質疑與追問 增強學生思維的縝密性

朱耀峰

教學內容：“分類計數”問題（適合“長方體和正方體”單元結束時使用）。

教學目標：通過活動，幫助學生積累由特殊到一般、尋找規律解決問題的數學經驗；進一步培養學生的空間想象力，培養學生探究數學奧秘的興趣；掌握分類計數的方法以解決相關問題。

教學設想：借助課件直觀，將學生的探究活動不斷引向深入，通過不完全歸納引導學生把握問題的共性進而發現規律、獲得一般性結論；教學中要盡可能地讓學生自己發現規律、表述規律，教師只能在學生確有困難時給予適當指引；通過窮盡列舉完善分類，讓學生養成及時驗證結論的學習習慣；通過質疑與追問，提升學生思維品質的嚴密性。

教學過程：

一、談話導入

課前，我們通過魔方認知了三面涂色、兩面涂色、一面涂色的相關情況，誰能說說在魔方中三面涂色、兩面涂色、一面涂色的部件分別處在魔方的什么位置？能不能通過旋轉把魔方中三面涂色的部分移到兩面涂色或一面涂色的位置？（不能。）看來三面涂色、兩面涂色、一面涂色的位置是確定的。

今天，我們就來一起探究跟表面涂色有關的計數問題。板書：“分類計數”。課件出示：

把一個六面都涂上顏色的正方體木塊，切成64個大小相同的小正方體（如圖）。

（1）三面涂色的小正方體有多少個？

（2）兩面涂色的小正方體有多少個？

（3）一面涂色的小正方體有多少個？

設計意圖：沒有先研究棱長為3的正方體再研究棱長為4的正方體，主要出發點是棱長為3的正方體比較特殊，兩面涂色的每條棱上只有1個，一面涂色的每個面上只有1個，六面都沒涂色的也只有1個，不具有一般性；而棱長為4的正方體更具一般性，便于探究規律。

二、引導探究

1.棱長為4的正方體

（1）三面涂色的小正方體有多少個？

啟發：處在什么位置上的小正方體才會是三面被涂色的？其中有幾個是能看到的？而不能看到的又有幾個？說說不能看到的那些小正方體在什么位置？（課件變色能看到7個頂點上的小正方體。）再閉上眼睛想一想：三面涂色的小正方體在什么位置？有幾個？記住它們所在的位置。

（2）兩面涂色的小正方體有多少個？

啟發引導（與三面涂色基本同，略），思考：這個數據該通過怎樣的計算獲得？（課件變色能看到的9條棱上的每條棱上2個小正方體。）引導學生得出2×12=24。

（3）一面涂色的小正方體有多少個？

啟發引導（與三面涂色基本同，略），思考：這個數據該通過怎樣的計算獲得？（課件變色能看到的3個面上的每個面上的4個小正方體。）引導學生得出2×12=24。

（4）追問：六個面都沒有涂色的小正方體有多少個？

啟發：這樣的小正方體處在什么位置？它的個數該如何計算？（引導學生想象：將大正方體剝去一層皮，得到的該是什么情況？）引導學生得出：六個面都沒有涂色的小正方體在大正方體的中間，而非表面。有兩種算法：64-8-24-24=8（個）或2×2×2=8（個），這兩種方法可以相互印證。

（5）操作教具（驗證學生的發現）。

①將處在頂層的4個頂點上的4個小正方體從教具中取下，讓學生見證“三面涂色”。

②將處在非底層的8條棱上的16個小正方體取下，讓學生明確計算方法、見證“兩面涂色”。同時追問學生：還有兩面涂色的小正方體在哪里？

③取出其中5個一面涂色的小正方體，讓學生明確計算方法、見證“一面涂色”。

④呈現“六個面都沒涂色”的小正方體（由8個小正方體組成的棱長為2的正方體）。

⑤將最底層的小正方體按類歸位，驗證計數的結果及計算方法。

（6）填表。

將正方體的棱長、各種正方體的個數及計算方法填入活動記錄表中。并引發思考：計算所需的數據與原正方體的棱長有什么關系？

設計意圖：要求學生能夠準確表達出不能看到的三面涂色、兩面涂色、一面涂色及六個面都沒有涂色的小正方體的位置，是想通過學生的準確表達從而在頭腦中建立表象。再閉上眼睛想一想，再次建立初步的表象。計算方法的探究主要是為找到通式的規律作鋪墊，實物教具的操作更是為了讓學生在頭腦中建立清晰的表象。活動記錄表的填寫，主要是通過比較與歸納，從而找到此類問題的規律，獲取解決問題的一般方法，積累數學活動經驗。

2.棱長為3的正方體

學生自主完成，將探究結果填在活動記錄表中。完成后指名匯報交流。

3.棱長分別為5、6、10的正方體

學生自主完成，將探究結果填在活動記錄表中。

小組內交流自己的發現。

投影呈現學生的活動記錄表。

通過課件形象呈現，印證學生的結論。

引導學生初步發現正方體表面涂色問題的一般規律。

設計意圖：將棱長為4的正方體作為重點進行教學，棱長為3、5、6、10的正方體用于進一步強化認識及新建立的概念，通過比較歸納發現正方體表面涂色的一般規律。課件呈現主要是為了讓學生頭腦中的概念表象更清晰。

4.棱長為a的正方體木塊

讓學生通過小組合作，在觀察分析前面5種正方體表面涂色的相關數據，發現規律得出結論：三面涂色：8個；兩面涂色：（a-2）×12（個）；一面涂色：（a-2）2×6（個）；六個面都沒涂色的：（a-2）3（個）。完成活動記錄表。

設計意圖：將探究的內容由有具體長度的正方體推進到用字母表示的抽象的正方體，也將剛剛獲得的有關正方體表面涂色的新認知由特殊推向一般，發現規律得出結論，豐富和積累了學生學習數學和解決問題的經驗。

5.長7、寬5、高4的長方體endprint

課件呈現：將一個長為7厘米、寬為5厘米、高為4厘米的長方體木塊表面涂色后切成棱長為1厘米的小正方體，結果會怎樣？

在學生充分自主探究的基礎上小組合作完成，將探究結果填在活動記錄表中。

在學生充分交流的基礎上，通過實物教具的操作形象化展示與印證學生的探究結果。

設計意圖：將探究的內容由正方體推進到長方體，進一步地將剛剛獲得并得到強化的認知由特殊再次推向一般。不僅豐富了學生學習數學和解決問題的經驗，更能讓學生體會到長、正方體之間的密切關系。而圓柱、圓錐、棱錐、棱臺、圓臺等立體實物都不具備這樣的特征。實物教具的操作，驗證學生的結論、方法，進一步建立表象形成認知。

6.由特殊到一般（課件出示）

一個長方體木塊，長a、寬b、高c（a、b、c都為大于或等于2的整數），把它的表面涂上紅色后，再將其分割成邊長為1的小正方體。（1）三面涂色的小正方體有多少個？（2）兩面涂色的小正方體有多少個？（3）一面涂色的小正方體有多少個？（4）六個面都沒涂色的小正方體有多少個？

（引導學生觀察前面的活動數據，從而發現每一個結果與正方體的棱長或長方體的長寬高之間的關聯度。）

設計意圖：將探究的內容由正方體擴展到長方體、再由具體數據推向抽象的字母，使所探究的內容進一步貼近知識本質和概念的內涵，豐滿學生的數學知識和認識經驗，讓學生對所學內容有了系統的建模，從而形成準確的概念認知。

三、質疑追問

1.應用

一個長為8厘米、寬為6厘米、高為3厘米的長方體木塊，將其表面涂成紅色后再分割成棱長為1厘米的小正方體。提出問題并解答，并將結果填在活動記錄表中。

設計意圖：從給圖形到不給圖形，全憑學生在頭腦中構圖，旨在培養學生的空間想象能力。

2.質疑

（1）為什么此前一題中“a、b、c都為大于或等于2的整數”？

（2）分割成的小正方體會不會出現有4個面涂色的？

3.追問

如果是將長方體表面涂色再切成小正方體，會不會出現4個面涂色的小正方體呢？（引發學生的討論、辯論、爭論。）課件出示10×1×1的長方體。

設計意圖：當教學活動進行到獲得一般規律與結論時，很多老師往往是組織一些練習用于鞏固新的認知。但對于長方體表面涂色問題還有很多“特殊情況”需要進行深度探究。通過質疑及追問再次讓學生的認知“從一般到特殊”，甚至是“特殊中的特殊”，居然出現了四面涂色的小正方體，更出現了五面涂色的小正方體。讓學生見證數學的奇妙！似在意料之外，即在意料之中！有效培養了學生思維的縝密性。

四、深度探究

將下列長方體表面涂色后再切割成棱長為1的小正方體，得到的小正方體中：（1）三面涂色的小正方體有多少個？（2）兩面涂色的小正方體有多少個？（3）一面涂色的小正方體有多少個？六個面都沒涂色的小正方體有多少個？

1.4×3×2 2.3×2×2

3.2×2×2 4.3×2×1

5.2×2×1 6.2×1×1

7.3×1×1 8.4×3×1

設計意圖：這一環節是在學生獲得有關長、正方體表面涂色問題的一般認知的基礎上，通過“窮盡”的列舉，將長、正方體表面涂色問題不斷引向深入，使學生的知識結構與認知體系更豐滿、更繁茂，認知領域的“知識樹”根基更穩固，將探究發現的“一般規律”靈活運用，做到“具體問題具體分析”。

本節課的教學，先是在正方體體系內由一般到特殊，由具體到抽象，讓學生探究發現正方體表面涂色問題的一般規律。然后由正方體表面涂色這一特殊情況推向長方體表面涂色的一般情況，讓學生將有關正方體表面涂色的認識遷移到長方體表面涂色的認知中，實現了從特殊到一般的飛躍，再將具體的長方體推向抽象的用字母表示長寬高的長方體，引導學生得出有關長方體表面涂色問題的一般規律。在似乎“萬事大吉”的情況下，又進行了深度探究，不僅實現了“從一般到特殊”，更完成了“從特殊到特殊”。讓學生一次又一次地深陷探究的“漩渦”中，在一次又一次的“看到彼岸”的欣喜中，不斷收獲“柳暗花明”，練就縝密的思維。endprint