基于變步長重采樣的非高斯非線性目標跟蹤*

牛德智， 陳長興， 班 斐， 陳 芳， 王 卓， 陳 強

(1.空軍工程大學 理學院,陜西 西安 710051；2.空軍工程大學 科研部,陜西 西安 710051;3.空軍工程大學 訓練部,陜西 西安 710051)

動態系統中的目標跟蹤就是通過一組目標的觀測量對其狀態量進行準確估計和預測的過程[1-2]，其核心部分是濾波算法?？柭鼮V波(KF)方法能有效跟蹤線性運動目標，對于非線性問題，擴展卡爾曼濾波(EKF)和無跡卡爾曼濾波(UKF)分別具有一階和二階精度，但其性能會受非線性程度高低影響,且基于高斯假設條件[1]。近年來出現的粒子濾波(PF)方法用粒子集來近似后驗概率密度，具有良好的非線性非高斯特性，廣泛應用于目標跟蹤、定位和導航、狀態監視與故障診斷、圖像處理等方面[2]。

為解決傳統PF方法重采樣過程中的粒子退化問題，出現了優化組合重采樣、分層轉移重采樣等方法[3]，但是這些大都存在復雜度高、不易實現的缺點。另外，實際中的觀測噪聲多為非高斯噪聲，噪聲特性表現為概率密度函數具有“厚尾”特征，但大多數濾波算法在討論對非高斯噪聲的適應性時，都是用特定概率密度分布(如gamma分布、瑞利分布[4]等)的噪聲來代替，并沒有用具有真實特征的非高斯噪聲來分析驗證。

基于此，本文首先給出非高斯噪聲的產生方法，并從克服基本PF方法粒子退化現象的角度出發，提出一種易于實現且性能較優的變步長重采樣粒子濾波方法用于目標跟蹤。

1 目標跟蹤的基本原理

目標跟蹤是利用傳感器所獲得的量測數據對目標的狀態進行持續和優化的估計與預測過程，其中目標狀態包括運動參數和屬性信息。實現原理[1]如圖1所示。

圖1 目標跟蹤基本原理圖

對于一般的目標跟蹤問題，可有如下的目標運動和觀測方程[5]：

式中,f(·)和 h(·)分別表示狀態轉移函數和觀測函數，xk為系統的狀態向量，zk為觀測向量，wk和 vk分別為過程噪聲和量測噪聲。濾波的過程就是從觀測序列zk中估計狀態向量 xk。

2 非高斯噪聲的產生方法

在已有的文獻資料中指出，可以由兩種以上的概率密度函數加權組合得到非高斯噪聲的概率密度函數[6]，如采用高斯概率密度函數和拉普拉斯概率密度函數組合就是一種方式，但是就其如何仿真形成具有實值序列的非高斯噪聲并沒有給出系統的方法流程；或者將具有兩種函數特性的噪聲序列值進行加權組合，以替代加權組合概率密度函數作為實際操作，但這種仿真過程較為粗糙。為更好地體現非高斯噪聲的“厚尾”特性，本文給出兩種非高斯噪聲的產生方法。

將非高斯噪聲的概率密度函數表示為：

其中,PG(x)為高斯高斯概率密度函數，其表達式為PG(x)，通常情況下取標準正態分布,令μ=；PL(x)為拉普拉斯概率密度函數，其具有“厚尾”特性，表達式為；ε為加權系數，且 ε+(1-ε)=1保證了滿足 FNG(+∞)=1的條件限制。為了便于后文表述及在Matlab仿真中的應用實現，聲明如下定義函數：

則非高斯噪聲的概率分布函數為：

2.1 概率分布函數產生法

首先求解F1(x)：

式(7)中的第4個等號表示可以借助Matlab中的函數命令求解反常積分的數值。

(1)當 x＞0 時：

(2)當 x≤0 時 ：

一般地，ε描述了“厚尾”特性的概率密度函數所占權值大小，b表征了拉普拉斯概率分布的方差特性，如可取一組參數為：ε=0.3，b=2。這樣，可以得到一種生成非高斯噪聲序列的方法步驟如下：

(1)隨機生成 0～1之間的均勻分布隨機數 U(0,1)，并令r(i)=U(0,1)，i=1,2,…,N為非高斯噪聲序列的序號值。

(3)令 X=[X(1)，X(2),… ,X(i),… ,X(N)],則 序 列 X 就是仿真生成的非高斯噪聲序列。

該方法為非高斯噪聲序列的仿真實現提供了一種工程借鑒意義。但是考慮到求解無解析形式原函數的積分會產生一定的時間復雜度，下面考慮一種依托加權組合概率密度函數的時效性更高的非高斯噪聲序列仿真實現手段。

2.2 生成數據庫產生法

在一個大值區間 x∈[-a，a]按一定的步進步長 △(如△=0.01)取遍區間上的所有x,然后用數值定積分的方法，按照式(6)逐一獲得一系列點集處的混合噪聲(非高斯噪聲)的概率分布函數，并繪制曲線。這樣,大值區間上的數值點集與其對應的概率分布函數值的一一映射對之間便構成了一個非高斯噪聲數據庫D,并記D=[xi;Fi]，i=1,2,…,N,其中 xi∈[-a，a]，Fi由 xi根據式(6)計算得來。

在此基礎上，便可以形成由數據庫生成非高斯噪聲序列的方法步驟：

(1)隨機生成0～1之間的均勻分布隨機數 U(0,1)，并令r(i)=U(0,1)。

(2)求解k=arg min|r(i)-Fi|，進而從數據庫D中取出xk。

(3)X=[xk(1)，xk(2),…,xk(N)],則序 列 X 就 是 仿真 生成的非高斯噪聲序列。

3 變步長重采樣粒子濾波方法

3.1 基于置信區間的變步長重采樣原理

針對粒子退化[7]問題，變步長重采樣方法由此產生，但是在現有的研究中，對變步長重采樣的實現過程和方法描述還存在模糊界限，且主觀性較大，步長較小時收斂速度仍然緩慢，步長較大時仍會發生退化問題[8]。

這樣，本文給出一種基于置信區間的變步長重采樣方法的實現過程。由假設檢驗的原理可知，若隨機變量Y服從均值為、方差為的某分布，則由大數定律可知，變量 Y的置信度為 1-α的置信區間為-σYuα/2+σYuα/2]，若置信水平 α=0.05，則 uα/2≈3，這就是工程上常用的統計數據是否合理的“3σ準則”。借鑒這一思想，在PF的重采樣過程中，對于小權值粒子的處理過程如下：

若 xk(j)為小權值粒子，xk(i)為大權值粒子，則對 xk(j)的重新賦值過程為:

其中，σq表示由重要性采樣函數所描述的概率分布的標準差，rand表示任意0～1之間的隨機數。

3.2 新的PF方法步驟

采用以上的重采樣方案后，得到目標跟蹤的新方法算法步驟為：

(1)初始化：取k=0，以目標的初始運動狀態作為先驗p(x0)分布，建立初始狀態樣本{x0(i),1/N}Ni=1，N為粒子數。

(2)系統狀態轉移：根據k-1時刻的樣本粒子{xk(i)}Ni=1，通過狀態轉移方程得到k時刻的樣本粒子{xk(i)}Ni=1。

(3)生成觀察樣本：

(4)計算信息殘差：

(5)權值計算并歸一化:按照選取的重要性函數q(x)，計算各個粒子的權值，歸一化， 得支撐點集

(6)目標狀態后驗輸出：由支撐點集計算后驗濾波的狀態輸出，即:

(7)重采樣：根據有效數據長度原則從{xk(i),ωk(i)}Ni=1重新生成N個樣本，具體過程如下：

①產生在0～1上均勻分布的隨機數uj；

③計算uj落入權值累加函數的區間情況，即滿足Cm≥uj＞Cm-1；

④按照3.1節中描述的變步長法重采樣:這樣，得到新的粒子集{xk(j),1/N}Ni=1。

(8)返回到第(2)步，跟蹤系統接收下一幀。重復上述迭代過程，獲得目標的運動軌跡。

4 仿真實驗

4.1 非高斯噪聲序列的產生

這里，首先仿真由加權組合形成的非高斯噪聲概率密度函數曲線，結果如圖2所示，從中可以看出其具有較長的“厚尾”特性(參數選取為 ε=0.3，b=2)。

圖2 3種概率密度函數曲線圖

其次，圖3的仿真曲線為按照式(4)采用數值定積分法求解概率分布函數后繪制的曲線。這樣，在該曲線對應的非高斯噪聲數據庫中，即可仿真給出具有一定長度的非高斯噪聲序列。

圖4所示為由加權組合概率密度函數生成非高斯噪聲數據庫的仿真實現方法模擬生成的長度為500的非高斯噪聲序列?？梢钥闯?，該噪聲序列具有良好的尖峰特性。

4.2 非線性運動目標的跟蹤實驗

圖3 數值定積分法繪制的3種噪聲概率分布函數

圖4 仿真模擬的長度為500的非高斯噪聲序列

考慮使用雙坐標雷達對平面上的一個運動目標進行觀測。目標的起始點為(2 000,10 000),目標在t=0～400 s沿y軸作恒速直線運動，運動速度為-15 m/s;在 t=400～600 s向x軸作90°的慢轉彎，加速度在 x方向和y方向的分量均為0.075 m/s2，完成慢轉彎后加速度將降為0;從 t=610 s開始做 90°的快轉彎，加速度為 0.3 m/s2;在660 s結束轉彎，加速度降至0。雷達掃描周期 T=2 s，x和y獨立地進行觀測，觀測噪聲的標準差均為100 m。對該問題采用本文方法進行跟蹤性能仿真,得到的仿真結果如圖5、圖 6所示。

圖5所示為新PF方法和標準PF方法(重采樣采用系統重采樣)的跟蹤性能，可知新PF方法對該目標的跟蹤具有更好的效果和精度，由圖6中的跟蹤位置誤差便可說明這一點。

圖5 兩種方法的跟蹤軌跡

圖6 兩種方法在x方向的跟蹤位置誤差

綜上可知，所提出的基于變步長重采樣的新PF方法相比于標準PF方法，具有更好的跟蹤效果及精度，說明其對于該類雷達目標跟蹤問題具有一定的適應性。

本文主要研究了非高斯噪聲條件下非線性運動目標的跟蹤方法。首先給出了非高斯噪聲的仿真生成方法，進而提出了一種基于置信區間的變步長重采樣PF濾波方法。仿真實驗結果表明，該方法可以有效應用于非高斯噪聲條件下的非線性運動目標的跟蹤，說明了方法的有效性。

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