高中生物新課程教學(xué)中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)探微

張彥萍

《普通高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：了解、領(lǐng)悟建立數(shù)學(xué)模型的科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和建模能力，掌握生物學(xué)的基本事實(shí)、概念、原理、規(guī)律和模型等方面的基礎(chǔ)知識(shí)。即教師在教學(xué)中要建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模思想，注重理科思維的培養(yǎng)，樹立理科意識(shí)，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)探究能力。本文在此探討高中生物新課程教學(xué)中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方法、應(yīng)用及其對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。

一、對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)模型，就是為了某種目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀實(shí)物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。在生物新課程教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生用一種數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決生物學(xué)實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段，是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)的橋梁，具有解釋、判斷、預(yù)測(cè)等重要功能。同時(shí)其作為一種現(xiàn)代科學(xué)認(rèn)識(shí)手段和思維方法，不僅是學(xué)生獲取知識(shí)的條件，而且是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的一般步驟

以新課標(biāo)生物必修3第4章第2節(jié)《種群數(shù)量的變化》中的“微生物種群數(shù)量的變化”為例，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

1.觀察研究對(duì)象，提出問(wèn)題。研究對(duì)象是“細(xì)菌”，通過(guò)大量觀察和實(shí)驗(yàn)得出其特征是“進(jìn)行二分裂，每20min分裂一次”，這是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。生命現(xiàn)象和規(guī)律往往不是以數(shù)學(xué)化的形式出現(xiàn)的，這就需要我們善于從現(xiàn)象中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將生物學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步解釋生物現(xiàn)象，揭示生命活動(dòng)規(guī)律。

2.合理提出模型假設(shè)。根據(jù)研究對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。此建模中的假設(shè)是“在資源和空間無(wú)限多的環(huán)境中，細(xì)菌種群的增長(zhǎng)不會(huì)受到種群密度增加的影響”。

3.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式進(jìn)行表達(dá)（即數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式）。根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)注意選擇的數(shù)學(xué)形式愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。這樣就可歸納得出細(xì)菌增殖的特點(diǎn)是滿足指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)，因此用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為Nn=2n，其中N代表細(xì)菌數(shù)量，n代表第幾代。

4.進(jìn)一步觀察，修正模型。在生物學(xué)中大量現(xiàn)象與規(guī)律是極其復(fù)雜的，存在許多不確定因素和例外的現(xiàn)象，因此教師應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀察，對(duì)原先的模型進(jìn)行檢驗(yàn)、修正，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到模型的建構(gòu)是不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考問(wèn)題：（1）若生物前后代不一定以兩倍的倍數(shù)進(jìn)行增長(zhǎng)，那么它們的種群數(shù)量的變化是否也滿足上述的“J型增長(zhǎng)曲線”呢？如果滿足，它的函數(shù)模型又是怎樣呢？通過(guò)進(jìn)一步的假設(shè)分析，得到Nt=Noλt，其中No為該種群的起始數(shù)量，t為時(shí)間，Nt為t年后該種群的數(shù)量，λ為該種群每年增長(zhǎng)倍數(shù)；（2）生物的實(shí)際生活環(huán)境都是理想的嗎？讓學(xué)生對(duì)實(shí)際環(huán)境中生物種群的數(shù)量變化進(jìn)行假設(shè)分析，得出在自然界中，種群受到物理因素和生物因素的制約不能無(wú)限增長(zhǎng)，而且隨著種群數(shù)量的不斷增長(zhǎng)，制約因素的作用逐漸增大，使出生率等于死亡率，種群在增長(zhǎng)到一定限度后達(dá)到相對(duì)的穩(wěn)定，因此構(gòu)建出另一增長(zhǎng)曲線——“S型增長(zhǎng)曲線”。

三、數(shù)學(xué)模型在高中生物新課程教學(xué)中的應(yīng)用

1.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，總結(jié)概括生物學(xué)規(guī)律。孟德爾一對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀的數(shù)據(jù)雖然有差異，但顯隱性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；兩對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀存在（3∶1）2的展開式，即（9∶3∶3∶1）的比例關(guān)系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展開式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例關(guān)系。我們不難推出，三對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子三代性狀存在（3∶1）3展開式的比例關(guān)系，基因型存在（1∶2∶1）3展開式的比例關(guān)系。不管是幾對(duì)相對(duì)性狀，都可以用一對(duì)相對(duì)性狀（3∶1）及（1∶2∶1）的比例關(guān)系，推算出后代表現(xiàn)型、基因型的比例關(guān)系。

2.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，辨析相近、相似概念。高中生物學(xué)中概念多，學(xué)生易混淆。對(duì)此，教師可借用數(shù)學(xué)上的等式或集合等建立數(shù)學(xué)模型來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生理清概念。如減數(shù)分裂中四分體、染色單體、同源染色體等之間的關(guān)系就可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示：1個(gè)四分體=4條染色單體=1對(duì)同源染色體=2條聯(lián)會(huì)的染色體=4個(gè)DNA分子=8條脫氧核苷酸鏈，這樣學(xué)生很容易就掌握這幾個(gè)極易混淆的概念。又如，親代細(xì)胞DNA分子用N15標(biāo)記，放在含N14的培養(yǎng)液中復(fù)制，如果復(fù)制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA單鏈的比例依次為多少？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生常?；煜磺?。通過(guò)圖解分析，師生一起建構(gòu)數(shù)學(xué)模型：DNA分子的數(shù)量為2n，含N15的DNA分子占子代總DNA分子的比值為1/2n-1，子代的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2n+1，含N15的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2，占總數(shù)的1/2n，N14的脫氧核苷酸 鏈占總數(shù)的2n+1-2/2n+1。難題立即迎刃而解。

3.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，化解教學(xué)難點(diǎn)。通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使一些重點(diǎn)、疑點(diǎn)、難點(diǎn)化繁為簡(jiǎn)，不僅能使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更透徹，也能使其認(rèn)知水平逐步從具體向抽象過(guò)渡，從感性思維上升到理性思維。我們常用Flash動(dòng)態(tài)地展出有絲分裂、減數(shù)分裂的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)細(xì)胞分裂過(guò)程中的變化特點(diǎn)，但學(xué)生總覺(jué)得很難領(lǐng)悟染色體、DNA的變化規(guī)律。對(duì)此，師生可共同分析圖解，建構(gòu)表格式的數(shù)學(xué)模型，再建立坐標(biāo)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)曲線，并將染色體與DNA的變化曲線整合在一張坐標(biāo)圖上進(jìn)行直觀比較，幫助學(xué)生掌握染色體和DNA變化規(guī)律的特點(diǎn)與區(qū)別。學(xué)生依據(jù)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，輕松解決問(wèn)題，從而化解難點(diǎn)。

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)

1.培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。創(chuàng)新能力是根據(jù)當(dāng)前的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，加工、處理并有機(jī)遷移或整合，創(chuàng)造出新知識(shí)的能力。生物學(xué)上的很多問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)其進(jìn)行理解時(shí)感到困惑，但這些問(wèn)題卻可以讓學(xué)生根據(jù)自己所獲取的知識(shí)，通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型將生物學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變成與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)思考，動(dòng)手參與，不斷分析、反思和修正，加深對(duì)這些知識(shí)的理解，極大地豐富了學(xué)生的形象思維和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。

2.培養(yǎng)批判性思維能力。在生物科學(xué)發(fā)展中，批判性思維活動(dòng)尤為重要。運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及相應(yīng)的策略，在學(xué)習(xí)前人遺留的寶貴知識(shí)時(shí)，要勇于質(zhì)疑，就其性質(zhì)、價(jià)值、精確性和真實(shí)性等方面進(jìn)行批判性的審視，作出自己的判斷、評(píng)價(jià)，并通過(guò)研究使其科學(xué)化、豐富化，進(jìn)而推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展。在建構(gòu)模型教學(xué)中，教師可利用課本中的素材培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力。

3.培養(yǎng)邏輯思維能力。生物學(xué)中有許多現(xiàn)象和規(guī)律可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示。數(shù)學(xué)模型中的曲線模型應(yīng)用起來(lái)簡(jiǎn)單直觀，利用數(shù)學(xué)模型將復(fù)雜多變的生物知識(shí)簡(jiǎn)單化傳授給學(xué)生，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力。

4.培養(yǎng)探究能力。在建構(gòu)模型時(shí)，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考確定研究對(duì)象，分析已知和未知，選擇合適的研究方法，反思、修正、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目茖W(xué)性和準(zhǔn)確性，在探究中完成知識(shí)體系的構(gòu)建，領(lǐng)悟到科學(xué)探究的方法，讓學(xué)生在探索科學(xué)現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力。

5.培養(yǎng)搜集信息和處理信息的能力。在建構(gòu)模型過(guò)程中，學(xué)生自己有目的地去尋找、查閱、搜集大量的信息，這些信息中有重復(fù)的、與活動(dòng)無(wú)關(guān)的、不完整的甚至是錯(cuò)誤的信息。學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行分析、判斷、整理、歸納的過(guò)程本身就是培養(yǎng)搜集和處理信息能力的過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)空間更加廣闊。

此外，在生物教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)科學(xué)與數(shù)學(xué)的整合，滲透模型思維，培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察力及簡(jiǎn)約、嚴(yán)密的思想品質(zhì)，有效提高了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。

（責(zé)任編輯 黃春香）endprint

《普通高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：了解、領(lǐng)悟建立數(shù)學(xué)模型的科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和建模能力，掌握生物學(xué)的基本事實(shí)、概念、原理、規(guī)律和模型等方面的基礎(chǔ)知識(shí)。即教師在教學(xué)中要建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模思想，注重理科思維的培養(yǎng)，樹立理科意識(shí)，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)探究能力。本文在此探討高中生物新課程教學(xué)中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方法、應(yīng)用及其對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。

一、對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)模型，就是為了某種目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀實(shí)物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。在生物新課程教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生用一種數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決生物學(xué)實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段，是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)的橋梁，具有解釋、判斷、預(yù)測(cè)等重要功能。同時(shí)其作為一種現(xiàn)代科學(xué)認(rèn)識(shí)手段和思維方法，不僅是學(xué)生獲取知識(shí)的條件，而且是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的一般步驟

以新課標(biāo)生物必修3第4章第2節(jié)《種群數(shù)量的變化》中的“微生物種群數(shù)量的變化”為例，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

1.觀察研究對(duì)象，提出問(wèn)題。研究對(duì)象是“細(xì)菌”，通過(guò)大量觀察和實(shí)驗(yàn)得出其特征是“進(jìn)行二分裂，每20min分裂一次”，這是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。生命現(xiàn)象和規(guī)律往往不是以數(shù)學(xué)化的形式出現(xiàn)的，這就需要我們善于從現(xiàn)象中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將生物學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步解釋生物現(xiàn)象，揭示生命活動(dòng)規(guī)律。

2.合理提出模型假設(shè)。根據(jù)研究對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。此建模中的假設(shè)是“在資源和空間無(wú)限多的環(huán)境中，細(xì)菌種群的增長(zhǎng)不會(huì)受到種群密度增加的影響”。

3.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式進(jìn)行表達(dá)（即數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式）。根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)注意選擇的數(shù)學(xué)形式愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。這樣就可歸納得出細(xì)菌增殖的特點(diǎn)是滿足指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)，因此用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為Nn=2n，其中N代表細(xì)菌數(shù)量，n代表第幾代。

4.進(jìn)一步觀察，修正模型。在生物學(xué)中大量現(xiàn)象與規(guī)律是極其復(fù)雜的，存在許多不確定因素和例外的現(xiàn)象，因此教師應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀察，對(duì)原先的模型進(jìn)行檢驗(yàn)、修正，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到模型的建構(gòu)是不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考問(wèn)題：（1）若生物前后代不一定以兩倍的倍數(shù)進(jìn)行增長(zhǎng)，那么它們的種群數(shù)量的變化是否也滿足上述的“J型增長(zhǎng)曲線”呢？如果滿足，它的函數(shù)模型又是怎樣呢？通過(guò)進(jìn)一步的假設(shè)分析，得到Nt=Noλt，其中No為該種群的起始數(shù)量，t為時(shí)間，Nt為t年后該種群的數(shù)量，λ為該種群每年增長(zhǎng)倍數(shù)；（2）生物的實(shí)際生活環(huán)境都是理想的嗎？讓學(xué)生對(duì)實(shí)際環(huán)境中生物種群的數(shù)量變化進(jìn)行假設(shè)分析，得出在自然界中，種群受到物理因素和生物因素的制約不能無(wú)限增長(zhǎng)，而且隨著種群數(shù)量的不斷增長(zhǎng)，制約因素的作用逐漸增大，使出生率等于死亡率，種群在增長(zhǎng)到一定限度后達(dá)到相對(duì)的穩(wěn)定，因此構(gòu)建出另一增長(zhǎng)曲線——“S型增長(zhǎng)曲線”。

三、數(shù)學(xué)模型在高中生物新課程教學(xué)中的應(yīng)用

1.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，總結(jié)概括生物學(xué)規(guī)律。孟德爾一對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀的數(shù)據(jù)雖然有差異，但顯隱性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；兩對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀存在（3∶1）2的展開式，即（9∶3∶3∶1）的比例關(guān)系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展開式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例關(guān)系。我們不難推出，三對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子三代性狀存在（3∶1）3展開式的比例關(guān)系，基因型存在（1∶2∶1）3展開式的比例關(guān)系。不管是幾對(duì)相對(duì)性狀，都可以用一對(duì)相對(duì)性狀（3∶1）及（1∶2∶1）的比例關(guān)系，推算出后代表現(xiàn)型、基因型的比例關(guān)系。

2.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，辨析相近、相似概念。高中生物學(xué)中概念多，學(xué)生易混淆。對(duì)此，教師可借用數(shù)學(xué)上的等式或集合等建立數(shù)學(xué)模型來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生理清概念。如減數(shù)分裂中四分體、染色單體、同源染色體等之間的關(guān)系就可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示：1個(gè)四分體=4條染色單體=1對(duì)同源染色體=2條聯(lián)會(huì)的染色體=4個(gè)DNA分子=8條脫氧核苷酸鏈，這樣學(xué)生很容易就掌握這幾個(gè)極易混淆的概念。又如，親代細(xì)胞DNA分子用N15標(biāo)記，放在含N14的培養(yǎng)液中復(fù)制，如果復(fù)制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA單鏈的比例依次為多少？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生常常混淆不清。通過(guò)圖解分析，師生一起建構(gòu)數(shù)學(xué)模型：DNA分子的數(shù)量為2n，含N15的DNA分子占子代總DNA分子的比值為1/2n-1，子代的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2n+1，含N15的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2，占總數(shù)的1/2n，N14的脫氧核苷酸 鏈占總數(shù)的2n+1-2/2n+1。難題立即迎刃而解。

3.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，化解教學(xué)難點(diǎn)。通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使一些重點(diǎn)、疑點(diǎn)、難點(diǎn)化繁為簡(jiǎn)，不僅能使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更透徹，也能使其認(rèn)知水平逐步從具體向抽象過(guò)渡，從感性思維上升到理性思維。我們常用Flash動(dòng)態(tài)地展出有絲分裂、減數(shù)分裂的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)細(xì)胞分裂過(guò)程中的變化特點(diǎn)，但學(xué)生總覺(jué)得很難領(lǐng)悟染色體、DNA的變化規(guī)律。對(duì)此，師生可共同分析圖解，建構(gòu)表格式的數(shù)學(xué)模型，再建立坐標(biāo)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)曲線，并將染色體與DNA的變化曲線整合在一張坐標(biāo)圖上進(jìn)行直觀比較，幫助學(xué)生掌握染色體和DNA變化規(guī)律的特點(diǎn)與區(qū)別。學(xué)生依據(jù)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，輕松解決問(wèn)題，從而化解難點(diǎn)。

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)

1.培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。創(chuàng)新能力是根據(jù)當(dāng)前的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，加工、處理并有機(jī)遷移或整合，創(chuàng)造出新知識(shí)的能力。生物學(xué)上的很多問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)其進(jìn)行理解時(shí)感到困惑，但這些問(wèn)題卻可以讓學(xué)生根據(jù)自己所獲取的知識(shí)，通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型將生物學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變成與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)思考，動(dòng)手參與，不斷分析、反思和修正，加深對(duì)這些知識(shí)的理解，極大地豐富了學(xué)生的形象思維和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。

2.培養(yǎng)批判性思維能力。在生物科學(xué)發(fā)展中，批判性思維活動(dòng)尤為重要。運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及相應(yīng)的策略，在學(xué)習(xí)前人遺留的寶貴知識(shí)時(shí)，要勇于質(zhì)疑，就其性質(zhì)、價(jià)值、精確性和真實(shí)性等方面進(jìn)行批判性的審視，作出自己的判斷、評(píng)價(jià)，并通過(guò)研究使其科學(xué)化、豐富化，進(jìn)而推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展。在建構(gòu)模型教學(xué)中，教師可利用課本中的素材培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力。

3.培養(yǎng)邏輯思維能力。生物學(xué)中有許多現(xiàn)象和規(guī)律可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示。數(shù)學(xué)模型中的曲線模型應(yīng)用起來(lái)簡(jiǎn)單直觀，利用數(shù)學(xué)模型將復(fù)雜多變的生物知識(shí)簡(jiǎn)單化傳授給學(xué)生，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力。

4.培養(yǎng)探究能力。在建構(gòu)模型時(shí)，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考確定研究對(duì)象，分析已知和未知，選擇合適的研究方法，反思、修正、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目茖W(xué)性和準(zhǔn)確性，在探究中完成知識(shí)體系的構(gòu)建，領(lǐng)悟到科學(xué)探究的方法，讓學(xué)生在探索科學(xué)現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力。

5.培養(yǎng)搜集信息和處理信息的能力。在建構(gòu)模型過(guò)程中，學(xué)生自己有目的地去尋找、查閱、搜集大量的信息，這些信息中有重復(fù)的、與活動(dòng)無(wú)關(guān)的、不完整的甚至是錯(cuò)誤的信息。學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行分析、判斷、整理、歸納的過(guò)程本身就是培養(yǎng)搜集和處理信息能力的過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)空間更加廣闊。

此外，在生物教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)科學(xué)與數(shù)學(xué)的整合，滲透模型思維，培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察力及簡(jiǎn)約、嚴(yán)密的思想品質(zhì)，有效提高了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。

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《普通高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：了解、領(lǐng)悟建立數(shù)學(xué)模型的科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和建模能力，掌握生物學(xué)的基本事實(shí)、概念、原理、規(guī)律和模型等方面的基礎(chǔ)知識(shí)。即教師在教學(xué)中要建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模思想，注重理科思維的培養(yǎng)，樹立理科意識(shí)，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)探究能力。本文在此探討高中生物新課程教學(xué)中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方法、應(yīng)用及其對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。

一、對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)模型，就是為了某種目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀實(shí)物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。在生物新課程教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生用一種數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決生物學(xué)實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段，是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)的橋梁，具有解釋、判斷、預(yù)測(cè)等重要功能。同時(shí)其作為一種現(xiàn)代科學(xué)認(rèn)識(shí)手段和思維方法，不僅是學(xué)生獲取知識(shí)的條件，而且是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的一般步驟

以新課標(biāo)生物必修3第4章第2節(jié)《種群數(shù)量的變化》中的“微生物種群數(shù)量的變化”為例，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

1.觀察研究對(duì)象，提出問(wèn)題。研究對(duì)象是“細(xì)菌”，通過(guò)大量觀察和實(shí)驗(yàn)得出其特征是“進(jìn)行二分裂，每20min分裂一次”，這是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。生命現(xiàn)象和規(guī)律往往不是以數(shù)學(xué)化的形式出現(xiàn)的，這就需要我們善于從現(xiàn)象中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將生物學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步解釋生物現(xiàn)象，揭示生命活動(dòng)規(guī)律。

2.合理提出模型假設(shè)。根據(jù)研究對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。此建模中的假設(shè)是“在資源和空間無(wú)限多的環(huán)境中，細(xì)菌種群的增長(zhǎng)不會(huì)受到種群密度增加的影響”。

3.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式進(jìn)行表達(dá)（即數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式）。根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)注意選擇的數(shù)學(xué)形式愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。這樣就可歸納得出細(xì)菌增殖的特點(diǎn)是滿足指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)，因此用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為Nn=2n，其中N代表細(xì)菌數(shù)量，n代表第幾代。

4.進(jìn)一步觀察，修正模型。在生物學(xué)中大量現(xiàn)象與規(guī)律是極其復(fù)雜的，存在許多不確定因素和例外的現(xiàn)象，因此教師應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀察，對(duì)原先的模型進(jìn)行檢驗(yàn)、修正，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到模型的建構(gòu)是不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考問(wèn)題：（1）若生物前后代不一定以兩倍的倍數(shù)進(jìn)行增長(zhǎng)，那么它們的種群數(shù)量的變化是否也滿足上述的“J型增長(zhǎng)曲線”呢？如果滿足，它的函數(shù)模型又是怎樣呢？通過(guò)進(jìn)一步的假設(shè)分析，得到Nt=Noλt，其中No為該種群的起始數(shù)量，t為時(shí)間，Nt為t年后該種群的數(shù)量，λ為該種群每年增長(zhǎng)倍數(shù)；（2）生物的實(shí)際生活環(huán)境都是理想的嗎？讓學(xué)生對(duì)實(shí)際環(huán)境中生物種群的數(shù)量變化進(jìn)行假設(shè)分析，得出在自然界中，種群受到物理因素和生物因素的制約不能無(wú)限增長(zhǎng)，而且隨著種群數(shù)量的不斷增長(zhǎng)，制約因素的作用逐漸增大，使出生率等于死亡率，種群在增長(zhǎng)到一定限度后達(dá)到相對(duì)的穩(wěn)定，因此構(gòu)建出另一增長(zhǎng)曲線——“S型增長(zhǎng)曲線”。

三、數(shù)學(xué)模型在高中生物新課程教學(xué)中的應(yīng)用

1.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，總結(jié)概括生物學(xué)規(guī)律。孟德爾一對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀的數(shù)據(jù)雖然有差異，但顯隱性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；兩對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子二代不同性狀存在（3∶1）2的展開式，即（9∶3∶3∶1）的比例關(guān)系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展開式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例關(guān)系。我們不難推出，三對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，子三代性狀存在（3∶1）3展開式的比例關(guān)系，基因型存在（1∶2∶1）3展開式的比例關(guān)系。不管是幾對(duì)相對(duì)性狀，都可以用一對(duì)相對(duì)性狀（3∶1）及（1∶2∶1）的比例關(guān)系，推算出后代表現(xiàn)型、基因型的比例關(guān)系。

2.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，辨析相近、相似概念。高中生物學(xué)中概念多，學(xué)生易混淆。對(duì)此，教師可借用數(shù)學(xué)上的等式或集合等建立數(shù)學(xué)模型來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，幫助學(xué)生理清概念。如減數(shù)分裂中四分體、染色單體、同源染色體等之間的關(guān)系就可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示：1個(gè)四分體=4條染色單體=1對(duì)同源染色體=2條聯(lián)會(huì)的染色體=4個(gè)DNA分子=8條脫氧核苷酸鏈，這樣學(xué)生很容易就掌握這幾個(gè)極易混淆的概念。又如，親代細(xì)胞DNA分子用N15標(biāo)記，放在含N14的培養(yǎng)液中復(fù)制，如果復(fù)制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA單鏈的比例依次為多少？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生常?；煜磺濉Ｍㄟ^(guò)圖解分析，師生一起建構(gòu)數(shù)學(xué)模型：DNA分子的數(shù)量為2n，含N15的DNA分子占子代總DNA分子的比值為1/2n-1，子代的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2n+1，含N15的脫氧核苷酸鏈條數(shù)為2，占總數(shù)的1/2n，N14的脫氧核苷酸 鏈占總數(shù)的2n+1-2/2n+1。難題立即迎刃而解。

3.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，化解教學(xué)難點(diǎn)。通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使一些重點(diǎn)、疑點(diǎn)、難點(diǎn)化繁為簡(jiǎn)，不僅能使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更透徹，也能使其認(rèn)知水平逐步從具體向抽象過(guò)渡，從感性思維上升到理性思維。我們常用Flash動(dòng)態(tài)地展出有絲分裂、減數(shù)分裂的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)細(xì)胞分裂過(guò)程中的變化特點(diǎn)，但學(xué)生總覺(jué)得很難領(lǐng)悟染色體、DNA的變化規(guī)律。對(duì)此，師生可共同分析圖解，建構(gòu)表格式的數(shù)學(xué)模型，再建立坐標(biāo)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)曲線，并將染色體與DNA的變化曲線整合在一張坐標(biāo)圖上進(jìn)行直觀比較，幫助學(xué)生掌握染色體和DNA變化規(guī)律的特點(diǎn)與區(qū)別。學(xué)生依據(jù)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，輕松解決問(wèn)題，從而化解難點(diǎn)。

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)

1.培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。創(chuàng)新能力是根據(jù)當(dāng)前的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，加工、處理并有機(jī)遷移或整合，創(chuàng)造出新知識(shí)的能力。生物學(xué)上的很多問(wèn)題，學(xué)生在對(duì)其進(jìn)行理解時(shí)感到困惑，但這些問(wèn)題卻可以讓學(xué)生根據(jù)自己所獲取的知識(shí)，通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型將生物學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變成與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)思考，動(dòng)手參與，不斷分析、反思和修正，加深對(duì)這些知識(shí)的理解，極大地豐富了學(xué)生的形象思維和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。

2.培養(yǎng)批判性思維能力。在生物科學(xué)發(fā)展中，批判性思維活動(dòng)尤為重要。運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及相應(yīng)的策略，在學(xué)習(xí)前人遺留的寶貴知識(shí)時(shí)，要勇于質(zhì)疑，就其性質(zhì)、價(jià)值、精確性和真實(shí)性等方面進(jìn)行批判性的審視，作出自己的判斷、評(píng)價(jià)，并通過(guò)研究使其科學(xué)化、豐富化，進(jìn)而推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展。在建構(gòu)模型教學(xué)中，教師可利用課本中的素材培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力。

3.培養(yǎng)邏輯思維能力。生物學(xué)中有許多現(xiàn)象和規(guī)律可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示。數(shù)學(xué)模型中的曲線模型應(yīng)用起來(lái)簡(jiǎn)單直觀，利用數(shù)學(xué)模型將復(fù)雜多變的生物知識(shí)簡(jiǎn)單化傳授給學(xué)生，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力。

4.培養(yǎng)探究能力。在建構(gòu)模型時(shí)，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)思考確定研究對(duì)象，分析已知和未知，選擇合適的研究方法，反思、修正、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目茖W(xué)性和準(zhǔn)確性，在探究中完成知識(shí)體系的構(gòu)建，領(lǐng)悟到科學(xué)探究的方法，讓學(xué)生在探索科學(xué)現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力。

5.培養(yǎng)搜集信息和處理信息的能力。在建構(gòu)模型過(guò)程中，學(xué)生自己有目的地去尋找、查閱、搜集大量的信息，這些信息中有重復(fù)的、與活動(dòng)無(wú)關(guān)的、不完整的甚至是錯(cuò)誤的信息。學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行分析、判斷、整理、歸納的過(guò)程本身就是培養(yǎng)搜集和處理信息能力的過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)空間更加廣闊。

此外，在生物教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)科學(xué)與數(shù)學(xué)的整合，滲透模型思維，培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察力及簡(jiǎn)約、嚴(yán)密的思想品質(zhì)，有效提高了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。

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