讓學生在探索中找到圖形覆蓋現象的規律

劉映娟

案例背景

幾年前，我執教了蘇教版數學五年級下冊的《圖形覆蓋現象的規律》。教材是讓學生通過解決在數表里框出幾個數，找到幾個不同的和來發現圖形覆蓋現象中的規律，并運用規律解決連號的參觀券或座位等實際問題，感受數學與生活的密切聯系，培養學生樂于思考、勇于探索的精神。每次教學都很順利，學生能用圈劃、連線、列舉等多種辦法找到規律。每次都能在有限的40分鐘里完成教學任務，內容飽滿、環節緊湊，層層遞進，學生熱情高漲、思維活躍，表達清晰。然而在順利的同時我也疑惑，圖形覆蓋現象的規律如此簡單，教學的真正意義在哪里？但每次都是一閃而過，教學依舊“畫葫蘆”。直到2014年6月，我參加了如皋的“南通市小學數學高效課堂教學”專題研討活動，聽了萬老師的《找規律》，結合自己的教學經驗，才有了恍然大悟之感。

案例描述

（一）課前游戲，激趣質疑

今天，老師想和同學們玩個“手指找朋友”的游戲。伸出右手，能說出手指的名稱嗎？（小指，無名指，中指，食指、大拇指）我們再來為手指找相鄰的好朋友好嗎？

分析：課前玩手指游戲，不僅調動了學生參與課堂的熱情，更為新課的學習作好了思維上的鋪墊。手指游戲普通、方便、有趣，學生在找的過程中，有序地找到四種，分別是小指和無名指、無名指和中指、中指和食指、食指和大拇指。

（二）創設情境，發現問題

1.展示生活小現象

（1）小強的媽媽想在4月上旬（1～10日）連續休假2天，可以是哪兩天？

（2）小明和媽媽一起看電影，放映廳第8排有10個座位，媽媽可以買哪兩張？

（3）10位小朋友在舞臺小合唱，燈光師每次可以給2位小演員打燈光，可能是哪兩位？

導學單一：

（1）選擇你喜歡的一種現象研究一下，并說說你是用什么方法找到答案的？

（2）思考：這三個不同的生活現象中，隱藏著什么相同的秘密？

2.分工合作，展示交流

預設一：（1）文字列舉：一號二號、三號四號、五號六號、七號八號、九號十號。補充：還有二號和三號、四號和五號、六號和七號、八號和九號（一共9種拿法）。

預設二：數字列舉：1～2、2～3、3～4、4～5、5～6、6～7、7～8、8～9、9～10。

教師評價：想到用數字來表示，看起來方便多了，比文字列舉更進一步。

預設三：畫圖連線：

[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

教師追問：你覺得在連線時怎樣才能做到不重復不遺漏？（依次、有序）

通過交流展示，孩子們找到了圈劃、列舉、連線等多種方法，并發現這3個生活現象都是從總數里每次拿相鄰的兩個數，求一共有幾種不同的拿法。

分析：教材上呈現的例題對學生來說比較枯燥，學生會根據要求找規律，但不知為何找？找了有何用？運用這3個常見的生活小現象，讓學生覺得新知與這些小現象有關，可以激發學生的探索需要。學生通過合作交流，發現找到答案的方法還是很多的。預設的幾種情況都在學生中產生了，這些原生態的方法是課堂的真實體現，令人欣慰。

（三）提出問題，初步感知

1.合作交流，展示新法

師：像這樣的數學現象，我們還可以研究些什么呢？

導學單二：

（1）教師示范：每次拿相鄰的3個數，可以有幾種不同的拿法？同時解釋：像這樣，每次框住相鄰的3個數，稱為一種拿法，我們把它叫作平移法。

（2）把1號、2號、3號框住，框住的這次不算，猜一猜：還可以往后平移幾次？

（3）為什么平移7次，卻得到8種不同的拿法？

小組活動，展示交流。

2.回憶反思，溝通方法

師：剛才研究拿相鄰的2個數所用的方法中，是不是也有這樣的平移？

3.觀察比較，提出猜想

師：對比兩次研究結果，你有什么想法？這是偶然的巧合還是必然的聯系呢？僅憑兩個例子下結論為時尚早，怎么辦呢？

分析：簡單明了的示范點撥、語言說明，讓學生的探究有了明確的指向性。本次小組活動，在導學單的引領下，更體現其數學價值、本質內涵，這樣的設計對學生的建模有著積極的意義。

（四）合作探究，發現規律

1.再移再比，深入探究

師：如果拿相鄰的4個數，需要平移幾次？可以得到幾種不同的拿法？拿相鄰的5個數呢？

學生再次獨立操作，合作交流，發現規律。（完成表格）

師追問：為什么“總數-框住的個數=平移的次數”？平移的次數+1=不同拿法的種數？

2.遷移規律，概括算法

師：剛才研究的總數都是10，如果把總數變一變，還會有這樣的規律嗎？

（1）如果總數是15，拿相鄰的3個數，5個數呢？

（2）如果總數是500，拿相鄰的10個數呢？

（3）如果總數是m，每次拿相鄰的n個數，有多少種不同的拿法呢？

分析：在獨立操作、合作交流中，學生發現總數、每次拿的個數、平移的次數和不同的拿法之間的關系，從而得出用計算的方法來解決問題更為簡單。通過老師的一再追問，把學生的思維不斷引向深入，學生在不斷的探索、交流中感知規律，在潛移默化中掌握規律，在自我反思中理解規律。

（五）走進生活，活用規律

1.基本練習

（1）這是小紅設計的一條花邊。

每次給相鄰的2個方格蓋上紅色的透明紙，一共有多少種不同的蓋法？每次蓋3個方格呢？5個呢？

（2）有15張天文臺參觀券。要拿6張連號的券，一共有多少種不同的拿法？endprint

（3）王叔叔在一家外企上班，他每個月有4天的連續休假。5月份，王叔叔準備用這4天休假出去旅游，你認為王叔叔在安排日程時有幾種情況？

2.變式練習

（1）禮堂里一排有8個座位。小芳、小英是孿生姐妹，要讓她倆坐在一起，并且小芳在小英的右邊。在同一排有多少種不同的坐法？

（2）禮堂里一排有8個座位。小芳、小英是孿生姐妹，要讓她倆坐在一起。在同一排有多少種不同的坐法？

（3）有一張8人座的圓形餐桌，小芳、小英是孿生姐妹，要讓她倆坐在一起，并且小芳在小英的右邊，共有多少種不同的坐法？（建議畫圖試一試）

3.拓展練習

用形如“□□□”的長方形橫放，去框日歷卡的日期數。每次同時框出3個數，一共可以框出多少個不同的和？

分析：練習設計分三層：第一層次是計算方法的運用，由條件齊全的到總數未知的；第二層次是對比練習，通過不同情況的觀察分析，找到條件之間的異同點，深化對規律的理解和運用；第三層次是拓展練習，需要考慮多行的求和，為下節課的教學內容作延伸。

案例反思

仔細研讀教材，《圖形覆蓋現象的規律》的教學主要是想讓學生知道規律是什么，是怎樣探索出來的，能解決生活中的哪些問題。因此，我們需要創設一定的生活情境，讓學生知道規律在生活中有著較為廣泛的運用。我們更需要讓學生在“找”上做文章，培養他們的合作意識和探究能力。

（一）創設生活情境，讓學生的學習更有親近感

創設情境是數學教學中常用的一種策略，有利于提高學生的學習興趣，激發探求新知的欲望。課前的“玩手指”游戲，讓學生在快樂的活動中感知相鄰的真正含義。接下來的三個小例子，更讓學生親近生活中的覆蓋現象。從課堂反映來看，學生是熱情的，展示的方法是多樣的，有的舉實例，有的用數字替代，有的用圈畫找答案，這些原生態的方式是課堂的真實再現，學生為自己找到了結果而高興，為解決了生活的實際問題而開心。然而，這些情境的設計，是老師觀察生活、研究學生、深讀教材的結晶。

（二）引領數學問題，讓學生的研究更有方向感

學生的探索能力主要體現在面對新的現象或問題有主動的應對策略，快速而有效地發現給定現象中隱藏的規律或者解決問題的辦法。因此課堂教學中，老師需適時進行問題引領、需適時進行言語點撥，需給足學生探索的時間和空間。老師用“在這樣的數學問題中，我們還可以研究些什么呢”直接引領學生轉向“平移法和平移的次數”兩個概念，并用“導學單”不斷把探索引向深入，讓學生的合作探究有更明確的方向。這樣安排，容易激活學生的潛能，便于學生形成解決問題的策略，形成獨特的體驗，思維不斷得到升華。

（三）類比覆蓋現象，讓學生的探索更有成就感

研究現象，更多的是為了找到規律，并運用規律解決實際問題。教師設計了3個追問：（1）“拿相鄰的2個數是否也可以采用平移的方法？”（2）對比兩次研究結果，你有什么想法？這是偶然的巧合還是必然的聯系呢？（3）如果拿相鄰的4個數，需要平移幾次？可以得到幾種不同的拿法？拿相鄰的5個數呢？教師一系列的追問與點撥，再移再比，類推規律，總結算法，無不體現出教師的別具匠心。教師的精彩之處，就是不斷啟迪學生的智慧，讓學生獲得前所未有的成就感。

（四）“內化”覆蓋規律，讓學生的運用更有生活感

有位教育家說過：每個人都希望自己是個探索者、成功者，在學生的世界里，這種希望更加迫切和強烈。學以致用，是學生最開心的事。本課的練習非常有層次感，能滿足每個學生的學習需求。基本練習只為鞏固學習的規律；變式練習通過不同情況的觀察分析，找到條件之間的異同點，深化對規律的理解和運用；拓展練習，讓學生有“跳一跳才能摘到果子”的感覺。細品練習，從基礎到提高、從簡單到復雜，層層遞進，而整個的練習設計緊緊圍繞解決生活中的實際問題，讓學生的學習更有生活感。endprint