“紙”中數學：在操作中豐富學生數學思維

趙凌兵

數學是思維的體操。筆者在多年的小學數學教學生涯中，一直致力于探索適用于小學生的數學思維方式，初步認為“順延思維、創新思維、整體思維”這三種思維方式，可以很好地揭示學生的思維過程，啟迪和豐富學生的數學思維。下面以蘇教版數學六年級下冊總復習中的“立體圖形的側面積（復習）”為例，簡要敘述在動手操作中如何豐富學生的數學思維。

A4紙的外包裝上圖文并茂，信息眾多，為了快速切入本課的教學，我在課前談話時刪繁就簡，直接呈現“297mm×210mm”這條信息，為了方便又將數據取近似數，把A4紙看作長30厘米、寬20厘米的長方形。以下呈現的是教學過程中的幾個操作片段。

【操作一】在A4紙不重疊的前提下，折出我們學過的某種沒有底面的立體圖形。這雖是一個開放性的操作要求，但基于操作的方便性，也由于本學期剛學過圓柱的知識，所以學生折出的全部是圓柱（兩種）。

師：這兩個圓柱都是A4紙折出的，說明它們和A4紙有聯系，聯系在哪兒？回答之后請學生完成表格。（只列式不計算）

【操作二】這張A4紙除了能折成圓柱外，在不重疊的前提下，還能折成哪種沒有底面的立體圖形？

由于小學數學教材要求學生重點掌握的立體圖形除了圓柱與圓錐外，就只有長方體和正方體。在“不重疊”的前提下，學生操作時會自覺排除掉圓錐；加之A4紙是長方形的（長30厘米、寬20厘米），所以不能折出正方體；很多學生將長或寬對折再對折，折出底面是正方形的兩種長方體。

師：這兩個長方體和A4紙有什么聯系呢？這兩個長方體的長、寬、高分別是多少厘米呢？你是怎么求出來的？之后學生完成表格。

師：仔細觀察，用A4紙折出的這兩個長方體好像比較特殊呢，特殊在哪兒？（這兩個長方體的底面都是正方形。）

【操作三】用這張A4紙折長方體，真的只能折出這兩個嗎？同桌邊討論、邊動手，看看還能折出怎樣的沒有底面的長方體。

這項操作充滿著挑戰，很多學生知道要折成底面是長方形的長方體，但在操作時往往因為圖方便而將相對的兩個面連在一起，以致無法折出。好在部分學生經過自我調整或與同桌交流，終于折出底面是長方形的長方體。

師：以兩位學生折出的長方體為例，量出長度。一個長方體長是10厘米，它的寬和高分別是多少厘米呢？你是怎么想的？另一個長方體寬是3厘米，它的長和高分別是多少厘米呢？你是怎么想的？（完成表格）

【操作四】這張A4紙，除了能折出圓柱、長方體外，還能折出其他的立體圖形嗎？哪怕是我們沒學過的。試試看！

學生的創造力是無窮的，經過簡短的思考，就有人折出了三棱柱。

【操作五】剛才大家折的是三棱柱，有沒有四棱柱呢？折折看！（很多學生折出的依然是長方體）你發現了什么？四棱柱一定是長方體嗎？（不一定，四棱柱的底面可以是任意的四邊形。）四棱柱和長方體相比，誰的范圍更大？這就是說：長方體是特殊的四棱柱。

師：有了三棱柱、四棱柱，肯定還有……同學們，普普通通的一張A4紙，因為你們的智慧操作，讓它發生了神奇的變化，產生了無數的立體圖形。當這些立體圖形的底面棱數越來越多時，就變成了……（圓柱）

一、秉承一脈，豐富學生的順延思維

1.選準教學起點，喚醒直覺思維

“操作一”是以學生對“圓柱的側面積”認識為教學起點，沒有經過按部就班的推理，而是調動學生自身的知識經驗，通過直覺思維的喚醒而作出的敏銳操作，直接把握住了操作對象的本質和聯系。

2.借助形體表象，完善形象思維

“操作二”幫助學生建立了底面是正方形的長方體的表象，“操作三”則在此基礎上對長方體進行了完善，“操作四”的三棱柱、“操作五”的四棱柱，以及后面無需一一操作的五棱柱、六棱柱……當底面棱的條數越來越多時，必然回到原點——圓柱。整個過程已經超越了操作本身，借助表象而進行的聯想與想象，極大地完善了學生的形象思維。

3.指導正確遷移，培養縝密思維

學生在解題時，雖然思路正確，但往往思維不夠縝密，導致無法解決問題。剛開始“操作三”時，很多學生知道要折成底面是長方形的長方體，思路是正確的，但在折紙時受“操作二”的負遷移影響，將大小一樣的兩個面連在一起，以致無法折出（因為長方體展開后相對的面不可能連在一起）。這時我引導學生復習“長方體的側面展開圖”中“相對的面不可能連在一起”這一知識點，再讓學生經過自我調整或與同桌交流，終于折出底面是長方形的長方體。

二、革故鼎新，豐富學生的創新思維

創新有狹義與廣義之分，面對小學生，我們需要的是廣義的創新思維，只要是以前沒有而現在有，對學生個體而言，就是一種創新。

1.鼓勵大膽操作，誘發求異思維

求異思維是指有創見的思維，即通過創造性思維活動，不僅揭露事物的本質及其內在聯系，而且在這個基礎上產生新穎的、超出一般規律的思維成果。“操作四”的提問：“這張A4紙，除了能折出圓柱、長方體外，還能折出其他的立體圖形嗎？哪怕是我們沒學過的。”其中“哪怕是我們沒學過的”這句話，含有極強的鼓動性，誘發了學生的求異思維，鼓勵了學生大膽地、創造性地開展操作活動。

2.避免思路單一，發展多向思維

多向思維表現為既可以是從盡可能多的方面去思考同一個問題，也可以從同一思維起點出發，讓思路呈輻射狀，形成諸多系列。前面說過，小學數學教材中的“側面積”知識，僅僅局限于圓柱的側面積，對于其他立體圖形的側面積則沒有涉及。如何避免由這單一知識點而造成思路單一呢？以上五個操作片段，從圓柱→長方體→三棱柱→四棱柱→……→圓柱，突破了教材的知識局限，打破了學生原有的思維方式，很好地發展了學生的多向思維。

3.拓展知識外延，克服思維定勢

“操作五”一開始，受思維定勢的影響，學生折出的四棱柱依然是長方體居多，如何克服這個思維定勢呢？我從底面是四邊形入手，提醒學生四邊形絕不僅僅只有長方形和正方形。知識的外延一旦打開，學生的折紙也就千姿百態：四棱柱的底面有平行四邊形、梯形，甚至是任意四邊形。

三、貌“離”神“合”，豐富學生的整體思維

整體思維認為應把目光投向對學生思維的整體把握，從而避免“只見樹木、不見森林”的單一與狹隘，有效提升學生的整體思維能力。

1.分析判斷推理，開發邏輯思維

邏輯思維以概念、判斷和推理作為思維的基本形式，以分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化作為思維的基本過程，從而揭露事物的本質特征和規律性聯系。上述幾個操作過程所折出的圓柱、長方體、三棱柱、四棱柱，以及推想產生的五棱柱、六棱柱……它們側面積的本質就是這張A4紙，它們側面積的大小就是這張A4紙的大小。

2.形體分類總結，形成聚合思維

聚合思維又稱求同思維，是將各種信息匯聚起來分析、整合，最終探求出一個正確規律（答案）的思維方法。以上操作過程，筆者都自制了實物教具（圓柱、三棱柱、五棱柱各兩個，底面是平行四邊形的四棱柱、底面是梯形的四棱柱各兩個，長方體四個）。當學生沉浸在那么多教具帶來的震撼時，我讓學生對這些立體圖形進行分類，學生很自然地將它們分成了“高瘦子”（以寬20厘米作底面周長、長30厘米作高）和“矮胖子”（以長30厘米作底面周長、寬20厘米作高）兩類。此時再追問：“這些立體圖形有什么相同之處嗎？”學生自然而然地得出“它們的側面積都相等”，“它們的側面都是同一張A4紙，側面積都等于底面的周長×高”。在分類總結中幫助學生形成聚合思維。

3.利用知識本身，挖掘極限思維

小學數學課程中有許多問題是與高等數學內容有關的，尤其是極限思維與小學數學的許多內容有直接聯系。在小學里，解決這些問題不一定需要嚴格證明，但可以在直觀演示或操作的過程中，挖掘知識本身所蘊藏的極限思維。比如“操作四”“操作五”中的三棱柱、四棱柱……最終到圓柱，以及三棱柱、四棱柱……個數有無數個，這些都是很好的極限思維的滲透。

荷蘭教育家弗賴登塔爾指出：學習數學唯一的方法是實行再創造。他認為這是一種最自然、最行之有效的學習方法。因為只有通過自己的再創造而獲得的知識，才能真正掌握和靈活應用。本文所述，正是利用一張普普通通的A4紙，在操作中引領學生不斷地再創造，不斷地豐富學生的數學思維。endprint