同余格范疇的若干性質(zhì)

李靜

(泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東泰安 271021)

同余格范疇的若干性質(zhì)

李靜

(泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東泰安 271021)

本文研究了同余格范疇中的若干性質(zhì),并得到了相應(yīng)的結(jié)論。

同余格 同余格范疇 乘積

格可以視為一個偏序集，也可以當(dāng)做一個代數(shù)系統(tǒng)來研究．在格的結(jié)構(gòu)中引入同余關(guān)系，便出現(xiàn)了同余格的概念。有關(guān)同余格的結(jié)論，可以參見文獻[1，2]。本文研究了以同余格為對象，以保格同余關(guān)系的格同態(tài)為態(tài)射的同余格范疇，并得到了此范疇的若干性質(zhì)。本文中所涉及的范疇概念，可參見文獻[3]。

定義1[1]設(shè)θ是格 L的一個等價關(guān)系，如果對任意的可以推出，則稱θ為 L上的格同余關(guān)系，簡稱格同余。

注1[4]格 L上的一個等價關(guān)系θ是 L×L的子集，所以上述的定義也可敘述為:設(shè)θ是格 L的一個等價關(guān)系，如果對任意的ai, bi∈L( i=0,1)，由（a0, b0）∈θ，（a1, b1）∈θ，可以推出，則稱θ為 L上的格同余關(guān)系。

把格上 L的所有同余關(guān)系放在一起作成一個集合，記為ConL，在此集合上賦予偏序為集合的包含序，那么（ConL,?）作成一個偏序集。

定理1[1]若當(dāng)且僅當(dāng)存在一個由 L中的元素作成的序列x∨y，使得，且對任意的 i，0≤i≤n-1，有，則ConL作成一個格。

定義2[1]格 L上所有同余關(guān)系的集合賦予包含序作成的格稱為同余格。

定理2[1]設(shè)任意格 L，則ConL是分配的代數(shù)格。

本文中以同余格為對象，保格同余關(guān)系的格同態(tài)為態(tài)射的范疇，稱為同余格范疇，記作CON．有關(guān)同余格范疇中態(tài)射的有關(guān)性質(zhì)可參考文獻[4]。

定理3 在同余格范疇中，(P, f)為{A}的乘積當(dāng)且僅當(dāng)f:P→A為同余格范疇中的同構(gòu)態(tài)射。

證明(必要性)如下圖所示，(P, f)為{A}的乘積， A則 P到的態(tài)射唯一存在，從而態(tài)射f為單態(tài)射，又，所以f為收縮。

故f:P→A為同余格范疇中的同構(gòu)態(tài)射。

(充分性)如下圖所示，由f:P→A為同構(gòu)映射知f有逆映射f-1。從而對任一對象 B，及任一態(tài)射g: B→A，存在且。設(shè)存在h: B→P使得f?h=g，則有，即唯一存在。

所以(P, f)為{A}的乘積。

因為等價關(guān)系是同一集合的元素之間的關(guān)系，兩個不同的集合之間的關(guān)系不是等價關(guān)系，所以同余格范疇中的范疇積只能針對同一個對象而言．于是有下面的定理，它實際上也是定理3的具體化。

定理4 在同余格范疇中，同一對象的范疇積為笛卡爾積，可表示為

對任一對象 B，及任意態(tài)射f, g: B→ConL，作一映射＜f,g＞:B→ConL×ConL(即?α∈B,＜f, g＞(α)=(f(α),g (α)) )，顯然保持同余關(guān)系且為格同態(tài)，所以＜f, g＞為CON態(tài)射．并且π?＜f, g＞=f ，π?＜f, g＞=g ，這樣的態(tài)射＜f, g＞是唯一存在的，所以ConL×ConL是ConL的范疇積。

引理1[5]設(shè)R, T是集合 A的等價關(guān)系， RT為關(guān)系 R與 T的復(fù)合，則 RT是 A的等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng) RT=TR。

命題1 設(shè)θ, φ∈ConL，則當(dāng)θφ=φθ時，θφ∈ConL。

證明 由上面引理知θφ為等價關(guān)系．設(shè)(a, b),(c, d)∈θφ，那么存在x, y∈L，使得(a, x)∈θ,(x, b)∈φ且(c, y)∈θ,(y, d)∈φ，又由θ, φ∈ConL，(a∨c, x∨y)∈θ且(x∨y, b∨d)∈φ，從而(a∨c, b∨d)∈θφ。

同理可證(a∧c, b∧d)∈θφ．所以θφ∈ConL。

令同余格范疇僅含有一個對象ConL，那么此范疇的態(tài)射類就是ConL，即態(tài)射為ConL中的同余關(guān)系，態(tài)射類的復(fù)合就是同余關(guān)系的復(fù)合，且由上面的命題知這種復(fù)合是有條件的．而對于任意的兩個同余格來說，則可視為兩個范疇，而兩個同余格之間的保格同余關(guān)系的格同態(tài)就是兩個范疇之間的函子。在這種情況下，伴隨函子將有簡單的刻畫。

定義3 設(shè)A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關(guān)系的格同態(tài)，若?θ∈A,?φ∈B,θ?g(φ)當(dāng)且僅當(dāng)f(θ)?φ，此時稱f為左伴隨， g為右伴隨，或f與 g伴隨。

命題2 設(shè)A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關(guān)系的格同態(tài)，則下列條件等價:

(i)f與 g伴隨；(ii)?θ∈A,?φ∈B,θ≤g?f(θ),f?g(φ)≤φ。

證明 由伴隨的定義很容易得證。

注2 若命題2的條件之一成立，則可推出f?g?f=f, g?f

定理5 設(shè)A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關(guān)系的格同態(tài)，則

(i)f有右伴隨 g當(dāng)且僅當(dāng)f保任意并；(ii) g有左伴隨f當(dāng)且僅當(dāng) g保任意交。

證明 可參見文獻[6]。

[2] Davey B. A. and Priestley H.A.Introduction to lattices and order[M].London:Cambridge University press,1990.

[3] Herrlich H.Category theory[M].Heldermann Verlag, Berlin,1979.

[4] 李靜.同余格范疇中態(tài)射的性質(zhì)[J].泰山學(xué)院學(xué)報,2014(3),71.

[5] 胡長流,宋振明.格論基礎(chǔ)[M].開封:河南大學(xué)出版社,1990.

[6] 鄭崇友,樊磊,崔宏斌.Frame與連續(xù)格(第二版)[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2000.

In this paper, some properties in the category of congruence lattices are considered, and some conclusions are obtained.

a congruence lattice;the category of congruence lattices; the product

泰山學(xué)院青年教師科研基金科技計劃項目(課題編號T12QK03)。

李靜(1981—),女,漢,山東泰安人,單位:泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,講師,學(xué)歷:碩士,研究方向:格上拓撲學(xué)與模糊推理。