例談兩種向量運(yùn)算法在平面幾何中的應(yīng)用

劉預(yù)華

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學(xué)研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強(qiáng).下面我們來看看基底法與坐標(biāo)法這兩種向量運(yùn)算方法在平面幾何中的應(yīng)用.

點(diǎn)評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉(zhuǎn)化成基向量的運(yùn)算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關(guān)鍵是把運(yùn)算目標(biāo)式里的向量通過線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基向量來處理.

解法二（坐標(biāo)法）：

點(diǎn)評：利用圖形的幾何性質(zhì)（垂直或?qū)ΨQ性等）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將有關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.這種方法一般在建立坐標(biāo)系后，便于求出各目標(biāo)向量里點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)之間的某種關(guān)系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標(biāo)系；（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點(diǎn)評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關(guān)問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點(diǎn).在利用向量解決問題時，應(yīng)注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應(yīng)用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進(jìn)而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻(xiàn)

王朝銀.2014高考總復(fù)習(xí)創(chuàng)新設(shè)計(jì)系列叢書數(shù)學(xué)（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學(xué)研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強(qiáng).下面我們來看看基底法與坐標(biāo)法這兩種向量運(yùn)算方法在平面幾何中的應(yīng)用.

點(diǎn)評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉(zhuǎn)化成基向量的運(yùn)算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關(guān)鍵是把運(yùn)算目標(biāo)式里的向量通過線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基向量來處理.

解法二（坐標(biāo)法）：

點(diǎn)評：利用圖形的幾何性質(zhì)（垂直或?qū)ΨQ性等）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將有關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.這種方法一般在建立坐標(biāo)系后，便于求出各目標(biāo)向量里點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)之間的某種關(guān)系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標(biāo)系；（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點(diǎn)評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關(guān)問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點(diǎn).在利用向量解決問題時，應(yīng)注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應(yīng)用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進(jìn)而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻(xiàn)

王朝銀.2014高考總復(fù)習(xí)創(chuàng)新設(shè)計(jì)系列叢書數(shù)學(xué)（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，由于它兼具幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁與紐帶.向量作為數(shù)學(xué)研究的一種重要工具，與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面幾何等知識交匯，成為近幾年高考命題的一種趨勢，其考查力度逐漸增強(qiáng).下面我們來看看基底法與坐標(biāo)法這兩種向量運(yùn)算方法在平面幾何中的應(yīng)用.

點(diǎn)評：任何不共線的兩個向量可以作為平面向量的基底.該題選CA、CB作為基底，把CM用基向量表示出來，然后轉(zhuǎn)化成基向量的運(yùn)算.這種方法一般需要知道兩個基向量的模與它們的夾角，這種解法的關(guān)鍵是把運(yùn)算目標(biāo)式里的向量通過線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基向量來處理.

解法二（坐標(biāo)法）：

點(diǎn)評：利用圖形的幾何性質(zhì)（垂直或?qū)ΨQ性等）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將有關(guān)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.這種方法一般在建立坐標(biāo)系后，便于求出各目標(biāo)向量里點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)之間的某種關(guān)系式時考慮采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM·AN的取值范圍是 .

分析：（1）抓住題眼“平行四邊形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐標(biāo)系；（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題.

解法：

點(diǎn)評：在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何的有關(guān)問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會變得容易得多.

總之，向量兼具代數(shù)的抽象和幾何的直觀的特點(diǎn).在利用向量解決問題時，應(yīng)注意變換思維方式，從不同的角度看問題，善于應(yīng)用兩種向量的算法，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進(jìn)而找到解題思路，化難為易，解決問題.

參考文獻(xiàn)

王朝銀.2014高考總復(fù)習(xí)創(chuàng)新設(shè)計(jì)系列叢書數(shù)學(xué)（理科）[M].西安：陜西人民出版社，2013.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint