求一個典型的交錯級數(shù)的和

朱雙榮

摘 要： 本文先構(gòu)造冪級數(shù)求其和函數(shù)或?qū)⒔o定函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，再在收斂域內(nèi)給自變量取適當?shù)闹狄缘玫綌?shù)項級數(shù)的和.

關(guān)鍵詞： 交錯級數(shù) 冪級數(shù) 傅立葉級數(shù) 和函數(shù)

數(shù)項級數(shù)的求和是學生學習的一個難點，碰到這類題目時，除了有少數(shù)數(shù)項級數(shù)的和可以根據(jù)定義求部分和數(shù)列的極限得到以外，大部分數(shù)項級數(shù)的求和要通過其他途徑得到，比如通過一個冪級數(shù)的和函數(shù)或者某一個函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式在它們的收斂域內(nèi)取某個特定的值時對應得到.下面求一個典型的交錯級數(shù)■（-1）■■的和.

根據(jù)萊布尼茲判別法易知，交錯級數(shù)

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...

是收斂的，那么其和是多少呢？它的和通過定義求部分和數(shù)列的極限是無法得到的，以下從不同的角度考慮其和的求法.

解法1：構(gòu)造一個冪級數(shù)

令S（x）=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...

可以求得該冪級數(shù)的收斂域為（-1，+1]，下面來求該冪級數(shù)的和函數(shù)S（x）.

逐項求導得 S′（x）=1-x■+x■-x■+...+（-1）■x■+...=■，

所以S（x）=？蘩■■■dx=arctanx，

即arctanx=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...，

將x=1代入上式得arctan1=■=1-■+■-■+...+（-1）■■+....

即交錯級數(shù)■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...的和為■.

解法2：寫出給定函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式

（1）設f（x）是以2π為周期的函數(shù)，它在[0，2π]上的表示式為f（x）=■，將f（x）展開為傅立葉級數(shù).

由于傅立葉系數(shù)為

a■=■？蘩■■■dx=■[πx-■]■■=0；

a■=■？蘩■■■cosnxdx=■[■sinnx-■cosnx]■■=0（n=1，2，3，...）；

b■=■？蘩■■■sinnxdx=■[-■cosnx-■sinnx]■■=■（n=1，2，3，...）.

因此，

f（x）=■=sinx+■+■+...+■+...

其中且x∈（-∞，+∞），且x≠2kπ，k=0，±1，±2，±3...

在展開式中令x=■，即得

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

（2）已知鋸齒波函數(shù)f（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，且 f（x）=x，（-π≤x<π），將其展開成傅立葉級數(shù).

易知f（x）為奇函數(shù)，所以其傅立葉級數(shù)為正弦級數(shù)，且

a■=0（n=0，1，2，...）；

b■=■？蘩■■f（x）sinnxdx=■？蘩■■xsinnxdx

=■[-■xcosnx+■sinnx]■■

=-■cosnπ=（-1）■■（n=1，2，3，...）

因此f（x）的傅立葉級數(shù)展開式為

f（x）=x=2[sinx-■sin2x+■sin3x-■sin4x+...+（-1）■■sinnx+...]，

其中x∈（-∞，+∞），且x≠（2k+1）π，k=0，±1，±2，...

在展開式中取x=■，得■=2[1-■+■-■+...+（-1）■■+...]，

從而■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

解法3：考慮復數(shù)域內(nèi)的冪級數(shù)及復數(shù)相等的條件

先看兩個結(jié)論：（1）lnz=ln（|z|e■=ln|z|）+iargz[1]；

（2）■■=ln■[2]，其中z=e■.

注意到■■=ln■，其中z=e■，

而■■=■■+i■■；

ln■=-ln（1-cosx-isinx）

=-■ln（2-2cosx）+iarctan■

=-ln|2sin■|+iarctan■.

根據(jù)復數(shù)相等的條件有

■■=arctan■

=arctan（cot■）

=arctan（tan■）

=■，（0

在上式中令x=■，有■■sin■=■，即

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

參考文獻：

[1]費定暉，周學圣.數(shù)學分析習題解[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2001.