長期護理保險定價模型比較與分析

周海珍，楊馥憶

(浙江財經大學金融學院，浙江 杭州 310018)

一、引 言

我國目前已經進入老齡化社會，根據國家統計局的數據，至2013年末，我國60歲及以上人口占總人口的14.9%，其中65歲及以上人口則占了總人口的9.7%。在人類平均壽命不斷延長的同時，各種老年性疾病如老年癡呆、中風截癱、腦損傷等的發病率呈上漲趨勢，再加之意外事故在老年人群中的高發生率，使生活不能自理的老年人所占的比重越來越高。

一直以來，我國老年人護理基本上沿襲的是居家養老方式，但“4－2－1”家庭模式和大量“空巢家庭”的出現改變正著傳統的家庭養老觀念和模式。另一方面，隨著通貨膨脹率和醫療費用的持續上漲，護理成本也呈逐年上漲趨勢，導致了人們對醫療保險需求急劇增加。而我國現行的社會醫療保險制度尚不能提供長期護理保障，因此長期護理保險成為轉嫁護理風險的有效手段之一，這同時也有助于我國健康保險體系的完善［1］。我國于2005年推出了商業長期護理保險，但至今市場上長期護理保險的品種并不多，且銷量十分有限，這在一定程度上與長期護理保險在國內發展的時間比較短，經驗數據匱乏，產品定價過程不規范和不完善有關。因此，選擇合適的長期護理保險定價模型，對其進行深入系統的研究是非常必要的。

目前長期護理保險主要的定價方法包括曼聯模型、減量表方法和馬爾科夫模型。其中曼聯模型(James．D．Craig，1930)是一種成熟且常用的模型［2］;S．Haberman(1983)提及可運用減量表模型考察各健康狀態的人數改變情況來計算狀態轉移概率［3］;馬爾科夫模型由于在模擬人群從健康狀態向失能狀態轉移這一隨機過程中具有數學上易處理和參數易估計的優點，在長期護理保險定價模型中被廣泛應用。Beekman(1989)首次將長期護理過程視為一個持續的馬爾科夫鏈，提出了計算長期護理保險保費的概率模型［4］，Haberman(1997)擴展了Beekman模型，將馬爾科夫過程的轉移概率用一個明確的表達式加以闡述［5］，Norberg(1995)提出了一種基于用以描述長期護理過程持續時間的馬爾科夫鏈對長期護理產品定價的方法［6］，在Haberman＆Pitacco(1999)以準馬爾科夫過程為基礎建立了長期護理保險定價模型后［7］，Levikson于2001年拓展了該方法，解決了個體在處于健康-失能循環下的定價問題［8］，Robinson J．(2002)則利用連續時間的馬爾科夫鏈模型對長期護理保險進行定價［9］。在國內，何林廣(2007)分別運用上述三種方法模擬了長期護理保險的定價［10］;陳岱婉(2008)運用多減因模型研究了在同時包括生存保障和死亡給付條件下的護理保險定價模型［11］;李奇和張兆鉞(2011)則對適合于中國長期護理保險產品定價的基礎數據及相關問題進行了研究［12］。由以上分析可見，國外對長期護理保險定價模型的研究已經比較成熟，而國內對長期護理保險費率的研究相對較少，尚未形成一種適合我國的定價模型。本文將以美國常見的四種長期護理保險的定價模型為基礎，將國內的實際數據代入以核算費率并進行比較，希望能從中選取一種適合我國目前實際需求和可得數據的定價模型。

二、長期護理保險定價模型

美國的商業長期護理保險發展較為完善，我們以美國長期護理保險的定價模型為分析基礎，將這些模型大致分為不考慮狀態轉移的基礎模型和考慮狀態轉移的動態模型兩種類別。

(一)基礎模型(不考慮康復的可能性)

基礎模型只考慮被保險人從能夠自理狀態進入不能自理狀態，并一直保持這種狀態直到死亡，并不考慮被保險人從不能自理狀態恢復到能夠自理狀態的情況?；A模型又可分為兩種:第一種考慮了不能自理狀態對后續年份的影響，用人均不能自理周數來定義不能自理的概率;第二種則將被保險人的一生劃分為能夠自理狀態持續時間和不能自理狀態持續時間兩個隨機時間段。

1．基礎模型一:以人均不能自理周數表示不能自理概率

該模型基于全體人口的平均護理周數(護理率)來計算保費，假設只要被保險人進入不能自理狀態，那么他將一直處于該狀態直至去世。

如lx為年齡在x歲至x+1歲之間的生存人數，則不能自理概率sx等于某年齡段內所有人由于失能而需要的長期護理周數除以該年齡段內的總人數，如果一共不能自理r周，那么每個人的平均護理周數就為，即為不能自理概率。再假設對不能自理的人每周都給予1單位貨幣的給付，若賠付滿足均勻分布，那么x歲至x+1歲之間所有人的給付折現到x歲時的現值是v1/2×1/2pxsx，其中v是折現因子;1/2px表示x歲的人存活半年的概率，通過歲時的人數除以x歲時的人數得到，根據均勻分布的假設，的人數就等于x歲至x+1歲之間的人數。模型假設x歲時產生的不能自理狀態一直延續到去世，所產生的給付在x歲時的現值ASx為:

讓Hx=vx+1/2lx+1/2sx+vx+3/2lx+3/2sx+vx+5/2lx+5/2sx+…，Dx=vxlx，則該模型下長期護理保險的躉繳純費率ax為:

2．基礎模型二:狀態持續時間是隨機變量

假設被保險人一旦陷入不能自理狀態將持續至死亡，陷入不能自理狀態和死亡都屬于隨機事件且相互獨立，因此被保險人的一生將劃分為兩個隨機時間段:能夠自理狀態持續時間和不能自理狀態持續時間，這兩個狀態的持續時間都與被保險人的年齡有關。

以qax表示能夠自理狀態下的死亡率，qix表示不能自理狀態下的死亡率，ix表示x歲時陷入不能自理狀態的概率，aTix表示能夠自理狀態的持續時間，Tiy表示不能自理狀態持續時間。若aTix=t1，則對應的概率等于從x歲到x+t1歲的過程中能夠自理狀態下的存活概率乘以x+t1歲時陷入不能自理狀態的概率，即若Tiy=t2，對應的概率則是從y歲到y+t2歲的過程中不能自理狀態下的存活概率乘以y+t2歲時不能自理狀態下的死亡率，即Pr(Tiy=t2)

假設一位x歲的被保險人經過aTix=t1時間后，在y歲時由自理狀態轉移到不能自理狀態，如果被保險人進入不能自理后每年都可以獲得1個單位貨幣給付，那么未來全部的給付貼現到x歲時的現值為由于兩個狀態相互獨立，因此他們的聯合概率等于二者概率的乘積。因此該模型下長期護理保險的躉繳純費率ax為:

(二)動態模型(考慮被保險人不能自理狀態的轉移)

事實上，在一定時間段內，個體的狀態可能改變，而且處于某種狀態的人數也會改變，因此在費率厘定時不光要考慮個體不能自理狀態的發生，也要考慮不能自理狀態的轉移。動態模型也可分為兩種:第一種是假設能夠自理和不能自理狀態交替反復出現直到個體去世;第二種則是個體在能自理、不能自理，死亡三類狀態間轉移。

1．動態模型一:Beekman模型

假設被保險人在某段時間內處于能夠自理狀態，隨后持續一段時間不能自理，而后康復能夠自理并保持一段時間，之后再次轉移到不能自理狀態，如此交替反復直到去世［3］。如圖1所示，假設某人x歲，在x+t1歲時陷入不能自理狀態，在x+t2歲時康復回到能夠自理狀態，在x+t3歲時再次惡化到不能自理狀態，然后一直交替反復于能夠自理與不能自理狀態之間直到死亡。在實際應用中交替次數一般取3次或4次。

圖1 Beekman模型時間軸

假設處于不能自理狀態的被保險人每年均可得到1單位貨幣的給付，那么在第j次進入不能自理狀態之后，在該階段得到的所有給付在x歲的現值為:

由于j取值不定，所有關于時間的變量都是隨機的，無法求出現值，因此需要引入新的變量簡化模型。再者，陷入不能自理狀態往往先于獲得護理給付的時間，因此引入加權因子hx，表示x歲時陷入不能自理狀態卻未能獲得給付的比例，而t1的含義則進一步細化為第一次獲得護理給付的時間。在改進后的模型中用n(x，t1)表示處于不能自理狀態且獲得護理給付的年數，該變量與x歲時預期壽命ex和自理狀態預期壽命(ae)x之差相關，即n(x，t1)=hx+t1·［ex+t1－(ae)x+t1］，于是給付現值變為vt1(1－vn(x，t1))/(1－v)，設jx(t1)表示t1的概率密度函數。在實際運用中，現值期望E(ASx)往往取五年為一個時間段進行計算，有:

其中k=0，1，…，最大取值與被保險人的投保年齡相關。購買長期護理保險的年齡大多為40或50歲，因此式(5)中c一般不大于10。該期望值近似等于:

即為長期護理保險純費率ax。其中n(x，5k+2.5)=5hx+5k［ex+5k+2.5－(ae)x+5k+2.5］表示給付獲得年數;密度函數表示第一次獲得給付的時間t1在區間［5k，5k+5］范圍內的概率，可由x歲的被保險人存活到x+5k歲的概率和x+5k歲至x+5k+5歲之間陷入不能自理狀態概率相乘得到，但由于陷入不能自理狀態和領取保險給付這兩個事件可能并不同時發生，因此概率乘積還需要進行一定的調整，乘以加權因子5hx+5k，最后對k進行累加。

2．動態模型二:離散時間的馬爾科夫鏈模型

假設被保險人存在能夠自理(a)、不能自理(i)、死亡(d)三種狀態，其中向死亡狀態轉移是單向的，不可逆轉;能夠自理狀態和不能自理狀態之間則可以相互轉移，并且從x歲至(x+1)歲的狀態轉移滿足離散時間的馬爾科夫鏈，如表1所示。

表1 三狀態模型轉移概率矩陣

其中:

能夠自理持續概率sax=健康人群存活率pax－不能自理發生率

康復概率rx=不能自理狀態存活率pix－不能自理狀態持續的概率

以aax，d表示x歲時處于能夠自理狀態的人一生所領取的所有給付，aix，d表示x歲時處于不能自理狀態的人一生所領取的所有給付。x歲時處于能夠自理狀態的人在x+1歲時可能出現三種情況:仍然處于能夠自理狀態、進入不能自理狀態、死亡，因此aax，d應該等于x+1歲時三種情況下領取給付加權平均后的現值，權重為各自發生的概率。其中x+1歲時仍然處于能夠自理狀態所領取的給付是aax，+d1，對應的概率為sax;x+1歲時進入不能自理狀態所領取的給付是aix，+d1，對應的概率為ix;x+1歲時進入死亡狀態之后將無法領取給付，因此給付為0。aix，d也可同理得到。假設被保險人在不能自理狀態中每年可以獲得1單位貨幣的護理給付，那么可得出如下的遞推公式:

運用迭代法則，通過式(9)和式(10)即可以求得個體在x歲時能夠自理和不能自理狀態下的一生給付，再分別乘以兩種狀態的人數比例(不能自理的人數比例記為Kx)并加總則可得長期護理保險的躉繳純費率ax:

(三)定價模型比較

基礎模型一在構建思路和運算方面都較為傳統，易于理解，可將各年齡的護理率進行統計，分析比較護理率隨年齡變化的趨勢，但它以人均不能自理的周數來定義不能自理發生概率并不十分準確，因為對于長期護理保險定價而言，更應關注的是被保險人每年新發生的不能自理的概率，即狀態的轉換率，而不是有多少人處于不能自理狀態或自理狀態持續多長時間;基礎模型二則將生命劃分為兩個隨機的時間段:能夠自理狀態和不能自理狀態的持續時間，因為涉及兩個隨機變量，會讓計算變得復雜，但卻更加接近實際應用的需求。因此就兩種基礎模型而言，基礎模型二可能更適合。

但長期護理保險定價的基礎模型畢竟沒有考慮被保險人狀態的轉移，即認為被保險人一旦進入不能自理狀態，便保持這種狀態直至去世，但在現實生活中并不一定如此，在上一年齡段進入不能自理狀態的人在下一年齡段有可能繼續維持不能自理狀態，也可能會康復或去世;動態模型則考慮到了這一點，把康復的可能性加入模型，認為被保險人能不斷地在能夠自理狀態和不能自理狀態之間轉移，直至最終進入死亡狀態。因此相對于基礎模型，動態模型更符合實際。

在兩種動態模型中，Beekman模型考慮到被保險人進入不能自理狀態和開始領取護理給付并不一定同時發生，因此對狀態轉移概率進行加權處理，而且該模型使用預期壽命和自理狀態預期壽命的差值來度量領取給付的時間，這是它與其他模型迥異的一點，但是Beekman模型中存在積分，且以5年為一個時間段進行計算，求解的過程復雜且粗略，同時在實際應用中，目前我國并沒有加權因子的統計數據，借用別國的數據會影響模型的適用性;而離散時間的馬爾科夫鏈模型則考慮了各年齡段的康復概率，允許個體在不能自理狀態和能夠自理狀態之間相互轉移，更加符合實際，同時可以依據年齡和性別構建轉移概率模型進行定價，使定價結果更公平合理，更具有現實意義。因此就兩種動態模型而言，離散時間的馬爾科夫模型可能更適合。

通過對上述四種定價模型的比較和分析，可以看出離散時間的馬爾科夫鏈模型不失為一種較好的選擇，可以將其作為我國長期護理保險定價模型的基礎。雖然目前尚缺乏該模型中的康復率數據，但可以通過參考我國其他健康險以及醫療系統的相關統計數據近似得到。此外，隨著醫療技術的提高，個體進入不能自理狀態后的康復率會逐步提高，考慮了狀態變化的馬爾科夫鏈模型也會是一個較好的定價模型選擇;且該模型可以通過細分不同護理狀態擴展為多狀態轉移模型，有較強的靈活性和適用性。

四、馬爾科夫鏈定價模型的數值核算

為了進一步驗證離散時間的馬爾科夫鏈模型作為我國長期護理保險定價模型的適用性和可行性，運用所能獲得的我國實際數據，或經過簡單運算后的數值代入模型進行核算。

(一)假設條件

1．投保年齡、保費繳納及給付條件。假設一位60歲的男性以躉繳保費的方式購買一份長期護理保險，一旦被保險人陷入不能自理狀態，保險人每年給予1單位貨幣的補償直至被保險人康復或去世。同時，為簡單起見，暫不考慮附加保費。

2．貼現率。本文不考慮利率風險和投資收益率，以銀行一年定期存款利率3.25%作為不變的年貼現率。

3．不能自理人群的死亡率和長期護理狀態發生率。我們利用式(12)來計算不能自理人群的死亡率。

其中，不能自理人群比例通過2010年人口普查數據獲得，普通人群死亡率則采用《中國人壽保險業生命表(非養老金業務)2000－2003》數據。由于該生命表統計的是所有投保人群的平均死亡率，包括健康人群和次健康人群，而健康人群的死亡率應低于平均死亡率，因此，我們以生命表

其中，ix是X歲被保險人的不能自理發生率;qax是X歲健康人的死亡率;Kx是X歲人群中不能自理的比例;qix是X歲不能自理人群的死亡率。

(二)數值核算

假定被保險人在三個狀態之間轉移(死亡除外)，被保險人獲得給付的總現值ax=Kx×ai，dx+(1－Kx)×aa，dx中ai，dx和aa，dx可以通過迭代法求得，而每個年齡段的不能自理持續概率six，能夠自理持續概率sax可由式(7)和(8)得到③由于篇幅關系，不能持續自理與能夠持續概率具體數據不在文中列出。。其中不能自理人群的康復可能性很小且數據難以得到，因此我們假設康復概率為0。

假設個體預期最終壽命為100，因此aa，d100=0且ai，d100=1，可以迭代求得60歲時能夠自理和不能自理狀態下的一生給付:aa，d60=0.469302和ai，d60=3.273435，再分別乘以60歲時兩種狀態的人數比例累加后就可以得到總現值，為0.487904。

為了觀察康復率對模型結果的影響，我們在上文的假設條件下，測算了康復率在不同水平時模型的核算結果。一般來說，隨著年齡的增長，個體的康復概率逐漸下降，因此我們首先假設60－64歲的康復率為5%，65－69歲為2.5%，70－74歲為1.2%，75－79歲為0.5%，80歲以后康復率為0。在該假設下，計算可得投保人所需繳納的純保費為0.475511;若將60－79歲之間各年齡段的康復率增加50%，則純保費為0.469865，減少了1.19%，敏感系數約為－2.37%。這說明在該模型中，康復率對核算結果有一定程度的影響，但影響不是很大。

從上述數值核算過程可見，利用現行可得的數據，可以運用離散型的馬爾科夫鏈模型計算出一位60歲的男性購買長期護理保險時所需繳納的純保費，結果較為合理;并且，從康復率的敏感性分析可見，康復率對純保費的影響并不大，因此在目前尚缺乏康復率統計數據的情況下，該模型也有一定的適用性。中平均死亡率的80%①［美］肯尼思·布萊克，哈羅德·斯基博著，孫祁祥、鄭偉等譯《人壽與健康保險》，經濟科學出版社，2003年。估計健康人群的死亡率;然后借鑒李奇、張兆鉞在《中國長期護理保險產品定價研究》中采用的公式(式(13))即可計算長期護理狀態發生率②由于篇幅關系，生活不能自理人群死亡率與不能自理發生概率具體數據不在文中列出。。

五、結論與展望

通過對以上各模型的綜述和比較，文章得到以下結論:第一，對于基礎模型和動態模型而言，動態模型考慮了一生狀態會不斷變化這一事實，使定價更具有現實意義。第二，在兩種動態模型中，離散時間的馬爾科夫鏈模型在計算難度和數據可獲得性方面都優于Beekman模型，同時，Beekman模型以五年為一個時間段進行計算，顯得較為粗略。因此，在我國長期護理保險定價中，可以以離散時間的馬爾科夫鏈模型作為定價的基礎模型。

為進一步適應我國國情，可以對該模型做一些修正。首先，我國目前大部分長期護理保單選擇單一的定額給付方式，容易因給付不足影響治療或因給付過多而產生道德風險，根據被保險人在日常生活活動標準中不能完成的項目數及不能自理的項目內容來設計不同層次的護理給付則更為合理。因此，在定價時應引入多種護理狀態，將離散馬爾科夫模型中的不能自理狀態細分為如不能洗澡、不能行走等多種狀態，同時根據不能自理的項目數量和內容分別確定給付金額。其次，現實中可能存在不能自理狀態和獲得給付不同步的情況，可以考慮借鑒Beekman模型，引入加權因子進行調整。此外，對于目前尚缺乏的馬爾科夫鏈中不同護理狀態的轉移概率及康復率數據，可以以醫療保險以及疾病保險的相關統計數據(這兩個險種在國內開展的時間較長，數據相對完善)為基礎并根據長期護理的特點進行加權調整;也可借鑒陳岱婉(2007)提出的根據轉移概率、轉移強度和護理時間之間的關系［13］來確定轉移概率。

文章僅概述并比較了四種長期護理保險的定價模式，同時在數值核算中也做了諸多的簡化處理，如未曾考慮利率波動和附加保費，將馬爾科夫鏈模型中的康復率設為0等;此外，文章僅提出了離散時間的馬爾科夫鏈模型可以作為我國長期護理保險定價的基礎模型及一些模型的改進建議，但并未給出具體的修正模型，這都是在后續研究中可進一步探討的問題。

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