函數的凹凸性在解題中的應用

李慷慨

函數的凹凸性是函數的一個重要性質，在各地質檢和高考中經常考到函數的凹凸性的應用，若能靈活應用函數的凹凸性，則在解決高中數學有關導數的問題時就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數的凹凸性及其簡單應用.

一、函數的凹凸性

定義：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數.

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數.

定理1 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設f為區間I上的二階可導函數，則在I上f為凸（凹）函數的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數的凹凸性在解題中的應用

【例1】 （2013年蚌埠二質檢第15題）已知點A（x1，x21），B（x2，x22）是函數y=x2的圖像上任意不同兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論x21+x222>（x1+x22）2成立.運用類比思想方法可知，若點A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數的凹凸性，主要要求學生能理解題目給出的已知條件或教師在平時的教學中滲透函數的凹凸性的相關內容.根據題意和函數的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質檢第21題）已知函數f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內的任意兩個值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責任編輯 鐘偉芳）

函數的凹凸性是函數的一個重要性質，在各地質檢和高考中經常考到函數的凹凸性的應用，若能靈活應用函數的凹凸性，則在解決高中數學有關導數的問題時就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數的凹凸性及其簡單應用.

一、函數的凹凸性

定義：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數.

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數.

定理1 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設f為區間I上的二階可導函數，則在I上f為凸（凹）函數的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數的凹凸性在解題中的應用

【例1】 （2013年蚌埠二質檢第15題）已知點A（x1，x21），B（x2，x22）是函數y=x2的圖像上任意不同兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論x21+x222>（x1+x22）2成立.運用類比思想方法可知，若點A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數的凹凸性，主要要求學生能理解題目給出的已知條件或教師在平時的教學中滲透函數的凹凸性的相關內容.根據題意和函數的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質檢第21題）已知函數f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內的任意兩個值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責任編輯 鐘偉芳）

函數的凹凸性是函數的一個重要性質，在各地質檢和高考中經常考到函數的凹凸性的應用，若能靈活應用函數的凹凸性，則在解決高中數學有關導數的問題時就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數的凹凸性及其簡單應用.

一、函數的凹凸性

定義：設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數.

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數.

定理1 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意三點x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數的充要條件是：對于I上的任意兩點x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設f為區間I上的二階可導函數，則在I上f為凸（凹）函數的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數的凹凸性在解題中的應用

【例1】 （2013年蚌埠二質檢第15題）已知點A（x1，x21），B（x2，x22）是函數y=x2的圖像上任意不同兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論x21+x222>（x1+x22）2成立.運用類比思想方法可知，若點A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數的凹凸性，主要要求學生能理解題目給出的已知條件或教師在平時的教學中滲透函數的凹凸性的相關內容.根據題意和函數的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質檢第21題）已知函數f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內的任意兩個值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責任編輯 鐘偉芳）