數學教學需加強整體性視角研究

楊小燕+浦敘德

數學教學一個很重要的任務就是幫助學生建立最優化的知識結構，并讓學生優存速取解決相關問題.仔細留意我們的數學教學，你會發現有如下一些現象：現行教材是按照“整體——部分——整體”的思路編寫，而很少有教師按照“章前課——章中課——章結課”整體設計并實踐；課堂應該由“引入——展開——收尾”三個環節組成，而部分教師往往匆匆小結；數學知識之間是緊密聯系的，而一些教師在課堂中根本沒有考慮知識關聯；就算一個知識點，有的教師也沒有引導學生全面認識.凡此種種說明，在數學教學中，教師著眼于局部性研究很多，而缺少整體性視角的研究，所以，加強“整體性”視角研究已成當務之急.下面以“函數”教學為例，說明如何加強“整體性”視角的研究.

初中“函數”內容開始于初二的一般函數定義、圖像、運用和應用；一次函數（正比例函數）的定義、圖像、性質、運用和應用；反比例函數的定義、圖像、性質、運用和應用，結束于初三的三角函數（只研究定義）、二次函數的定義、圖像、性質、運用和應用.初中“函數”定義的本質是“對應”.從這個角度看，初中函數始于初一、結于初三，到高中階段提高，產生新的認識.因為從初一就開始出現了“數軸是其上的點與實數之間的對應”、“絕對值是實數到非負實數的一個對應”、“代數式的值是字母取值與代數式的值的對應”、“多邊形內角和是邊數和內角和之間的對應”、“二元一次方程組則體現兩個未知量取值的不確定性和依存關系的對應”，而后出現“數據的表示（統計圖表）體現數與形的對應”、“圖形的全等、運動、相似是形與形的對應”等.這些素材都為學生學習函數概念時掌握“對應”本質奠定了良好的基礎.盡管教材采取了適當滲透、螺旋上升的方法，分段而又循環地安排函數知識，但學生的辯證邏輯思維仍處于發展的初級階段，與函數包含的運動、變化、聯系的特點非常不適應，這是構成“函數”學習困難的主要根源.所以，就教材的編寫意圖而言，我們首先要有整體性認識和研究，只有認識了上述函數的“全貌”，才能真正有效地實施函數的教學.就教材真正出現“函數”名稱后的教學可以從如下三個視角加強研究.

一、單個知識的“整體性”視角研究要體現全面性

上述提法有兩層含義.一是要讓學生明白：本知識從哪里來？是怎么形成和發展的？將向哪里去？即要研究這個知識的來龍去脈；二是要讓學生針對這個知識本身作全方位認識.一旦教學朝著這兩個方向發展，學生就不僅能掌握知識的外在，更能把握知識的本質，有利于學生真正獲得必備的知識.

先以“函數”定義這個知識點為例.“函數”從生活的角度出發，可以看成“從生活中具體問題來——抽象形成函數定義及函數相關知識，回到生活中去——解決相關的問題”；從數學的角度出發，可以看成“滲透對應、揭示對應（函數定義）、運用應用對應”.綜合以上認識，結合數學概念教學的基本方法，我們可以通過如下步驟實施“函數”概念的教學.從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要完成概念的引入；提供典型豐富的具體例證，概括其本質屬性完成概念的形成；用準確的數學語言描述概念的內涵與外延；用具有延數學概念特色的數學符號完成概念的表示；以正例、反例等實例為載體分析關鍵詞的含義，應用概念作判斷完成概念的鞏固和應用.

再如“反比例函數”定義，我們可以這樣思考和實施教學.從包括勻速運動路程固定，速度與時間的關系；商品總價固定，單價與商品數量的關系；長方形面積固定，長與寬的關系等一些具體實例引入.讓學生概括其中的共同本質特征是函數關系，并且是反比例關系；給出反比例函數的文字和符號描述，給出反比例函數的定義；從反比例關系、函數兩方面辨析概念，注意反例的使用；結合例題給出用概念作判斷的操作步驟；最后與正比例函數、一次函數作比較，納入概念系統，進行反思和建構.

二、多個知識的“整體性”視角研究要體現關聯性

我們知道，數學知識之間是緊密聯系的.上述提法也有兩層含義.一是單個知識的整體性認識是基礎，二是要把有聯系的多個知識串聯起來，使凌亂的知識變成有序的知識.一旦教學朝著這兩個方向發展，學生就不僅能掌握每個知識，更能把握知識之間的聯系，有利于學生建構、儲存和提取知識，真正獲得解決此類知識對應問題的必備能力.

先以“函數”這條線的知識系列為例.教材是按照“從一般到特殊”的線索展開的.先研究“一般函數”，再研究各類“特殊函數”.對于一般函數，是按照概念、表示法、圖像等先后次序這條線展開的；對于特殊函數（一次函數、正比例函數、反比例函數、二次函數），同樣是按照概念、表示法、圖像、性質以及應用這條線展開.從知識系列看，其中存在著很多研究方法的聯系.

再以“特殊函數的性質”為例作說明.對于幾種特殊函數性質的討論，也有很多研究方法的聯系.無論是正比例函數、一次函數、反比例函數還是二次函數，都要研究以下問題.研究的內容（包括自變量取值范圍、函數的圖像、函數的增減性等）；研究的方法（“三步法”畫函數圖像，觀察歸納特征，數學語言描述性質）；相關的問題（包括圖像與坐標軸的交點、何時函數值大于零或小于零等）.這些內容，反映了我們研究函數問題的“基本套路”.在開始對特殊函數的研究中，需要教師遵循這個套路，并能適時歸納和總結.在后續對其他函數的研究中，這些知識就能起到“導游圖”的作用，為將要學習的內容提供了一個框架或線索，使學生對學習進程心中有數，有助于學生完成后續內容的學習.

三、板塊知識的“整體性”視角研究要體現融合性

上述提法同樣有兩層含義.一是要讓學生明白“板塊知識”之間的相互關系和聯系，根據聯系實現板塊之間的交融，從而實現大跨度的遷移；二是要讓學生用數學思想方法統領，實現真正意義上的融合.一旦教學朝著這個方向努力，學生就會點狀知識連成線，線狀知識組成面，面狀知識組成塊，最后用數學思想方法統領，使學生儲存最優化的塊狀知識結構，既減輕記憶負擔，又方便提取，教學效能就會大大得到提升.

先以“函數”與“方程”“不等式”等板塊知識為例.我們知道，如果把函數、方程、不等式板塊放在一起來認識，可以認為“方程”、“不等式”是“函數”的特殊情形.我們可以通過如“求拋物線y=x2-x-6與x軸兩個交點之間的距離”體會函數與方程之間的緊密聯系；還可以通過如“父親、母親、叔叔和個孩子組成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收費標準是：如果買4張全票，則其余人按半價優惠；乙旅行社的收費標準是：家庭旅游算團體票，按原價的3/4優惠，這2家旅行社的原價均為100元/人，試比較隨著孩子人數的變化，哪家旅行社的收費額更優惠”體會函數、方程、不等式之間的緊密聯系.一旦學生能夠把三者時時聯系在一起理解和運用，可以說這三個板塊之間的融合已經達成.

再以“函數思想”為例說明.函數思想的建立和發展，溝通了常量數學與變量數學之間的關系.抽象的函數概念、統領的函數思想必須經過具體的應用才能得到深刻理解.數學教學可以從日常生活、生產實際中選取學生熟悉的、能夠接受的實際問題用函數的思想解決，幫助學生樹立運用函數思想方法思考問題的意識，并學會建立適當的函數模型解決問題，以深化對函數概念和相關知識的理解.函數思想的滲透、落實與領悟，可以借助如下途徑達成.一是函數知識與其他知識結合；二是函數問題與學生的現實生活結合；三是函數思想與方程、變換、優化等數學思想方法有機結合.函數思想方法是中學數學的重要思想方法之一.在數學教學中，在向學生展示知識的發生、發展過程中，應盡力向學生滲透函數思想方法，充分發揮函數思想方法的指導作用，這對形成學生良好的思維品質大有益處.這也是進一步落實新課程標準，培養學生創新能力所必需的.因此，作為數學教師，應對函數思想的統領和融合給予足夠的重視.

綜上所述，在數學教學中教師著眼于局部性研究是必須的基礎工程，這是上好一堂課，讓課堂效果得到保證的前提.但僅僅依靠局部性研究是不夠的，更需要整體性研究來保證課堂效能.普朗克曾經說過：“科學是內在的統一體，它被分解為單位的部門不是由于事物的本質，而是由于人類認識能力的局限.”數學的內在統一、緊密聯系尤為顯著.所以，整體性研究要求單個知識全面認識，多個知識串聯成線，板塊知識及時融合.而且要求課堂教學不僅要考慮知識結構，更要考慮思維結構和生命結構，只有這樣的數學課堂教學，才能讓學生掌握核心知識、提高思維品質、豐富生命內涵.

【作者簡介】浦敘德（1966—），男，江蘇無錫人，中學高級教師，無錫市名教師，無錫市首批中小學名師工作室領銜人，無錫市新區初中數學教研員和首批名師工作室領銜人，長期從事初中數學教育教學及研究工作，先后獲得“省優秀教研員”、“省優秀中考指導老師”、“省課改先進個人”、“省初中教育研究先進個人”、“無錫市優秀教育工作者”等榮譽稱號，曾在《中學數學教學參考》《中學數學教育》《中小學數學》《中學數學》等省級及以上雜志、報刊發表文章90多篇，其中中文核心和教育類核心期刊10多篇，參編各類數學書籍十多本.

（責任編輯 黃桂堅）

先以“函數”與“方程”“不等式”等板塊知識為例.我們知道，如果把函數、方程、不等式板塊放在一起來認識，可以認為“方程”、“不等式”是“函數”的特殊情形.我們可以通過如“求拋物線y=x2-x-6與x軸兩個交點之間的距離”體會函數與方程之間的緊密聯系；還可以通過如“父親、母親、叔叔和個孩子組成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收費標準是：如果買4張全票，則其余人按半價優惠；乙旅行社的收費標準是：家庭旅游算團體票，按原價的3/4優惠，這2家旅行社的原價均為100元/人，試比較隨著孩子人數的變化，哪家旅行社的收費額更優惠”體會函數、方程、不等式之間的緊密聯系.一旦學生能夠把三者時時聯系在一起理解和運用，可以說這三個板塊之間的融合已經達成.

再以“函數思想”為例說明.函數思想的建立和發展，溝通了常量數學與變量數學之間的關系.抽象的函數概念、統領的函數思想必須經過具體的應用才能得到深刻理解.數學教學可以從日常生活、生產實際中選取學生熟悉的、能夠接受的實際問題用函數的思想解決，幫助學生樹立運用函數思想方法思考問題的意識，并學會建立適當的函數模型解決問題，以深化對函數概念和相關知識的理解.函數思想的滲透、落實與領悟，可以借助如下途徑達成.一是函數知識與其他知識結合；二是函數問題與學生的現實生活結合；三是函數思想與方程、變換、優化等數學思想方法有機結合.函數思想方法是中學數學的重要思想方法之一.在數學教學中，在向學生展示知識的發生、發展過程中，應盡力向學生滲透函數思想方法，充分發揮函數思想方法的指導作用，這對形成學生良好的思維品質大有益處.這也是進一步落實新課程標準，培養學生創新能力所必需的.因此，作為數學教師，應對函數思想的統領和融合給予足夠的重視.

綜上所述，在數學教學中教師著眼于局部性研究是必須的基礎工程，這是上好一堂課，讓課堂效果得到保證的前提.但僅僅依靠局部性研究是不夠的，更需要整體性研究來保證課堂效能.普朗克曾經說過：“科學是內在的統一體，它被分解為單位的部門不是由于事物的本質，而是由于人類認識能力的局限.”數學的內在統一、緊密聯系尤為顯著.所以，整體性研究要求單個知識全面認識，多個知識串聯成線，板塊知識及時融合.而且要求課堂教學不僅要考慮知識結構，更要考慮思維結構和生命結構，只有這樣的數學課堂教學，才能讓學生掌握核心知識、提高思維品質、豐富生命內涵.

【作者簡介】浦敘德（1966—），男，江蘇無錫人，中學高級教師，無錫市名教師，無錫市首批中小學名師工作室領銜人，無錫市新區初中數學教研員和首批名師工作室領銜人，長期從事初中數學教育教學及研究工作，先后獲得“省優秀教研員”、“省優秀中考指導老師”、“省課改先進個人”、“省初中教育研究先進個人”、“無錫市優秀教育工作者”等榮譽稱號，曾在《中學數學教學參考》《中學數學教育》《中小學數學》《中學數學》等省級及以上雜志、報刊發表文章90多篇，其中中文核心和教育類核心期刊10多篇，參編各類數學書籍十多本.

（責任編輯 黃桂堅）

先以“函數”與“方程”“不等式”等板塊知識為例.我們知道，如果把函數、方程、不等式板塊放在一起來認識，可以認為“方程”、“不等式”是“函數”的特殊情形.我們可以通過如“求拋物線y=x2-x-6與x軸兩個交點之間的距離”體會函數與方程之間的緊密聯系；還可以通過如“父親、母親、叔叔和個孩子組成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收費標準是：如果買4張全票，則其余人按半價優惠；乙旅行社的收費標準是：家庭旅游算團體票，按原價的3/4優惠，這2家旅行社的原價均為100元/人，試比較隨著孩子人數的變化，哪家旅行社的收費額更優惠”體會函數、方程、不等式之間的緊密聯系.一旦學生能夠把三者時時聯系在一起理解和運用，可以說這三個板塊之間的融合已經達成.

再以“函數思想”為例說明.函數思想的建立和發展，溝通了常量數學與變量數學之間的關系.抽象的函數概念、統領的函數思想必須經過具體的應用才能得到深刻理解.數學教學可以從日常生活、生產實際中選取學生熟悉的、能夠接受的實際問題用函數的思想解決，幫助學生樹立運用函數思想方法思考問題的意識，并學會建立適當的函數模型解決問題，以深化對函數概念和相關知識的理解.函數思想的滲透、落實與領悟，可以借助如下途徑達成.一是函數知識與其他知識結合；二是函數問題與學生的現實生活結合；三是函數思想與方程、變換、優化等數學思想方法有機結合.函數思想方法是中學數學的重要思想方法之一.在數學教學中，在向學生展示知識的發生、發展過程中，應盡力向學生滲透函數思想方法，充分發揮函數思想方法的指導作用，這對形成學生良好的思維品質大有益處.這也是進一步落實新課程標準，培養學生創新能力所必需的.因此，作為數學教師，應對函數思想的統領和融合給予足夠的重視.

綜上所述，在數學教學中教師著眼于局部性研究是必須的基礎工程，這是上好一堂課，讓課堂效果得到保證的前提.但僅僅依靠局部性研究是不夠的，更需要整體性研究來保證課堂效能.普朗克曾經說過：“科學是內在的統一體，它被分解為單位的部門不是由于事物的本質，而是由于人類認識能力的局限.”數學的內在統一、緊密聯系尤為顯著.所以，整體性研究要求單個知識全面認識，多個知識串聯成線，板塊知識及時融合.而且要求課堂教學不僅要考慮知識結構，更要考慮思維結構和生命結構，只有這樣的數學課堂教學，才能讓學生掌握核心知識、提高思維品質、豐富生命內涵.

【作者簡介】浦敘德（1966—），男，江蘇無錫人，中學高級教師，無錫市名教師，無錫市首批中小學名師工作室領銜人，無錫市新區初中數學教研員和首批名師工作室領銜人，長期從事初中數學教育教學及研究工作，先后獲得“省優秀教研員”、“省優秀中考指導老師”、“省課改先進個人”、“省初中教育研究先進個人”、“無錫市優秀教育工作者”等榮譽稱號，曾在《中學數學教學參考》《中學數學教育》《中小學數學》《中學數學》等省級及以上雜志、報刊發表文章90多篇，其中中文核心和教育類核心期刊10多篇，參編各類數學書籍十多本.

（責任編輯 黃桂堅）