函數的極值及其應用

王玉紅

摘 要 函數的極值是微分學中一個重要的組成部分，在一元函數極值的有關理論基礎上，進一步探討多元函數的極值問題，并通過典型例題闡明函數極值的計算方法及其在實踐中的應用。

關鍵詞 一元函數 多元函數 極值 極值應用

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A

The Extreme Value and the Application for Functions

WANG Yuhong

（Inner Mongolia Vocational College of Chemical Engineering， Hohhot， Inner Mongolia 010070）

Abstract The extreme value of functions is one of the most important parts in differential calculus. In this paper， based on the correlative theory of the extreme value for functions of single variable， the extreme value for functions of several variables is further investigated. At the same time， by the typical examples， the numerical method and the applications of the extreme are studied.

Key words functions of single variable; functions of several variables; extreme value; extreme value applications

0 引言

函數的極值是高等數學中微分學理論的一個重要的組成部分，它在數學教學、工農業生產、工程技術及科學實驗等方面，常常會遇到這樣一類的問題：在一定條件下，怎樣使“產品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等，這類問題在數學上可歸結為求某一函數的最大值或最小值問題，本文介紹了一元函數、多元函數的極大值和極小值問題，通過典型例題闡明函數極大值和極小值的求法及其在經濟中的應用。

1 一元函數的極值

定義①：設函數（）在區間（）內有定義，（），若在的某去心鄰域內有：（）≤（）（或（）≥（）），則稱（）是函數（）的一個極大值（或極小值），稱為（）的極大值點（或極小值點）。 極大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點與極小值點統稱為函數的極值點。一元函數極值的求法比較簡單，如：

例1 求函數（） = 的極值。

解：函數（） = 的定義域為（，+），

（） = 1 = 1，令（） = 0，得駐點 = 1（，+），而當 = 0時，（）不存在，故 = 0是函數的不可導點，且 = 0（，+）

經過討論，（）在（，0）∪（1，+）內單調遞增，在（0，1）內單調遞減。所以，所求函數的極大值為（0）= 0，極小值為（1）= 。

2 多元函數的極值

定義②：設二元函數 = ?（）在點（）的某個鄰域內有定義，若對該鄰域內任何一個異于（）的點（）都有： （）≤ （）（或 （）≥ （）），則稱二元函數 = ?（）在點（）處有極大值（或極小值）。極大值、極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

（1）無條件極值：二元函數在自變量僅受定義域限制下，求解極值的方法為：

首先，通過解方程得到駐點;其次，對每個駐點求出它們的二階偏導數： = （）， = （）， = （）;最后，依據當>0，>0時，函數在此點取極小值;當>0，<0時，函數在此點取極大值;當<0時，函數在此點沒有極值;當 = 0時，不能確定，需進一步判斷。

例2 求函數 （） = ?+ 的極值。

解：（）= ?，（）= ，

則解方程組，得駐點（0，0）、（1，1），所以在這兩點處可能有極值點，進一步計算可得（） = 6，（） = ，（） = ，在駐點（0，0）處， = 0， = ， = 0，則 = ?= <0，因此在點（0，0）處沒有極值。

在駐點（1，1）處， = 6， = ， = 6，則 = ?= 27>0，因此在點（1，1）處取得極小值 （1，1） = 。

（2）條件極值：對于二元函數 = ?（）在約束條件下的條件極值：

方法一：若在條件 （）= 0下求函數 = ?（）的極值，且 （）= 0確定了顯函數 = （）或 = （），則可用消元法轉化為一元函數的極值問題來解決，此法很簡單。

方法二（拉格朗日乘數法）：若在條件 （）= 0下求函數 = ?（）的極值，且函數 = ?（）在區域上存在一階、二階連續偏導數，而且 （） = 0確定了隱函數，此時可以用拉格朗日乘數法，首先，求出拉格朗日函數（）在區域內的駐點。然后利用二階全微分方法對每個駐點進行判斷，我們主要會這一方法。

例3 求二元函數 （）= ?+ 在條件 + ?= 2下的極值。

解：作拉格朗日函數： （）= ?+ ?+ （ + ? 2），

求得 （）關于的偏導數并令其為零，

= ?+ ?= 0， = ?+ ?= 0，在條件 + ?= 2下解得：

= 1， ?= 1， = 1，于是，點（1，1）可能是極值點，而

（） = （ + ） + （ + ），

（） = ?+

故，（1，1） = 2（ + ）>0，所以在點（1，1）取得極小值，極小值為（1，1）= 2。

推廣到個變元的函數 （，，…，），設其具有對各個變元的連續偏導數，并且這些變元之間還滿足至多個聯系方程（，，…，）= 0（ = 1，2，…，），這里（ = 1，2，…，）具有對各個變元的連續偏導數，并且它們關于某個變元的亞可比不等式等于零，對此用同樣的方法來討論函數 （，，…，）在限制條件 = 0下的極值問題。

例4 求三元函數（） = 在限制條件 + ?+ ?= 1及 + ?+ ?= 0下的極值。

解：作拉格朗日函數

= ?+ （ + ?+ ） + （ + ?+ ）

求關于、、的偏導數并令為零，在限制條件 + ?+ ?= 1及 + ?+ ?= 0下，

解得： = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?=

而由限制條件所確定的點集： ={（）∣ + ?+ ?= 1， ?+ ?+ ?= 0}是一個有界閉集，所以此函數在這個有界閉集上定有最大值和最小值，經求值比較得最大值即為極大值，最小值即為極小值。

3 函數極值的應用

例5 設總成本函數和總收益函數分別為（） = ?+ 33 + 10，（） = 18，求利潤最大時的產量、價格和利潤。

解：由于（）= ?+ 33，（） = 18

當（）= （）且（）> （）時，可獲得最大利潤，有 + 33 = 18，解得： = 1， = 5，

所以，僅當 = ?= 5時，有（）> （），因此，利潤最大時的產量為， = 5。

由收益函數可得價格函數： = （） = ?= 18，利潤最大時的價格： = 18，利潤函數為： = （） = （）（） = ?+ ，最大利潤為： = 15。

注釋

① 鄒豪思，馮尚.高等數學（上冊，第1版）[M].內蒙古大學出版社，2006.

② 陳傳璋，金福臨，朱學炎，歐陽光中.數學分析（下冊，第2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.