words multi-function differential; implicit function; second order partial derivatives

在教學過程中，教師需要隨時應對學生出現的問題，進行答疑解惑。高職微積分的教學內容中，多元函數微積分的學習階段，由于對知識掌握不夠透徹，學生在學習過程中常會產生這樣一個問題。這就是在“多元隱函數求導”內容學習過程中，對于隱函數的二階偏導數遇到的困難。

學生學習產生的困惑的具體表現，可以使用一個簡單的例子進行說明：已知隱函數： + ?= 1，求解二階偏導數。

學生能做到迅速正確地求解這一問題的前半部分，即求解出一階偏導數，依據多元函數微積分這一章節中剛學習的方法，設（） = ?+ ?1 = 0，則 = 2， ?= 2，得到 = ?= ?= 。但接下來求解二階導數，學生就產生了一系列疑問。第一個問題就是：此時，令 = ?= ，則原先的一階導函數變為 = 。而后， = 對于求偏導，得到 = 。這顯然與正確的求解： = ?= ?= 不符。但學生辨別不出自己解法中的錯誤，需要教師進行詳細解釋與指導，向學生提出其錯誤所在。第二個問題是：在多元函數微積分章節，新學習的求解隱函數的方法，并沒有在求解二階導過程中加以繼續使用，反倒是使用了函數復合類型的隱函數求解方法，是老的方法。新方法為什么不沿用？在此，教師需要通過向學生解釋在此處改變求導方法的理由，并加深學生對于復合函數求導的原理的理解。

學生的這兩個問題，其根源是對于函數復合的理解不夠明確，由此對于多元函數微分中，隱函數的求解公式理解有偏差。在之前例子中，求的二階導數，令 = ?= 。得到 = 是可以的，但這時 = 對于求導，需要注意是的函數。即 = 不正確，而應該注意到是的函數，這一函數復合的求導過程不可或缺。即：

= ?= ?=

但是這一解釋，往往還不能使得學生明了自己的知識性缺失，在了解了之前的解釋之后，學生提出了第三個疑問：“如果是這樣，之前求解函數一階導數的過程中，設（） = ?+ ?1 = 0，則求偏導 = 2就有問題，因為同樣沒有將看作的函數，對求導結果為0，這又是為什么？究竟什么時候需要將看作的函數，什么時候又將其視為兩個不同的變量呢？

而且，學生對這一知識點的疑問，是在接觸到了更為復雜的練習題而產生的，更為復雜的題目加重了學生的迷惑。如筆者遇到學生列舉了2007年7月高等教育自學考試全國卷高等數學（一）試題第20題：“設函數 = 是由方程++ = 所確定的隱函數，求”。更為復雜的多元隱函數的二階偏導加大了學生對于問題的理解難度。

要解答學生這一系列的迷惑，需要教師從學生對于復合函數求導理解不夠深入這一根源入手。使得學生了解到，兩種隱函數的求解方法是相通的，都是基于復合函數求導計算的變形，只是第一種方法體現得更明確，而多元函數微積分這一章節中介紹的方法似乎隱藏了這一特征。因此需要詳細介紹這一方法的由來： = （）的函數關系是由方程（） = 0確定的，確實是的函數。于是對（） = 0求的導數得到的是 = 0。這是體現出了復合函數求導的特征的。而在此之后將這一等式變形為隱函數求導的公式，將和分開了，似乎不再具有函數復合求導的特征，只是推導出學生經常使用而并未深層次理解的 = 。

向學生講解求出隱函數的二階導數求解原理，在前面講解的基礎上，可以通過類比的方法，進行類似的變換。將一階導函數形式視為 = （），然后將移項，得到（） = 0。設方程（） = （） = 0，即得到由“”、“”、“”三個變量構成的方程，其中，“”和“”都是“”的函數。并提請學生注意，在求導過程中是存在復合函數求導的要求的。對方程求解的導數，得到 + ?+ ?= 0。因為（） = （） = 0，所以上式繼續變形為 + ? ?= 0，特別需要學生注意到 = 。而也就是。因此， + ? ?= 0也就可以變形為 = ?+ 。這與 = （）直接進行二階導數計算，得到的結果是一致的。

基于向學生展示這一類比過程，就能解開學生之前的疑問。首先是第二個問題，該章節介紹的隱函數一階偏導的公式，是以復合函數求導為基礎并加以變形的，在本質上并沒有將函數復合的性質抹去。而學生認為的“”和 “”不再具有函數關系這一思想是片面的。只是同樣的變形過程使用在二階偏導的計算中，并沒有形成與求隱函數一階導數類似的公式。其化簡后得到的結果與直接利用函數復合進行二階求導（之前的方法）一致。因此隱函數的二階導數或偏導數不再有類同于 = 或 = 的公式。

然后，因為函數復合的事實，學生的第一個問題中，由于 “”依然是 “”的函數。 = 對于求導，若只得到 = 。就是沒能正確認識這一函數復合的情況，所產生的錯誤。

第三個問題中，設（） = ?+ ?1 = 0，則 = 2沒有問題。理由是（） = 0求的導數得到的是 + ?= 0，之后變為 = ，這時候求解偏導數是沒有問題的。而且，求解隱函數的導數，不論是哪一種方法，不論是一階還是二階導數，本質上都不能忽視函數的復合。只是在一階導數的求解過程中獲得了本質相同，形式上有所差異的兩種方法。而二階導數的求解過程，不再有兩種方法，唯有直接求解，必須注意復合函數求導。

因此，同樣的推導方法類比到多元隱函數求導，即（，，） = 0求解的二階導數也是如此。將一階導函數形式看做 = （，，），設（，，，） = （，，） = 0，對方程求的偏導數，得到 + ?+ ?= 0，此時“”是常數，而“”和“”均是的函數。又因為（，，，） = （，，） = 0，將其代入，繼續變形為 + ? ?= 0，得到與之前得到的一元隱函數推導類似的結果： = ?+ ?。

所以學生提出的較為復雜的二元隱函數二階導題目“設函數 = 是由方程++ = 所確定的隱函數，求”的求解也只需在二階導數時注意是的函數，須有復合函數的求導。

先進行的一階偏導計算，可以使用隱函數求偏導公式：

方法一：設（，，）= ++ ? = 0，則 = 1， ?= 1， ?=

得到 = = ?=

也可以利用復合函數求導：

方法二：左右兩邊對求導， = ，求導時注意為的函數。

得到1 + 0 + ?= ，化簡后 =

兩種方法所得到的一階導函數是一致的。

繼續求解二階導數： = ，此時不再有類似與方法一的公式，只有一種方法，求導時注意為的函數。

= ?= ?=

再將 = 代入，得到 = 。

通過向學生闡述隱函數求導或偏導公式的來源介紹，進一步強調復合函數求導在隱函數求導的基礎性作用，在二階導計算與多元函數隱函數求導中進行類比。使學生理解隱函數求導的兩種常見方法的本質與聯系。消除學生在處理具體問題中，隱函數的二階導數計算的困惑，加強學生對于求解隱函數二階導數所用方法的理解，降低學生處理相關問題的思維難度，減少對這一知識點的理解和計算錯誤。

參考文獻

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