懸臂梁共振頻率與其形狀的關系探討

張巧鳳

（中航工業西安航空計算技術研究所，西安 710119）

1 理論基礎

在一些應用中，要求懸臂梁既有較大的變形又有較高的共振頻率［1-2］。

懸臂梁的變形方程式為

式中，ν 為泊松比，E 為彈性模量。

懸臂梁的共振頻率

式中，ρ 為材料的密度。

從式（1）可以看出，懸臂梁越長越薄，其變形越大，但是從式（2）可以看出它的共振頻率會越小。因此，通過改變懸臂梁的尺寸難以同時提高其變形程度和共振頻率。

從式（1）和式（2）可以得出：

從式（3）可以看出，t·f0的值主要由厚度尺寸確定，h越小，t·f0的值越大。

基于以上理論，可以在改變懸臂梁厚度的同時提高其變形與共振頻率。

2 懸臂梁的設計

可以通過改變懸臂梁結構來提高其共振頻率［3］。設計懸臂梁的結構如圖1所示。

表征懸臂梁形狀的參數有長、寬、高。圖1（a）表示長和寬，圖1（b）表示高。圖1（b）中的2、3、4、5 是在1 的基礎上，通過改變b/a的比例來確定，b/a 的定義如圖2 所示。

圖1 懸臂梁尺寸設計

圖2 b/a 的定義

3 仿真分析

3.1 頻率的確定

對不同截面形狀的懸臂梁進行ANSYS 仿真，b/a 為0時的收斂性曲線如圖3 所示。

從圖3 可以看出，在65 000 和75 000 個元素數量之間，懸臂梁的共振頻率值趨向于收斂。b/a 取不同值時，通過收斂曲線來確定其頻率。

圖3 b/a=0 時的收斂曲線

3.2 共振頻率與截面形狀的關系

在b/a 等于1/4 和0 之間取4 個值對這個區域進行細化，得到表1 所示結果。

表1 不同b/a 值對應的共振頻率

從圖4 可以看出，隨著b/a 值的減小，懸臂梁的共振頻率逐漸增大，b/a 為零時的共振頻率最大，且b/a從1 減小到0，懸臂梁的共振頻率平均增加到了原來的約1.5 倍。

圖4 懸臂梁不同b/a 值對應的不同共振頻率

4 結論

改變懸臂梁的形狀可以提高其共振頻率。通過ANSYS 仿真，可以得出，隨著懸臂梁截面形狀厚度比b/a的減小，其共振頻率逐漸增大。b/a 從1 減小到0，懸臂梁的共振頻率平均增加到了原來的1.5 倍。

［1］Cheng H H，Weng W H，Chang J H.Design and Fabrication of Cantilever Beam for Bio-sensing ［C］//The 8th Cross-strait Advanced Manufacturing Technologies Workshop，Taipei，2010.

［2］Ansari M Z，Cho C，Kim J，et al.Comparison between Deflection and Vibration Characteristics of Rectangular and Trapezoidal profile Microcantilevers［J］.Sensors，2009（9）：2706-2718.

［3］Ansari M Z，Cho C.A Study on Increasing Sensitivity of Rectangular Microcantilevers Used in Biosensors ［J］.Sensors，2008（8）：7530-7544.