高中數學存在性問題解法淺探

李國強

所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣，綜合性較強.解決該類問題常依據基本知識去尋求例子（或是反例），即構造（進一步探求）出符合條件的，抑或者是否定的例子，或運用反證法去推證.這類問題是高中數學學習中的一個熱點問題，也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結論存在，然后再根據題意去推導，如果得出的結論符合題意，即存在，若得出的結論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾，即為不存在.其方法比較靈活，解法巧妙，對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

一、三角函數中的存在性問題

【例1】 （2010年北京大學自主招生試題）是否存在0

解：假設存在滿足題意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一個等差數列，則有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，顯然sinx-cosx≠0（否則，由題意0

令sinx+cosx=t，由0

點評：首先去假設存在滿足題意的角，然后再用一些基本的概念（等差數列，三角函數及其相應的一些公式等）去化簡，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并進行換元（注意取值范圍），從而發現矛盾.

二、數列中的存在性問題

【例2】 等差數列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差為d，若數列中任意不同兩項之和仍是這個數列中的一項.求證：必存在整數m≥1，使a1=md.

解：假設存在符合題意的整數m，則由題意任取數列中兩項as，at（s≠t），由題意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，則a1=md.下面證明m≥-1.

（1）若d=0，結論顯然成立.

（2）若d≠0，假設m<-1，取p=-m≥2，由題意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

點評：上述例題為數列中的肯定型存在性問題，這種題一般是抓住特征，從特征去突破.

三、函數中的存在性問題

【例3】 設函數f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在實數k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，請說明理由.

解：函數f（x）的圖像在（0，+∞）上是單調遞增，函數g（x）的圖像在（0，+∞）上也是單調遞增.

設h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函數h（x）在[e，+∞）上單調遞增，在（0，e）上單調遞減.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函數f（x）與g（x）的圖像有且僅有一個公共點（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）與g（x）在公共點（e，e2）的切線方程為y=ex-e2，即為直線y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

點評：這類問題，可直接求解，按理論模型進行操作.

從上面幾個例子我們可以看出，存在性問題在數學中還是大量存在的，也是高中數學中比較重要的一個問題，對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視，積極引導學生掌握存在性問題的相關解法，以提高學生的學習效率.

參考文獻

[1]葛軍，李善良，游建華.高中數學競賽讀本（下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數學教學，2004（3）：28.

[3]王為民.構造向量的內積證明不等式例說[J].數學學習與研究，2011（21）：72.

[4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數學教學，2011（3）：30.

（責任編輯 鐘偉芳）

所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣，綜合性較強.解決該類問題常依據基本知識去尋求例子（或是反例），即構造（進一步探求）出符合條件的，抑或者是否定的例子，或運用反證法去推證.這類問題是高中數學學習中的一個熱點問題，也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結論存在，然后再根據題意去推導，如果得出的結論符合題意，即存在，若得出的結論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾，即為不存在.其方法比較靈活，解法巧妙，對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

一、三角函數中的存在性問題

【例1】 （2010年北京大學自主招生試題）是否存在0

解：假設存在滿足題意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一個等差數列，則有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，顯然sinx-cosx≠0（否則，由題意0

令sinx+cosx=t，由0

點評：首先去假設存在滿足題意的角，然后再用一些基本的概念（等差數列，三角函數及其相應的一些公式等）去化簡，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并進行換元（注意取值范圍），從而發現矛盾.

二、數列中的存在性問題

【例2】 等差數列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差為d，若數列中任意不同兩項之和仍是這個數列中的一項.求證：必存在整數m≥1，使a1=md.

解：假設存在符合題意的整數m，則由題意任取數列中兩項as，at（s≠t），由題意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，則a1=md.下面證明m≥-1.

（1）若d=0，結論顯然成立.

（2）若d≠0，假設m<-1，取p=-m≥2，由題意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

點評：上述例題為數列中的肯定型存在性問題，這種題一般是抓住特征，從特征去突破.

三、函數中的存在性問題

【例3】 設函數f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在實數k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，請說明理由.

解：函數f（x）的圖像在（0，+∞）上是單調遞增，函數g（x）的圖像在（0，+∞）上也是單調遞增.

設h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函數h（x）在[e，+∞）上單調遞增，在（0，e）上單調遞減.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函數f（x）與g（x）的圖像有且僅有一個公共點（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）與g（x）在公共點（e，e2）的切線方程為y=ex-e2，即為直線y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

點評：這類問題，可直接求解，按理論模型進行操作.

從上面幾個例子我們可以看出，存在性問題在數學中還是大量存在的，也是高中數學中比較重要的一個問題，對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視，積極引導學生掌握存在性問題的相關解法，以提高學生的學習效率.

參考文獻

[1]葛軍，李善良，游建華.高中數學競賽讀本（下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數學教學，2004（3）：28.

[3]王為民.構造向量的內積證明不等式例說[J].數學學習與研究，2011（21）：72.

[4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數學教學，2011（3）：30.

（責任編輯 鐘偉芳）

所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣，綜合性較強.解決該類問題常依據基本知識去尋求例子（或是反例），即構造（進一步探求）出符合條件的，抑或者是否定的例子，或運用反證法去推證.這類問題是高中數學學習中的一個熱點問題，也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結論存在，然后再根據題意去推導，如果得出的結論符合題意，即存在，若得出的結論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾，即為不存在.其方法比較靈活，解法巧妙，對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

一、三角函數中的存在性問題

【例1】 （2010年北京大學自主招生試題）是否存在0

解：假設存在滿足題意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一個等差數列，則有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，顯然sinx-cosx≠0（否則，由題意0

令sinx+cosx=t，由0

點評：首先去假設存在滿足題意的角，然后再用一些基本的概念（等差數列，三角函數及其相應的一些公式等）去化簡，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并進行換元（注意取值范圍），從而發現矛盾.

二、數列中的存在性問題

【例2】 等差數列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差為d，若數列中任意不同兩項之和仍是這個數列中的一項.求證：必存在整數m≥1，使a1=md.

解：假設存在符合題意的整數m，則由題意任取數列中兩項as，at（s≠t），由題意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，則a1=md.下面證明m≥-1.

（1）若d=0，結論顯然成立.

（2）若d≠0，假設m<-1，取p=-m≥2，由題意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

點評：上述例題為數列中的肯定型存在性問題，這種題一般是抓住特征，從特征去突破.

三、函數中的存在性問題

【例3】 設函數f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在實數k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，請說明理由.

解：函數f（x）的圖像在（0，+∞）上是單調遞增，函數g（x）的圖像在（0，+∞）上也是單調遞增.

設h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函數h（x）在[e，+∞）上單調遞增，在（0，e）上單調遞減.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函數f（x）與g（x）的圖像有且僅有一個公共點（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）與g（x）在公共點（e，e2）的切線方程為y=ex-e2，即為直線y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

點評：這類問題，可直接求解，按理論模型進行操作.

從上面幾個例子我們可以看出，存在性問題在數學中還是大量存在的，也是高中數學中比較重要的一個問題，對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視，積極引導學生掌握存在性問題的相關解法，以提高學生的學習效率.

參考文獻

[1]葛軍，李善良，游建華.高中數學競賽讀本（下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數學教學，2004（3）：28.

[3]王為民.構造向量的內積證明不等式例說[J].數學學習與研究，2011（21）：72.

[4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數學教學，2011（3）：30.

（責任編輯 鐘偉芳）