美國微積分課程改革對高職工科高等數學課程建設的啟示

牛西武，郭群虎

摘 要 20世紀80年代，美國微積分課程改革源于大學入學新生增加、計算機科學發展，以及學生、數學家、計算機科學家、數學教育家等對數學課程內容變更提出的新要求。哈佛大學以分析、圖像、數值、語言四規則重構完整的微積分課程相關概念，其他一些大學采取開發專門數學計算軟件、創設問題并分組合作尋求解決方法、編寫微積分教材等經驗，對我國高職工科高等數學課程建設具有重構課程體系、確定合理要求、突出工具作用等方面的啟示。

關鍵詞 美國；微積分；高等職業教育；工科；高等數學；課程建設

中圖分類號 G719.712 文獻標識碼 A 文章編號 1008-3219（2014）14-0089-04

從20世紀60年代開始，大學入學新生的增加、數學應用日益普及和廣泛，以及計算機技術的發展引發了美國微積分課程的改革。這些改革所要面對和解決的問題與近20年來困擾我國高等數學課程教育教學的問題有相似之處，了解和借鑒美國微積分課程改革進程和取得的成果，有助于我國高職工科高等數學課程建設與改革。

一、美國微積分課程改革的主要動因

（一）大學入學新生的增加

美國人口統計署資料顯示，從1946年到1965年的20年間，高等院校招生數量從184.1萬人增至384萬人；而從1965年到1985年的21年間則快速增加到1086.3萬人。美國大學入學新生的急速增加， 使得越來越多的微積分課程要采用大班集中上課的方式講授。面對不同基礎的學生，以同樣的方式和速度講授同樣的內容，并以統一的標準考核，導致大量學生考試不及格。對此，美國各高等院校也采用了一些新的舉措以應對這一問題。比如，很多院校根據學生的不同基礎、不同需要和不同發展方向，分別采用“榮譽班”和“常規班”組織課程教學。另外，編寫一批內容更為豐富、趣味性更強的教科書，以便于學生閱讀。同時，大量增加了例題和習題數量，大多數教材的習題都達6000題以上，解答也更加詳細、完備，以幫助學生強化常規訓練。但是，直到20世紀80年代后期，仍然只有不到半數的學生能夠通過課程考試。

（二）計算機科學的發展

計算機技術的飛速發展影響著數學課程教學。一是數學軟件強大的計算和符號運算功能使人們不得不考慮數學運算和運算技巧的訓練是否還那么重要，哪些內容才應該是數學教學的重點。二是數學課程教學原有的知識體系變得不那么嚴格。比如，可以不用講完不定積分的所有運算技巧后才講授定積分。事實上，數學軟件不但能夠完成眾多的定積分運算，同時能完成數值積分的計算。三是數學軟件為數學實驗提供技術支持，使數學正在從傳統的以演繹推理為主的科學轉變為一門演繹與實驗并重的科學。四是數學軟件不單是運用數學解決問題的工具，也提供了問題解決的途徑和方法。科學研究是少數人從事的事業，而技術是可以，也應該能夠被公眾所掌握和運用[1]。數學軟件作為數學技術的重要載體，大學數學教育在何種程度讓學生學習和掌握這一技術就成為必需考慮的問題。

（三）對數學課程內容變更的要求

對數學課程內容變更的要求是多個方面共同促成的。一是學生。漢普希爾學院的學生向數學教師反映，數學課程沒有教給他們在閱讀和理解自己專業論文時所需要的數學知識和數學工具。通過對相關領域的期刊、文獻進行查閱，教師發現微積分的使用遠遠少于統計學的使用。即便是微積分的使用也不會是分部積分和洛必達法則等內容，微分方程、積分方程的數值方法處理則更多地被用到。二是數學家和計算機科學家。他們認為，在計算機時代，離散數學要比微積分更具有應用價值，在大學數學課程中離散數學應該占有與微積分同等的地位。三是數學教育家。美國數學協會基金組織前主席Roger How教授指出，很多學校課程長時期以來一直沒變動，人們自然會問是否有不合適的部分需要變動。從統計數字可明顯看出，統計學、運籌學和離散數學也應該在課程中獲得一席之地[2]。

二、美國微積分課程改革實踐

從1985年起，美國政府、專業團體、大學開始致力于微積分課程的改革。1986年，在新奧爾良州圖蘭（Tulane）大學舉行的微積分改革專題會議把“走向精簡活潑的微積分學”作為會議主題。1987年，在華盛頓召開了以“新世紀的微積分學：水泵而非濾器”為主題的第二次微積分改革會議。會議提出了進行改革的想法和目標：要使微積分課程能夠吸引住學生，并使學生獲得成功的體驗；微積分課程不應成為把學生淘汰出通向科學管道的“過濾器”，而應作為鼓勵學生學習科學，并為之提供必需數學工具的“助推器”；要將更多現實生活的例子、數學模型、近似和數值方法以及與離散思想的聯系納入新的微積分課程教學中，并在這一轉變中更多地使用計算機[3]。1987年，國家科學基金會（NSF）宣布啟動微積分改革計劃，提出“培養學生概念性理解能力、解決問題技巧、分析與舉一反三的技能。同時，要通過實行新方法減少冗長乏味計算”的改革建議[4]。1989年，有25個微積分教改項目獲得了NSF的資助，一些改革項目及所取得的成果如下。

（一）哈佛大學的“Calculus Consortium”項目

哈佛大學的改革項目十分強調學生對概念的理解，提出每個概念都要通過圖像、數值、符號、語言4種方式加以呈現，也被稱為哈佛“4規則”（The Rule of Four）?！?規則”認為，對微積分課程每個重要概念的理解，都應該以分析方式、圖像方式、數值方式和語言方式（包括描述性語言和形式化的數學語言）4種途徑加以建構，以幫助學生能從不同角度構建起對每個重要概念的完整理解。

（二）依利諾斯大學和俄亥俄州立大學的“Calculus & Math- ematica”項目

1988年，美國Wolfram Res- earch公司開發了一套專門進行數學計算的軟件（Mathematica）。該軟件擁有強大的符號計算能力，可以進行解析計算和公式推導、證明以及算法研究。該軟件是一個交互式的計算系統，系統在接受一個表達式之后就會進行處理，計算結果以人們習慣的數學符號形式表達，具有人機界面友好、命令輸入方便、易于尋求幫助的特點?！癈 & M”項目組運用Mathematica軟件，編寫電子教科書和人機對話的學生練習課本， 全部在計算機上進行教學。學生上課時，可以通過課程軟件直接向計算機提出問題，由計算機提供問題的答案或作出所要求的解釋。

（三）普杜大學的“Calculus， Concepts，Computers & Coope- rative Learning”項目

“C4 L”項目以皮亞杰的建構主義學習理論為基礎，強調以合作學習的方式，借助于計算機開展微積分課程的學習。在教學形式上，項目組采用由教師向全班學生提出精心設計的問題，再通過分組合作學習和小組交流的方式尋求問題的解決方法。在數學概念的學習上，項目組提出APOS理論，即通過操作或活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、概型（Scheme）4個階段建構學生對數學概念個性化的心智結構。在學習手段上，項目組鼓勵學生通過執行計算機任務，自我發現重要的數學結論，認為計算機輔助學習具有使學習者“看到數學”（Seeing mathematics）、“做數學”（Doing mathematics）、“創作數學”（Making mathematics）以及“使用自己創造的心智結構來做數學”（Using what you have made to do mathematics）等諸多優勢。

（四）微積分課程教材建設

微積分課程教材建設是這次改革取得的重要成果之一。新編寫的微積分教材力圖貫徹改革初衷，吸納已經取得的改革實踐成果。一是嚴格、抽象的公理體系和邏輯證明內容被大大削弱， 甚至被取消。二是強調完整的概念性理解。在引入數學概念或定理時，通常是先通過數值計算發現近似結果，再給出幾何直觀展示，在學生對抽象的知識建立感性認識后，再運用描述性語言和形式化的數學語言加以敘述。三是強調概念、知識的實際應用。例如，突出導數作為變化率的實際意義，并配有大量實例加以說明等。四是配置大量緊密結合生產和生活實際的例題和習題。教材中的習題除了過去的幾何、物理外，還包括建筑、生物、經濟、社會發展等眾多方面。另外，教材中很多應用題是基于實際數據的，比如，借助某個城市晝夜溫度變化數據討論函數平均值等。五是充分利用現代技術手段。借助數學軟件，教材中給出了大量圖形、數表，力求將微積分知識用圖形、數值的方式加以呈現；完成必要的計算、驗證、分析或判斷，幫助學生研討課程內容；把數學實驗與建模內容引入教材，培養學生問題解決的能力。

三、對我國高職工科高等數學課程建設與改革的啟示

美國這場改革所提出的改革原則、理念以及實踐舉措對尚處于起步階段的我國高職工科高等數學課程建設與改革有許多值得借鑒的經驗。

（一）重構高職工科高等數學課程體系

近年來，各高職院校工科高等數學課程大都建立了由基礎、專業、選修三個模塊構成的課程體系。但是基礎模塊仍然以微積分為主要內容，存在重經典輕現代、重連續輕離散、重理論輕應用等問題。另外，將數學建模和數學軟件作為選修模塊的主要內容，有可能使那些沒有修習的學生難以了解，進而掌握這一重要的數學技術和問題解決方法。因此，應以實現課程培養技術型人才適應現代社會必備的數學科學素養，奠定專業課程學習夠用的數學基礎，搭建終身學習必需的數學平臺三個基本功能為宗旨，系統設計高職工科高等數學課程體系。按照專業或專業大類，統籌考慮、合理規劃基礎、專業兩個模塊中連續量、離散量、隨機量等課程內容的選取與組織。同時將數學建模和數學軟件融入基礎、專業兩個模塊的課程教學之中，構建適用于不同專業（專業大類）需要的高等數學課程內容體系。選修模塊根據學生的不同需求、不同發展方向及學習興趣，以選修課的形式面向全校學生開設。

（二）合理確定高職工科高等數學課程要求

高等教育的大眾化使得學生學習基礎的差異性與以往相比更為顯著，對高等數學的需求也呈現出多樣化趨勢，必需合理確定高職工科高等數學課程要求。一是應對作為基本要求部分的課程內容在深度和廣度兩方面給予精簡，以便學生可以有更多時間與精力開展個性化的課程學習。二是在精簡內容的同時，要加強對數學概念、定理、公式中所包含的局部線性化、多項式逼近、元素法等數學思想方法的教學要求，讓學生了解數學知識的背景和意義，以及應用性和方法性價值。同時要學習、借鑒哈佛“4規則”和普杜大學“APOS理論”，強化學生對重要數學概念完整性的理解。三是將對數學軟件的學習、掌握和使用納入高職工科高等數學課程的教學內容。一方面，由于數學軟件所具有的算法開發、數據可視化、數據分析及數值計算等方面的強大功能， 使得數學軟件成為數學建模最主要的方法與工具，對于培養學生的創新能力和數學應用能力具有十分重要的作用；另一方面，數學軟件可以將抽象的數學內容、嚴謹的證明過程以幾何直觀、數值分析等方式展現出來，不僅改變著數學教育的方式，更改變著數學教育觀和數學觀。四是要建立“人人需要數學，人人都應學有用的數學，不同的人應當學不同的數學”的數學教育理念，并以此指導高職工科高等數學課程從以往統一、嚴格的教學質量評價標準轉變為滿足不同層次、不同需求、不同發展方向學生需要的多元質量評價標準。

（三）突出數學課程的工具作用，培養學生的數學應用能力

美國微積分課程的突出特征是強調數學的工具作用，遵循“用數學于現實世界”的原則。事實上，對于絕大多數修習高等數學課程的學生而言，將來不是要成為數學家，而是要運用數學解決現實問題。突出課程的工具作用，培養學生的數學應用能力應該從以下幾方面做起：一是與專業課教師、行業工程技術人員一起對各專業高等數學的課程目標、內容和基本要求進行界定和描述，共同制定各專業的高等數學課程標準。二是對數學在專業課程中的應用案例進行收集，將其轉化為可供數學課程教學運用的專業案例，為數學教師采用“實際問題—數學概念—實際問題”的方式開展教學建立充足的案例庫。三是要重視數學教師的專業發展。一方面，教師要熟練掌握數學軟件，積極參與、指導學生數學建模競賽，提升自身的數學應用能力；另一方面，要研究授課班級所在專業的專業知識，提高將專業案例轉化為數學課程案例的能力。四是借鑒美國教材題例的編選方式，將社會中的實際問題及工程技術中的真實問題編入教材，讓學生充分感知數學與其他學科之間的聯系，培養學生將數學知識應用于日常生活、工程技術、社會實踐的能力，加強對學生作為“職業人”的初期塑造。

參考文獻：

[1]白峰杉.大學數學課程在中國的演化——中外數學教育的比較與思考[J].數學通報，2006（11）：19-21.

[2]盧曉明.美國數學教育改革關注和爭論的十個問題[J].數學教學，1999（1）：35-36.

[3]李秉棄，范良火.美國大學微積分教育改革進展述評[J].數學教育學報，1993（1）：11-16.

[4]Louis M.Friedlwer，柴俊，等，譯.美國的微積分教學：1940—2004[J].高等數學研究，2005（3）：6-11，15.