改進的最大最小特征值之差的頻譜感知算法

趙知勁，胡偉康

(杭州電子科技大學 通信工程學院，浙江 杭州 310018)

認知無線電CR(Cognitive Radio)[1]允許認知用戶SU(Secondary User)利用授權主用戶PU(Primary User)的空閑頻段進行通信，可以提高頻譜利用率，而頻譜感知是認知無線電的關鍵技術之一。目前，頻譜感知方法主要有循環平穩特征檢測、匹配濾波器檢測和能量檢測ED(Energy Detection)等方法。但是這些經典頻譜感知方法都有各自特定的應用場合和缺陷[2]，例如需要預先知道PU的先驗信息，對噪聲的不確定性敏感等。

針對上述缺陷，利用隨機矩陣理論RMT(Random Matrix Theory)的頻譜感知技術引起國內外學者的關注，迅速成為當前的研究熱點，提出了多種基于RMT的頻譜感知算法。參考文獻[3]提出了最大最小特征值MME(Maximum Minimum Eigenvalue)算法，參考文獻[4]提出了最大最小特征值之差DMM(Difference between Maximum and Minimum eigenvalue)算法，DMM比MME具有更好的檢測性能。但在協作用戶較少的情況下，DMM性能有待提高，對此，本文提出了改進的DMM算法，對感知信號進行拆分重組，增加協作用戶的邏輯個數，提高了DMM算法在較少協作用戶情況下的性能。

1 理論基礎

考慮多徑衰落信道下的頻譜感知，h(n)代表了發射機與接收機之間的信道衰落函數，則SU采樣信號x(n)=h(n)s+w(n)=s(n)+w(n)，s代表 PU 發射信號，s(n)代表發射信號經過信道衰減后接收到的信號，w(n)是加性高斯白噪聲。假設感知過程中有M個SU，每一個SU對接收信號采樣N次，則第i個SU在k時刻的采樣信號、接收信號及噪聲分別表示為 xi(k)、si(k)和 wi(k)。

定義M×N維采樣信號向量矩陣X=[x1x2… xM]T,其中,xi=[xi(1)xi(2)… xi(N)]T(i=1,2,…,M)表示第 i個SU采樣得到的信號向量。相應的定義背景噪聲向量矩陣為W，PU發射信號經過信道衰減后接收到的信號向量矩陣為S。頻譜感知過程可以看作為一個二元假設檢驗過程，SU對PU發射機信號進行檢測的結果存在兩種可能，建立假設檢驗模型如下：

假設噪聲W是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。當PU發射信號不存在時，S為 0，則式(1)可以統一表示為X=S+W。根據PU發射信號與噪聲統計獨立，可得接收信號的統計協方差矩陣為：其中,IM為單位矩陣。定義如下采樣協方差矩陣：

假設信號與噪聲是平穩遍歷，則當N→∞，可以得到如下關系式，,即當 N→∞ 時，信號協方差矩陣的統計平均等于采樣平均。當PU發射信號不存在時，此時噪聲協方差矩陣為Wishart隨機矩陣，該隨機矩陣的聯合概率密度函數表達式非常復雜，但是根據參考文獻[5-6]，其最大最小特征值的特性可由如下定理描述。

2 改進的DMM頻譜感知算法

2.1 檢驗統計量的確定及判決準則[4]

將TDMM作為判決統計量，判決門限設為γDMM，算法性能取決于γDMM的設置。根據以上分析，DMM算法的判決準則為：

(1)當 TDMM≥γDMM時，檢測到 PU信號，判決H1成立；

(2)當 TDMM＜γDMM時，未檢測到 PU信號，判決 H0成立。

2.2 IDMM算法

基于定理1和定理 2，DMM算法的虛警概率Pf可以表示為：

因此，DMM算法的理論門限值為:

可得DMM算法的門限與噪聲σ2有關。根據隨機矩陣理論，估計噪聲方差

由于DMM算法的檢測統計量TDMM和門限值γDMM都與信號自相關矩陣的最大特征值和最小特征值估計有關，最大特征值和最小特征值由PU信號的最大特征值ρmax和噪聲方差σ2決定，而 ρmax和σ2的估計又與協作用戶數M和采樣點數N有關,協作用戶數M和采樣點數N越多，能夠獲得的信號信息越多，對 ρmax和σ2估計越準確，因此檢測性能越好。

基于上述分析，在采樣點數N和協作用戶數M一定的情況下，本文將信號拆分成多個子信號，在總的數據量不變的前提下，增加了用戶的邏輯個數，以獲得更多的信號相關信息，提高DMM算法在較少協作用戶情況下的性能，提出了IDMM算法。

在 IDMM 算法中，將 xi(i=1,2,…,M)拆分成 q(q＞0)段k=N/q長的子信號向量，將拆分后的信號向量進行重組，則可以得到一個(qM)×k維的信號矩陣Y:

第1節中的定理1與定理2成立的前提是相比于協作用戶數M，采樣點數N趨向于無窮大，即N遠大于M。為了在IDMM算法中能繼續應用上述定理，對矩陣Y定義如下限制：拆分后的信號矩陣需滿足k＞＞qM。

將上述拆分后的矩陣Y表示成向量形式Y=S′+W′，其中 S′=[s11,…，sjm,…,sMq]T,W′=[w11,… ，wjm,…,wMq]T。 對于矩陣 Y，任取兩個向量xim，xjn做相關檢測，則有:

當j=i,m=n時,此時為自相關檢測;不相等時為互相關檢測，此時 Rim×jn(k)=E(wimwjnT)。互相關檢測消除了噪聲的自相關性對信號的影響,其性能要優于自相關檢測。

Y 的協方差矩陣 RY＝E(YYT)=E(S′S′T)+E(W′W′T)=Rs′+σ2IqM， 定義矩陣 Y 的采樣協方差矩陣=YYT/k，當k→∞時，信號協方差矩陣的統計平均等于采樣平均RY=(k)。

綜上所述，IDMM算法主要步驟如下：按照式(5)，對xi(i=1,2,…,M)進行拆分重組，獲得(qM)×k 維矩陣 Y；對矩陣R^Y(k)進行特征值分解，求得最大最小特征值，得到判決統計量 TDMM=λmax-λmin；估計噪聲方差，由式(4)計算得到門限γDMM；最后根據判決準則進行檢測。

3 算法仿真及結果分析

本節仿真分析算法性能，主用戶信號采用經過升余弦脈沖成型的QPSK調制信號。假設用戶數M=4，虛警概率Pf=0.05，5 000次的M-T模擬仿真各種算法。圖1是不同q值情況下門限γDMM隨采樣點數N變化的理論值與仿真值曲線。從圖可見隨著采樣點數N的增加，理論值與仿真值都趨于穩定。因為對門限值的理論推導過程中，最小特征值采用的是極限值，導致門限γDMM的理論值與仿真值有一定偏差，但是隨著采樣點數的增加，最小特征值逐漸逼近理論值，因此γDMM理論值與仿真值的偏差也越來越小，這與圖1中隨著N的增加，理論值與仿真值的曲線接近重合是一致的。表1是當采樣點數N為8 500次時，不同q值情況下的理論門限值與仿真門限值，從表1中可以得到，當采樣點數足夠大時，門限仿真值近似等于理論值，且隨著q值的增加，兩者之間的偏差越來越小，驗證了算法理論分析的正確性。

圖1 門限仿真值與理論值

表1 N=8 500門限理論值與仿真值

當采樣點數 N=3 000，q 值分別取 2、3、4、5 時，算法的檢測性能如圖2所示。 由圖2可見，隨著q值的增加，檢測性能逐步提高。例如當信噪比為-15 dB時，DMM算法的檢測概率為0.3，而4次拆分后的IDMM算法檢測概率達到了1。上述結果驗證了算法理論分析的正確性，充分表明了IDMM算法的優越性。進一步分析圖2可以看出，當q值再增加時，檢測性能提高幅度越來越小。這與理論分析是相符的，在式(5)中對拆分后的矩陣Y定義過k>>qM的限制條件，所以拆分次數有限的，當拆分次數超過一定范圍后，不能繼續應用定理1和定理2的結論。

圖2 不同q值下IDMM算法檢測概率

下面對不同算法的檢測性能進行比較，在IDMM算法中，q取2。由于ED算法與噪聲不確定性有關，為了便于比較，假設σ2=1固定不變，采樣點數N=3000，4種算法的檢測概率與信噪比之間的關系如圖3所示。由圖可見，隨著信噪比的增加，4種算法的性能均有提高，但IDMM算法的檢測性能明顯優于其他3種檢測算法。

本文從提高特征值估計精度出發，根據DMM算法的理論基礎，對接收信號矩陣拆分重組，提出了IDMM算法。理論分析與實驗仿真均表明，該算法延續了DMM算法優點，即感知性能不受噪聲不確定度的影響，無需知道主用戶的信息，同時檢測性能優于DMM算法，而算法復雜度與DMM算法相同。

圖3 4種算法性能比較

[1]MITOLA J,MAGUIRE G Q.Cognitive radio:making software radios more personal[J].IEEE Personal Communications,1999,6(4):13-18.

[2]李轉,任旭虎.基于信任度函數的認知無線電頻譜感知算法研究[J].電子技術應用,2012,38(6):108-114.

[3]Zeng Yonghong,Liang Yingchang.Eigenvalue-based spectrum sensing algorithms for cognitive radio[J].IEEE Transactions on Communications,2009,57(6):1784-1793.

[4]王穎喜,盧光躍.基于最大最小特征值之差的頻譜感知技術研究[J].電子與信息學報,2010,32(11):2571-2575.

[5]JOHANSSON K.Shape fluctuations and random matrices[J].Communications in Mathematical Physics,2000,209(2):437-476.

[6]JOHNSTONE I M.On the distribution of the largest eigenvalue in principle components analysis[J].The Annals of Statistics,2001,29(2):295-327.