換個角度思考問題

查寶才

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結論的內在關系，搭建條件與結論之間的橋梁，進而解決問題，我們稱之為正向思維.而當正向思維受阻，思維活動進行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規.換個角度來看問題，也許轉機就會出現，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學過程中遇到的幾個問題為例，談談如何換個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學生學習功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構造關于變量p的一次函數，使其在區間上恒大（小）于零進行解題.

點評：思路一是大多數學生的思維.通過分類討論進行分離參數，由不等式恒成立解決問題，是常規的通性通法.在教學過程中，教師力求給學生傳授這樣的通性通法，讓學生學會以不變應萬變的常規思路.思路二學生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創新.

【例2】 設x是實數，求函數y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構成的函數，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復雜而難以繼續下去.此時若換個角度進行思考，仔細觀察兩個根號內代數式的結構形式后，發現可以將函數轉化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內部特點，構造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構造性的思想及其方法還可以體現在，把題設條件所給出的數量關系進行重新組合，構想出一種新的具體關系.例如構造出與問題有關的函數、方程、數列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結論.但在高考考場里，數學考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結合大腦思考進行答題.所以對于學生在課堂中使用計算器的行為，我及時進行了制止.盡管該題的數據與結構并不那么復雜，但從代數形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數a1，a2，…，a8.證明：六個數a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達到破題的目的.聯想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數量積，那么其他五個數也可以看成對應五個向量的數量積，所以可以構造向量，嘗試將六個數與六個向量的數量積進行攀連.

證明：構造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設OA和OB的夾角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構造了四個共起點的向量，將六個數表示成這四個向量兩兩組合的數量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據抽屜原理，確認四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構造性和創新性，體現了數學的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發現它“化作春泥更護花”的高尚節操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結束，但它卻在學生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數學學習也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責任編輯 鐘偉芳）

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結論的內在關系，搭建條件與結論之間的橋梁，進而解決問題，我們稱之為正向思維.而當正向思維受阻，思維活動進行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規.換個角度來看問題，也許轉機就會出現，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學過程中遇到的幾個問題為例，談談如何換個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學生學習功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構造關于變量p的一次函數，使其在區間上恒大（小）于零進行解題.

點評：思路一是大多數學生的思維.通過分類討論進行分離參數，由不等式恒成立解決問題，是常規的通性通法.在教學過程中，教師力求給學生傳授這樣的通性通法，讓學生學會以不變應萬變的常規思路.思路二學生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創新.

【例2】 設x是實數，求函數y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構成的函數，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復雜而難以繼續下去.此時若換個角度進行思考，仔細觀察兩個根號內代數式的結構形式后，發現可以將函數轉化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內部特點，構造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構造性的思想及其方法還可以體現在，把題設條件所給出的數量關系進行重新組合，構想出一種新的具體關系.例如構造出與問題有關的函數、方程、數列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結論.但在高考考場里，數學考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結合大腦思考進行答題.所以對于學生在課堂中使用計算器的行為，我及時進行了制止.盡管該題的數據與結構并不那么復雜，但從代數形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數a1，a2，…，a8.證明：六個數a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達到破題的目的.聯想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數量積，那么其他五個數也可以看成對應五個向量的數量積，所以可以構造向量，嘗試將六個數與六個向量的數量積進行攀連.

證明：構造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設OA和OB的夾角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構造了四個共起點的向量，將六個數表示成這四個向量兩兩組合的數量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據抽屜原理，確認四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構造性和創新性，體現了數學的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發現它“化作春泥更護花”的高尚節操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結束，但它卻在學生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數學學習也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責任編輯 鐘偉芳）

一般情況下，我們遇到一個問題，第一反應就是從條件入手，順著題意一步一步分析，找出條件與結論的內在關系，搭建條件與結論之間的橋梁，進而解決問題，我們稱之為正向思維.而當正向思維受阻，思維活動進行不下去時，我們則可以改變思維方向，打破常規.換個角度來看問題，也許轉機就會出現，問題隨之迎刃而解.下面筆者以自身在一線教學過程中遇到的幾個問題為例，談談如何換個角度思考問題.

【例1】 對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范圍是 .

分析：有的學生學習功底比較好，提出了思路一：將不等式x2+px>4x+p-3轉化為p（1-x）

有愛動腦筋，喜歡鉆研的學生提出了另一種思路：可以把p視為變量、x視為參量，這樣不等式可以理解成以p為變量的不等式，再構造關于變量p的一次函數，使其在區間上恒大（小）于零進行解題.

點評：思路一是大多數學生的思維.通過分類討論進行分離參數，由不等式恒成立解決問題，是常規的通性通法.在教學過程中，教師力求給學生傳授這樣的通性通法，讓學生學會以不變應萬變的常規思路.思路二學生不易想到，也不敢這樣去想，畢竟打破常規是需要勇氣和膽量的.但這樣的思路恰恰也拓展了我們的思維，讓我們有耳目一新的感覺.它打破了常規的思維定式，換了一個角度來思考問題，有一定的技巧，不失為一種思維創新.

【例2】 設x是實數，求函數y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本題是由兩個根號的差構成的函數，顯然用平方、換元的思想方法探究會因形式較為復雜而難以繼續下去.此時若換個角度進行思考，仔細觀察兩個根號內代數式的結構形式后，發現可以將函數轉化為y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，這樣就可以看做是直角坐標系中一個動點P（x，0）到兩個定點A（4，5）和B（1，-2）的距離之差.作出點B（1，-2）關于x軸的對稱點B′（1，2），則由△PAB′中|PA-PB′|

點評：平方和換元的思想方法是解決帶根號問題的常規思路，但在本題中，用這些方法尋求解題途徑時卻比較困難，甚至無從下手.故需要換個角度看問題，針對根號的內部特點，構造一個“距離”模型，使得原問題在這個模型上變得直觀且易于解決.這種構造性的思想及其方法還可以體現在，把題設條件所給出的數量關系進行重新組合，構想出一種新的具體關系.例如構造出與問題有關的函數、方程、數列、向量等模型.下面再看兩例.

【例3】 證明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：學生看到這個題目時，思考了足足十分鐘，仍然無從下手.有些膽大的學生偷偷地拿出了計算器，悄悄地演算結論.但在高考考場里，數學考試禁用任何帶有記憶功能的計算器，考生必須徒手結合大腦思考進行答題.所以對于學生在課堂中使用計算器的行為，我及時進行了制止.盡管該題的數據與結構并不那么復雜，但從代數形式上看，確實難以找到解決問題的突破口.既然代數形式難以入手，那么能否從形的角度來思考呢？

【例4】 任意給出8個非零實數a1，a2，…，a8.證明：六個數a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一個是非負的.

分析：本題有競賽題的形式，讓人望而止步.題目的條件給得過于簡單，讓人無從下手，但看看要證明的結論里，信息相對豐富些.那么這時就需要換個角度思考問題，從結論里找到一條繞過障礙的新途徑，以達到破題的目的.聯想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）與OB=（a3，a4）的數量積，那么其他五個數也可以看成對應五個向量的數量積，所以可以構造向量，嘗試將六個數與六個向量的數量積進行攀連.

證明：構造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分別對應平面上的四個點A，B，C，D.

因為四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，不妨設OA和OB的夾角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，從而命題得證.

點評：本題巧妙地構造了四個共起點的向量，將六個數表示成這四個向量兩兩組合的數量積，突破了題目所給的條件少且抽象的障礙.再根據抽屜原理，確認四個向量OA，OB，OC，OD兩兩所成的角中，至少有一個角不超過90°，言簡意賅地證明了命題，具有較強的構造性和創新性，體現了數學的和諧美.

一片落葉，你也許會看到“零落成泥碾作塵”的悲慘命運，但是只要換個角度思考，你便會發現它“化作春泥更護花”的高尚節操；一根蠟燭，不久便會“蠟炬成灰”，但它卻為人照亮了前面的路；一支粉筆，只需三筆兩畫，生命便會結束，但它卻在學生心中撒下了知識的種子.換個角度思考問題，問題或許將迎刃而解，數學學習也將不再枯燥乏味.只要腳踏實地、步步為營、迎難而上，成功的大門將為你打開.

（責任編輯 鐘偉芳）