交通流量分析中的線性代數

白梅花

摘 要：本文給出了線性代數在交通流量問題中的應用實例，使得線性代數基本概念及理論更易于理解和掌握。

關鍵詞：線性代數 交通流量 應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數是數學的一個重要分支，其理論性強，計算繁瑣，但是它廣泛應用于社會生活各個領域。如在交通流量統計問題；人員流動，金融公司的現金流動問題；圖像的代數重建問題；信息加密解密問題；平衡價格問題等等都應用到線性代數的知識來解決。為激發學生強大的學習興趣和學習積極性，在線性代數課堂教學中多插入些實際應用例子或應用背景來講解和解釋線性代數的重要理論和重要概念是線性代數目前的重要教學目標。下面以交通流量分析問題為例認識線性代數中的重要內容——線性方程組及其相關概念。

1 交通流量分析問題

現代城市道路網錯綜復雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對每條道路、每個交叉路口的車流量統計調查是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎。根據實際車流量信息可以設計流量控制方案，必要時設置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。

實例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個未知量都需要統計嗎？由線性代數中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設每個交叉路口進入和離開的車輛數目一樣，則根據圖1，在①，②，③， ④四個路口進出車輛數目分別滿足：

上述等式整理可得有四個未知量四個方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個解，實際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統計的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個方程是多余的，如上表達式可看到最后一個方程是多余的，這意味著最后一個方程中的數據30可以不用統計。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個特解為：，對應的齊次線性方程組的解空間的結構：空間秩為1，其中一個基礎解析為：。

（4）解當中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個未知量中，任意一個未知量的值統計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時注意到對應的齊次線性方程組的解空間的基礎解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關的解空間的任何向量都可以為其基礎解析。

2 結語

本文列舉了簡單的交通流量分析實例，而這個實例用線性代數基本知識很容易就能解決。在線性代數的教學過程中經常舉些應用例子的好處是，能引起學生對線性代數的學習興趣，能使學生易于理解和掌握其基本概念及理論，達到與后續課程的銜接。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學.線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數[M].重慶：重慶大學出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數（MATL AB版）[M].北京：電子工業出版社，2007，7.endprint

摘 要：本文給出了線性代數在交通流量問題中的應用實例，使得線性代數基本概念及理論更易于理解和掌握。

關鍵詞：線性代數 交通流量 應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數是數學的一個重要分支，其理論性強，計算繁瑣，但是它廣泛應用于社會生活各個領域。如在交通流量統計問題；人員流動，金融公司的現金流動問題；圖像的代數重建問題；信息加密解密問題；平衡價格問題等等都應用到線性代數的知識來解決。為激發學生強大的學習興趣和學習積極性，在線性代數課堂教學中多插入些實際應用例子或應用背景來講解和解釋線性代數的重要理論和重要概念是線性代數目前的重要教學目標。下面以交通流量分析問題為例認識線性代數中的重要內容——線性方程組及其相關概念。

1 交通流量分析問題

現代城市道路網錯綜復雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對每條道路、每個交叉路口的車流量統計調查是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎。根據實際車流量信息可以設計流量控制方案，必要時設置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。

實例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個未知量都需要統計嗎？由線性代數中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設每個交叉路口進入和離開的車輛數目一樣，則根據圖1，在①，②，③， ④四個路口進出車輛數目分別滿足：

上述等式整理可得有四個未知量四個方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個解，實際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統計的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個方程是多余的，如上表達式可看到最后一個方程是多余的，這意味著最后一個方程中的數據30可以不用統計。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個特解為：，對應的齊次線性方程組的解空間的結構：空間秩為1，其中一個基礎解析為：。

（4）解當中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個未知量中，任意一個未知量的值統計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時注意到對應的齊次線性方程組的解空間的基礎解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關的解空間的任何向量都可以為其基礎解析。

2 結語

本文列舉了簡單的交通流量分析實例，而這個實例用線性代數基本知識很容易就能解決。在線性代數的教學過程中經常舉些應用例子的好處是，能引起學生對線性代數的學習興趣，能使學生易于理解和掌握其基本概念及理論，達到與后續課程的銜接。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學.線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數[M].重慶：重慶大學出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數（MATL AB版）[M].北京：電子工業出版社，2007，7.endprint

摘 要：本文給出了線性代數在交通流量問題中的應用實例，使得線性代數基本概念及理論更易于理解和掌握。

關鍵詞：線性代數 交通流量 應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數是數學的一個重要分支，其理論性強，計算繁瑣，但是它廣泛應用于社會生活各個領域。如在交通流量統計問題；人員流動，金融公司的現金流動問題；圖像的代數重建問題；信息加密解密問題；平衡價格問題等等都應用到線性代數的知識來解決。為激發學生強大的學習興趣和學習積極性，在線性代數課堂教學中多插入些實際應用例子或應用背景來講解和解釋線性代數的重要理論和重要概念是線性代數目前的重要教學目標。下面以交通流量分析問題為例認識線性代數中的重要內容——線性方程組及其相關概念。

1 交通流量分析問題

現代城市道路網錯綜復雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對每條道路、每個交叉路口的車流量統計調查是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎。根據實際車流量信息可以設計流量控制方案，必要時設置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。

實例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個未知量都需要統計嗎？由線性代數中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設每個交叉路口進入和離開的車輛數目一樣，則根據圖1，在①，②，③， ④四個路口進出車輛數目分別滿足：

上述等式整理可得有四個未知量四個方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個解，實際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統計的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個方程是多余的，如上表達式可看到最后一個方程是多余的，這意味著最后一個方程中的數據30可以不用統計。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個特解為：，對應的齊次線性方程組的解空間的結構：空間秩為1，其中一個基礎解析為：。

（4）解當中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個未知量中，任意一個未知量的值統計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時注意到對應的齊次線性方程組的解空間的基礎解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關的解空間的任何向量都可以為其基礎解析。

2 結語

本文列舉了簡單的交通流量分析實例，而這個實例用線性代數基本知識很容易就能解決。在線性代數的教學過程中經常舉些應用例子的好處是，能引起學生對線性代數的學習興趣，能使學生易于理解和掌握其基本概念及理論，達到與后續課程的銜接。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學.線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數[M].重慶：重慶大學出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數（MATL AB版）[M].北京：電子工業出版社，2007，7.endprint