改進VPMCD方法在滾動軸承故障診斷中的應用

楊 宇 李 杰 潘海洋 程軍圣

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

滾動軸承的故障診斷本質上是一個模式識別的過程。神經網絡、支持向量機等模式識別方法在滾動軸承故障診斷中應用廣泛。但人工神經網絡具有存在局部極小點、收斂速度慢、網絡學習和記憶不穩定等缺陷，而且如何根據特定問題來確定網絡的結構目前尚無很好的辦法，仍需憑經驗和試驗［1］；支持向量機（support vector machine，SVM）分類結果受到核函數及參數的影響，而且該方法處理大量數據時由于有尋優的過程而計算量很大［2］。除了本身固有的缺陷外，神經網絡和支持向量機在進行模式識別時都忽略了從原始數據中提取的特征值之間的相互內在關系。

然而，在機械故障診斷中，所有或部分特征值之間大都具有一定的內在關系，而且這種內在關系在不同的系統或類別（相同的系統在不同的工作狀態下）間具有明顯的不同。因此，可以對各個特征值之間的相互內在關系建立數學模型，對于不同的類別可以得到不同的數學模型，從而可以采用這些數學模型對被測試樣本的特征值進行預測，把預測結果作為分類的依據，進一步進行模式識別。基于此，Raghuraj等［3］提出了一種新的模式識別方法——基于變量預測模型的模式識別（variable predictive model based class discriminate，VPMCD）方法，同時還將該方法與神經網絡、支持向量機等其他模式識別方法進行了對比，驗證了VPMCD方法的有效性和優越性。然而VPMCD法是采用最小二乘回歸估計參數，最小二乘回歸是建立在自變量之間不存在高度線性相關的假定基礎上的，而實際情況中各種自變量之間總是存在著一定的線性相關性的。當這種相關程度比較高時，采用最小二乘法會導致回歸分析的正則方程組出現病態，從而使最小二乘法的參數估計不穩定，模型擬合精度難以保證，在此基礎上進行預測將可能產生嚴重的偏差甚至錯誤［4］。

針對這一缺陷，本文提出了VPMCD方法的改進方法，采用主成分回歸估計來代替最小二乘估計。主成分回歸估計方法［5］是對普通最小二乘估計方法的一種改進方法。主成分回歸估計法在簡化結構、消除預測變量之間的線性相關性方面起到了明顯的效果，因此，在回歸估計時具有比最小二乘法更好的性能。

本文將改進的VPMCD方法應用于滾動軸承故障診斷，先采用局部特征尺度分解（local characteristic－scale decomposition，LCD）方法［6］將滾動軸承振動信號分解成若干個內稟尺度分量（intrinsic scale component，ISC），然后分別求出前幾個ISC分量的近似熵［7］作為特征值組成特征向量，最后采用改進的VPMCD方法得到各故障特征值的預測模型，并利用預測模型對待診斷樣本的故障類型和工作狀態進行分類和識別。

1 改進的VPMCD方法

1.1 VPMCD方法

VPMCD方法是一種基于變量預測模型的模式識別方法，它認為被用來將系統劃分為不同類別的全部或部分特征值之間具有內在變量關系，利用不同類別之間的相互內在關系建立數學模型，并采用各類訓練樣本數據對模型參數進行估計得到不同的預測模型，再通過預測模型對測試樣本進行預測分類。

以機械故障診斷問題為例，采用p個不同的特征值X ＝ （X1，X2，…，Xp）來描述一個故障類別，對于其中的特征值Xi來說，當故障類別不同時，其他的一個或者多個特征值對Xi的影響也會發生變化。因此，特征值Xi與其余的一個或者多個特征值之間存在著一定的函數關系，而這種關系既可以是線性的，也可以是非線性的。為了識別滾動軸承的故障類型，需要有能夠描述這些函數關系的數學模型，以便對測試樣本的特征值進行預測，進一步對測試樣本進行分類，這種模型稱為變量預測模型。

為特征值Xi定義的變量預測模型是一個線性或非線性的回歸模型，可以選擇以下四種模型之一。

（1）線性模型（L）：

（2）線性交互模型（LI）：

（3）二次交互模型（QI）：

（4）二次模型（Q）：

式中，Xi為被預測變量；Xj（j≠i）、Xk為預測變量；b0、bj、bjj、bjk為模型參數（回歸系數）；r為模型階數，r≤p－1。

以p個特征值為例，選取上述四種模型中任意一個模型，用特征值Xj（j≠i）對Xi進行預測，都可以得到：

式（5）稱為變量Xi的變量預測模型VPMi，其中e為預測誤差。

VPMCD方法的步驟如下：

1.2 基于主成分估計的VPMCD方法

Raghuraj等［3］提出的VPMCD方法在預測模型的訓練過程中采用最小二乘法進行參數估計，但是當自變量間存在高度線性相關時，用最小二乘法進行參數估計會出現病態，這樣會使得估計得到的參數很不穩定，在具體取值上與真實值有較大偏差。

多元線性回歸分析［8］的一個基本假設是自變量之間不存在多重共線性（線性相關現象），要求設計矩陣Z的秩rank（Z）＝q＋1（q為自變量個數）。如果自變量之間存在完全的線性關系，則它們之間的相關系數為1。一般情況下，自變量之間存在著程度不同的線性相關現象，自變量之間的簡單相關系數在0～1之間變化，這時稱變量之間存在著近似共線性。變量間存在著近似共線性是一種普遍現象。

當對回歸模型

用最小二乘法進行參數估計時，所得的估計量為

其中，Z為設計矩陣，Z′Z為z1，z2…zq的相關系數矩陣，當自變量間存在完全的多重共線性時，設計矩陣Z的秩rank（Z）＜q＋1，此時｜Z′Z｜＝0，（Z′Z）－1不存在，正規方程組Z′Z＾β ＝Z′y 的解不唯一。當自變量間存在近似共線性，且這種近似共線性程度較高時，此時｜Z′Z｜≈0，（Z′Z）－1的對角元素很大的方差陣D（＾β）＝σ2（Z′Z）－1（σ2為方差估計函數）的對角元素很大，因而β0，β1，β2，…，βq的估計度很低。它將給回歸分析帶來如下影響：①估計量的方差很大，不能正確判斷預測變量對被預測變量的影響程度。②回歸系數的方差不斷增大，回歸系數的估計值對于樣本數據的微小變化非常敏感，其估計值的穩定性變差。③多元回歸方程用于預測時，樣本數據中存在的多重共線性問題會在預測中存在，它對預測結果會產生影響，預測結果不確定性會增大。針對這一缺陷，本文提出了基于主成分估計的VPMCD方法，即采用主成分估計代替最小二乘估計。

作為最小二乘估計的一種改進方法，主成分估計通過對原始變量相關矩陣內部結構關系的研究，找出影響模型過程的幾個綜合指標，使綜合指標為原來變量的線性組合。綜合指標不僅保留了原始變量的主要信息，彼此之間又不相關，使得在分析模型時容易抓住主要矛盾。主成分估計在回歸分析中已經得到了廣泛的應用，本文只就其剔除變量間多重共線性的過程進行闡述。

在進行分析前，將各變量進行標準化處理，以消除不同變量存在不同量綱的影響。標準化數據后，設

將主成分估計和最小二乘估計在自變量出現高度線性相關時的預測結果進行比較，結果如表1所示。假設已知x1、x2與y的關系服從線性回歸方程：

其中ε為預測誤差，x1，x2與ε各取12組值，如表1所示。

表1 數據的取值

2 基于改進VPMCD的滾動軸承故障診斷方法

在滾動軸承故障振動信號特征提取算法中，近似熵在描述信號的復雜性時具有較好的抗噪、抗干擾能力，而且利用較短數據即可以較穩健地估計出信號的近似熵。同時，近似熵能用于隨機過程和確定性過程，其取值大小會隨著隨機過程和確定過程的混合比例不同而不同［7］。因此，近似熵能表征信號的復雜程度和產生新模式的概率，可將其應用于故障診斷領域。而且，文獻［7］指出，在實際計算中，數據長度N為有限值，當近似熵的嵌入維數s＝2，相似容量r＝0.1SDx～0.2SDx（SDx為原始數據x（i）的標準差）時，熵值對N的依賴程度最小，具有較合理的統計特性。因此，可以通過近似熵算法對滾動軸承振動信號進行特征提取。

然而滾動軸承振動信號往往表現出非平穩、非線性特性，若直接進行近似熵計算會影響診斷精度，因此，必須先對原始振動信號進行處理。

本文將近似熵算法和LCD算法應用于滾動軸承故障診斷中，通過LCD將滾動軸承振動信號分解為若干個平穩的ISC分量，計算每個ISC分量的近似熵，再利用不同ISC分量中提取的近似熵之間存在相互關系這一特點，采用改進的VPMCD方法建立預測模型，從而進行模式分類。

3 應用

本文將改進的VPMCD方法應用于滾動軸承故障診斷中，采用美國西儲大學電氣工程實驗室的滾動軸承試驗數據來對該方法的有效性和優越性進行驗證，所采用的軸承型號、參數和試驗裝置見文獻［9］。采樣頻率為48kHz，電機負載為0.746kW，轉速為1772r／min，故障類型分別為：正常狀態、外圈故障、內圈故障、滾動體故障。故障點的直徑為0.01778mm，故障深度為0.02794mm，每種狀態各得到200個樣本。

對各樣本的原始信號進行LCD分解，信號分解中選擇標準偏差法作為終止判據，選擇鏡像對稱延拓方法減少邊界效應。由于滾動軸承故障振動信號的故障信息主要集中在高頻段，因此，可選取前四個ISC分量，并對各分量求取近似熵值（算法中選擇s＝2，r＝0.2SDx），分別標記為x1、x2、x3、x4。將所得的近似熵值組成特征向量，以此作為分類器的輸入進行模式識別。

對于四類狀態，每類狀態可以得到四組特征值，在進行訓練和預測之前，先對各特征值的線性相關性進行分析。從四組特征值中選取其中一組作為被預測變量，其余三組作為預測變量，通過相關分析，得到各變量之間的相關系數。對不同類別的不同預測變量進行相關分析時會出現相似的情況，由于篇幅有限，本文在表2中只列舉了外圈故障狀態下，當被預測變量為x4時，各預測變量之間的相關系數矩陣。

表2 預測變量間的相關系數矩陣

從表2可以看出，各預測變量與其平方項之間，各預測變量與其所在的交互項之間的相關系數都很高，例如x1與的相關系數為0.9965，x1與x1x2的相關系數為0.7661。當模型類型選用LI、Q、QI時，用最小二乘法進行參數估計會出現較大偏差，進而影響分類精度。

為了證明改進的VPMCD相對于原始方法能更好地運用于滾動軸承故障診斷，本文分別用Re－substitution（簡稱RS）檢驗、K－fold cross－validation（簡稱K－CV）檢驗、Jack－Knife（簡稱JK）檢驗對兩種方法進行驗證，其中RS檢驗能驗證算法的自相容性［10］，K－CV檢驗和JK檢驗是較為客觀和嚴格的交叉檢驗［11］，能反映算法的推廣能力。

用RS檢驗驗證時，在兩種方法下通過訓練得到各變量的最佳模型階數和模型類型如表3和表4所示。

表3 VPMCD訓練得到的最佳模型類型和最佳模型階數

表4 改進VPMCD訓練得到的最佳模型類型和最佳模型階數

表3和表4中的預測模型類型和模型階數都是以最小預測誤差平方和作為判別依據得到的。然而，從兩表中可以看出，原始VPMCD方法通過訓練得到的都是三階二次交互模型，而改進的VPMCD方法通過訓練得到的預測模型類型和模型階數隨著被預測變量和狀態的不同而不同。這是因為原始VPMCD方法用最小二乘估計時認為隨著變量數目的增加，由估計所得的模型擬合性應該更好。但是隨著預測變量的增加，變量間的線性相關性也相應增加了，這樣反而有可能降低估計精度。

通過三種檢驗（本文取K－CV檢驗中的K＝10），對比兩種方法的分類結果，如圖1～圖4所示。

圖1 兩種算法的RS檢驗精度

圖2 兩種算法的10－CV檢驗精度

圖3 兩種算法的JK檢驗精度

圖4 兩種算法在三種檢驗下的總檢驗精度

從圖1～圖4中可以看出，兩種算法的檢驗精度都比較高，但是相比而言，改進VPMCD方法的檢驗精度比原方法有所提高。例如，在RS檢驗中（圖1），改進VPMCD方法的外圈故障狀態檢驗精度 （93.00%）比 原始 VPMCD 方 法（90.5%）提高了2.5個百分點；在10－CV檢驗中（圖2），改進VPMCD方法的內圈故障狀態檢驗精度（95.00%）比原方法（93.00%）提高了2個百分點；在JK檢驗中（圖3），改進VPMCD方法的外圈故障狀態檢驗精度（93.00%）比原始VPMCD方法（90.00%）提高了3個百分點。因此，從圖4中可以看出，改進VPMCD方法在三種檢驗下的總檢驗精度都要高于原VPMCD方法，這說明該方法無論是在算法的自相容性方面還是在算法的推廣性方面都要優于原方法，而且該方法在三種檢驗下的高識別精度也說明了它非常適合于滾動軸承故障診斷。

4 結語

改進的VPMCD方法在參數估計時將主成分估計代替原始VPMCD中的最小二乘估計，彌補了最小二乘估計在變量間出現高度線性相關時難以估計出較穩定的回歸參數的不足。通過試驗比較可知，改進的VPMCD方法不僅具有非常高的識別精度，而且在自相容性、推廣性方面都要優于原始VPMCD方法，因此該方法更加適合于滾動軸承的故障診斷。

值得一提的是，雖然試驗中從同一振動信號下的不同ISC分量中提取的近似熵都具有一定的相互關系，但是這種相互關系的具體情況卻難以確定，而且特征值之間相互內在關系的實際預測模型也無法得到。然而，本文的重點在于利用特征值之間的相互內在關系建立預測模型，達到模式識別的目的，這種內在關系的具體情況并不需要知道，相應的實際模型也可以利用具體的模型來近似代替，只要達到所需要的分類精度即可。VPMCD方法是在假設特征值之間存在相互內在關系的前提下，通過訓練樣本從四種預測模型（L型、LI型、Q型和QI型）中選擇最佳預測模型，以此作為實際模型的近似模型，并通過近似模型對測試樣本進行測試，從而對滾動軸承的故障類型和工作狀態進行分類。試驗數據的分析結果表明，該方法達到了較高的識別精度，能有效地對滾動軸承的工作狀態和故障類型進行識別。

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