在探究一次函數性質的過程中體會數學方法

侍然

我們已經知道，函數的表示方法有列表法、解析法、圖像法.在解決數學問題時，用解析法和圖像法表示比較普遍，它們可以從“數”和“形”兩方面來揭示函數的性質.課本中，在探究一次函數的性質時，就是從“數”和“形”兩方面來得出結論的.那么，在探究一次函數性質的過程中，我們應用了哪些數學方法呢？

請看課本中的內容.如圖1所示.

圖1像上山越走越高那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而上升；像下山越走越低那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而下降.

首先是從“形”和“數”兩個角度觀察.從“形”的角度初步感知一次函數的圖像的形態各異.“形態”有何特征？“各異”的原因在哪？就是一次函數的圖像有些是隨著自變量的增大而上升，有些是隨著自變量的增大而下降，有的一次函數圖像比較“陡”，有的一次函數圖像比較“陂”.

其次是舉特例.畫圖、觀察圖形、分析圖形的形狀、綜合得出一次函數的自變量和因變量的關系.這既要單個地觀察分析每個一次函數圖像的特征，又要綜合在一起歸納它們的共性特征.這里函 數y=2x+4代表一類 一次函數（即從左向右的方向是上升的直線），y=-32x-3代表另一類一次函數（即從左向右的方向是下降的直線）.之所以要“從左向右”看，是因為在x軸上（水平放置的x軸），從左向右的值是逐漸增大的.養成這種看圖的方向和習慣，對以后的函數知識學習十分重要.

第三是猜想.從左向右看，形如“y=2x+4”的圖像是上升的；形如“y=-32x-3”的圖像是下降的.“上升”與“下降”的原因在于一次項的系數是正數還是負數.此外，一次函數的常數項對函數圖像與y軸的交點是在x軸上方還是在x軸下方有影響.

第四是歸納、概括，得出結論.學生可以和學習小組的同學合作，分別舉例、畫圖、比較，思考上面的觀察、分析、綜合、猜想是否有道理，能否得出一般性的結論.學生通過小組的交流討論，得出結論：在一次函數y=kx+b中，如果k>0，那么y隨x增大而增大；如果k<0，那么y隨x增大而減小.

在上面的分析中，我們可以看出，探究一次函數的性質時，我們使用了畫圖、觀察、分析、綜合、猜想、歸納、概括等數學方法.通過這些方法能把一次函數的圖像進行適當的整理和排列，用數學語言來表達它的狀態、關系和過程，再經過猜想、推理、分析，最后形成解釋、判斷和預言.所以說，在解決問題的過程中，同一手段、技巧、程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為方法.這種研究一次函數圖像的性質的方法，就是研究函數圖像性質的一般性方法.這些方法是在數學研究與學習中積累起來的寶貴精神財富.

其實研究函數的一種途徑是：利用函數圖像的直觀性認識函數性質.用圖像研究函數性質的兩個主要步驟：一是觀察圖像反映的變化規律；二是用文字語言描述變化規律.首先，我們要明確概括的主導思路.我們想要描述的是一次函數圖像的特征，其次，在畫圖、看圖的過程中猜想發現，再從發現中歸納猜想得出結論.

總之，在探究一次函數性質時，我們應多多引導學生體會其中的數學方法，并利用這些方法解決相應的數學問題，進而提高分析解決問題的能力.

（責任編輯 黃桂堅）endprint

我們已經知道，函數的表示方法有列表法、解析法、圖像法.在解決數學問題時，用解析法和圖像法表示比較普遍，它們可以從“數”和“形”兩方面來揭示函數的性質.課本中，在探究一次函數的性質時，就是從“數”和“形”兩方面來得出結論的.那么，在探究一次函數性質的過程中，我們應用了哪些數學方法呢？

請看課本中的內容.如圖1所示.

圖1像上山越走越高那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而上升；像下山越走越低那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而下降.

首先是從“形”和“數”兩個角度觀察.從“形”的角度初步感知一次函數的圖像的形態各異.“形態”有何特征？“各異”的原因在哪？就是一次函數的圖像有些是隨著自變量的增大而上升，有些是隨著自變量的增大而下降，有的一次函數圖像比較“陡”，有的一次函數圖像比較“陂”.

其次是舉特例.畫圖、觀察圖形、分析圖形的形狀、綜合得出一次函數的自變量和因變量的關系.這既要單個地觀察分析每個一次函數圖像的特征，又要綜合在一起歸納它們的共性特征.這里函 數y=2x+4代表一類 一次函數（即從左向右的方向是上升的直線），y=-32x-3代表另一類一次函數（即從左向右的方向是下降的直線）.之所以要“從左向右”看，是因為在x軸上（水平放置的x軸），從左向右的值是逐漸增大的.養成這種看圖的方向和習慣，對以后的函數知識學習十分重要.

第三是猜想.從左向右看，形如“y=2x+4”的圖像是上升的；形如“y=-32x-3”的圖像是下降的.“上升”與“下降”的原因在于一次項的系數是正數還是負數.此外，一次函數的常數項對函數圖像與y軸的交點是在x軸上方還是在x軸下方有影響.

第四是歸納、概括，得出結論.學生可以和學習小組的同學合作，分別舉例、畫圖、比較，思考上面的觀察、分析、綜合、猜想是否有道理，能否得出一般性的結論.學生通過小組的交流討論，得出結論：在一次函數y=kx+b中，如果k>0，那么y隨x增大而增大；如果k<0，那么y隨x增大而減小.

在上面的分析中，我們可以看出，探究一次函數的性質時，我們使用了畫圖、觀察、分析、綜合、猜想、歸納、概括等數學方法.通過這些方法能把一次函數的圖像進行適當的整理和排列，用數學語言來表達它的狀態、關系和過程，再經過猜想、推理、分析，最后形成解釋、判斷和預言.所以說，在解決問題的過程中，同一手段、技巧、程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為方法.這種研究一次函數圖像的性質的方法，就是研究函數圖像性質的一般性方法.這些方法是在數學研究與學習中積累起來的寶貴精神財富.

其實研究函數的一種途徑是：利用函數圖像的直觀性認識函數性質.用圖像研究函數性質的兩個主要步驟：一是觀察圖像反映的變化規律；二是用文字語言描述變化規律.首先，我們要明確概括的主導思路.我們想要描述的是一次函數圖像的特征，其次，在畫圖、看圖的過程中猜想發現，再從發現中歸納猜想得出結論.

總之，在探究一次函數性質時，我們應多多引導學生體會其中的數學方法，并利用這些方法解決相應的數學問題，進而提高分析解決問題的能力.

（責任編輯 黃桂堅）endprint

我們已經知道，函數的表示方法有列表法、解析法、圖像法.在解決數學問題時，用解析法和圖像法表示比較普遍，它們可以從“數”和“形”兩方面來揭示函數的性質.課本中，在探究一次函數的性質時，就是從“數”和“形”兩方面來得出結論的.那么，在探究一次函數性質的過程中，我們應用了哪些數學方法呢？

請看課本中的內容.如圖1所示.

圖1像上山越走越高那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而上升；像下山越走越低那樣，有些一次函數的圖像的形態隨著自變量的增大而下降.

首先是從“形”和“數”兩個角度觀察.從“形”的角度初步感知一次函數的圖像的形態各異.“形態”有何特征？“各異”的原因在哪？就是一次函數的圖像有些是隨著自變量的增大而上升，有些是隨著自變量的增大而下降，有的一次函數圖像比較“陡”，有的一次函數圖像比較“陂”.

其次是舉特例.畫圖、觀察圖形、分析圖形的形狀、綜合得出一次函數的自變量和因變量的關系.這既要單個地觀察分析每個一次函數圖像的特征，又要綜合在一起歸納它們的共性特征.這里函 數y=2x+4代表一類 一次函數（即從左向右的方向是上升的直線），y=-32x-3代表另一類一次函數（即從左向右的方向是下降的直線）.之所以要“從左向右”看，是因為在x軸上（水平放置的x軸），從左向右的值是逐漸增大的.養成這種看圖的方向和習慣，對以后的函數知識學習十分重要.

第三是猜想.從左向右看，形如“y=2x+4”的圖像是上升的；形如“y=-32x-3”的圖像是下降的.“上升”與“下降”的原因在于一次項的系數是正數還是負數.此外，一次函數的常數項對函數圖像與y軸的交點是在x軸上方還是在x軸下方有影響.

第四是歸納、概括，得出結論.學生可以和學習小組的同學合作，分別舉例、畫圖、比較，思考上面的觀察、分析、綜合、猜想是否有道理，能否得出一般性的結論.學生通過小組的交流討論，得出結論：在一次函數y=kx+b中，如果k>0，那么y隨x增大而增大；如果k<0，那么y隨x增大而減小.

在上面的分析中，我們可以看出，探究一次函數的性質時，我們使用了畫圖、觀察、分析、綜合、猜想、歸納、概括等數學方法.通過這些方法能把一次函數的圖像進行適當的整理和排列，用數學語言來表達它的狀態、關系和過程，再經過猜想、推理、分析，最后形成解釋、判斷和預言.所以說，在解決問題的過程中，同一手段、技巧、程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為方法.這種研究一次函數圖像的性質的方法，就是研究函數圖像性質的一般性方法.這些方法是在數學研究與學習中積累起來的寶貴精神財富.

其實研究函數的一種途徑是：利用函數圖像的直觀性認識函數性質.用圖像研究函數性質的兩個主要步驟：一是觀察圖像反映的變化規律；二是用文字語言描述變化規律.首先，我們要明確概括的主導思路.我們想要描述的是一次函數圖像的特征，其次，在畫圖、看圖的過程中猜想發現，再從發現中歸納猜想得出結論.

總之，在探究一次函數性質時，我們應多多引導學生體會其中的數學方法，并利用這些方法解決相應的數學問題，進而提高分析解決問題的能力.

（責任編輯 黃桂堅）endprint