高等數學教學的數學思維和數學思想

摘 要：當學生的學習進入到了高等數學的階段，那么他們的學習內容，還有他們的數學思維以及數學思想都要隨之改變，尤其是數學思維與數學思想，它們在高等數學中顯得尤為的重要。對此本文通過對數學思維的重要性和數學思想的重要性做出了詳細的介紹，讓教師和學生們能夠明白數學思維與數學思想在高等數學中的重要性，還對數學思維以及數學思想的內容作了全面系統的分析，同時還對如何提高學生數學思維能力以及如何提高學生數學思想能力作了研究調查，提出了若干的建議。希望可以為數學教學提供值得參考的借鑒。（本文原刊于南京師大學報社會科學版2014年8月）

關鍵字：高等數學教學；數學思維；數學思想

一個民族要站在科學的高峰頂端，那么它的思維與思想也應該是處在世界的頂端，數學亦是如此，尤其是當數學進入到了高等學習的階段，老師要幫助學生提高數學思維和數學思想的能力，通過提高他們的數學思維和數學思想的能力，來提高他們的數學水平。

1.數學思維的重要性

數學一直是我們學習過程中的一門必修課，解決高校數學難題講究的是一種解題思維。在課堂上很多學生明白的僅僅只是一道題的結果，而不是深入明白這一結果的整條思維的分析過程[1]。在結合多年的數學教學過程中會發現好多學生在數學邏輯思維上還存在一種缺陷，從而制約了學生的進一步發展，就像我們在高速上行駛的汽車，在沒有路牌的指引我必定相信這輛汽車時很難達到終點的，數學的思維就像串聯各個路牌的馬路，起著至關重要的作用，學生拿到題目時要能夠對題目的內容具體分析、推論與判斷，從而獲得對高中數學知識的本質與規律的認識能力。學生在解題的過程中不會因為題目的結果太難而無法理解過來，都是因為沒有找到真正的解題思路，以至于在繁瑣的思路上沒能找到突破口，從而不能達到解題的最高效率。

2.數學思維的內容

2.1 數形結合思維

在高中數學中有代數與幾何的分開教學，我們是不能把“數”和“形”完全孤立分開的，也就是說我們常見的代數問題是可以幾何化來解決，幾何問題同時也可以代數化的。“數”與“形”在一定的條件下是可以相互轉化來更好的解題的[2]。

2.2 函數與方程的思維

函數關系是指某個變化過程中兩個變量具有某種對應的關系，函數思維在針對性的解決變量問題、最值問題、方案的設計、方程根的判斷等問題都十分有效[3]。方程思維則可歸納為以下幾方面進行具體分析，一將所面臨的問題進行轉化成為所謂的方程問題，二將方程問題進行具體的分析與探討從而得出相應的結論，最后通過所得的這一結論再次返還到原來的問題中去，從而得到最終的結果。

2.3 等價轉化思維

等化轉化就是把未知的問題轉化到現在已有條件的的范圍內可解決的一種重要的思維方法。通過不熟悉、不規范、復雜的問題通過不斷轉化成為熟悉、規范甚至簡單的問題。如今在分析和解決的實際過程中，普通的文字語言我們可以轉化為更為簡單的數學語言，即如我們所說的消去法、換元法、數學結合法這些都很明顯的體現了等價轉化的思想[4]。

3.如何提高學生數學思維能力

3.1 調動學生學習的積極性，是提高學生數學思維能力的前提

偉大的教育家康斯坦丁·德米特里耶維奇·烏申斯基說過：“如果能讓數學充滿形象、色彩、聲音，從而使學生在感官上有所接受，這樣就能使自己所講授的知識讓學生有所接受，使每個學生都進入兒童的思維世界?！边@樣的數學教學就能增添不少的興趣。我記得在我們從小的時候就會有好多的手工DIY創作，學生的興趣也增添不少，一節課上熱熱鬧鬧，充滿趣味性，每個學生都發揮了自己最大的學習與創作能力，不枯燥，有意思，為今后的學習奠定了學習基礎。

3.2 開拓解題思路，培養思維的靈活性

客觀事物是發展變化的，這就需要我們學生用變化發展的觀點去認識和解決問題，在數學思維中就是要善于發現新的已知條件與因素，探索出更具有效的解題途經。思維的靈活性是指學生應該具有多面的解題思路，在不同角度和不同方面進行分析與思考。學生的思路廣，方法多，解決好，就是思維靈活的一種表現。自古就有名言“條條道路通羅馬”，選擇的越多，比較越多自然就會有最合適的那一套解決方案[6]。

3.3 強化技能練習，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性就是指思維活躍的速度，學習中能夠很巧妙的運用概念，公式、法則等基礎知識，使解題又快又準，這必定是要經過長期的訓練才能達到的，比如我們一直所說的題海戰術就是其中的一種表現，所以說強化技能訓練是提高思維敏捷的一種重要手段。如今很多幼兒園就開展了心算課程，是這些學生在一看到題目就能得到結果，能達到這一成績的都是從小就經過高強度的練習所能達到的。

4 教學思想的重要性

數學的繁榮跨越了漫長的中世紀，才得以完成常量數學到變量數學的飛躍，這其中數學的思想必定起著最重要的一個環節，它是數學靈魂的所在。成功的教學不僅老師要教會學生知識，還要讓學生學懂知識，許多的老師往往會產生這樣的困惑：自己題型講的也不少，但學生所學到的也僅僅是老師所講的這個題目的解題方法，只要條件稍稍一變就不知所措。沒有學會根本的解題思想，這樣的教學必定是失敗的，所以要在解題的過程中向學生灌輸不同的數學思想。

5.數學思想的內容

5.1 函數與方程的思想

用數學中的函數和變量來思考問題的方法就被數學家們稱為函數思想，它能夠將問題轉化為方程，通過對這個方程的解答最后的出方程的答案，最后它又將方程的答案歸結到原來的問題上，使得原來的問題能夠得出答案。

5.2 數形結合思想

數學中可分為代數和幾何兩大類，數和型是數學的兩個好朋友，它們形影不離，形不離數，數不離形，只要條件允許形就可以轉化為數，數也能夠轉換為形。

5.3 等價轉化思想

等價思想也可亦被稱為轉化思想，就是將難以理解的或是無法解決的問題，用等價的方式描述，從而將原問題轉化成可以解決的問題或是更容易解決的問題[7]。在數學中這種轉化的例子有很多比如將未知轉化成已知的、數與形之間的相互轉化、空間向平面之間的相互轉化、將高維轉化向低維、多元向一元的轉化以及高次向低次的轉化，都是數學中轉化思想的體現。

6 如何提高學生數學思想能力

6.1 引導學生勤于思考

要將經數學的思想滲透到數學教學中，要做到的第一點就是要讓學生主動的去思考，就像發現萬有引力的偉大的科學學家牛頓，當他被問到為什么會是他發現了萬有引力時它的回答就是，因為我在思考。只有在不斷思考的人，才能夠具有數學思考能力的基礎——善于思考的大腦，人的大腦只有通過不斷地思考訓練才能過變得靈活，它的思維會更加敏捷，從科學的角度來看，人的大腦越是靈活，它就越適合形成數學思想，也更能夠將數學思想滲透到數學學習中來，反正當一個不勤于思考的大腦，并不是說它就不能構成數學思維，只是如果我們將大腦中的思維能力比作土壤，那么數學思想就是種植在其之上的植物，只有越是肥沃的土壤才能夠開出更為鮮艷的花朵，勤于思考是被作為數學思想培養的一個基礎。

6.2 引導學生善于借鑒

“學而不思則罔，思而不學則殆?！彪m然這是與文中學過的句子，但是同樣可以運用到數學思想中，它所表現的是數學思想的方法，但是一個人的思維畢竟是有限的，在數學發展到今天有無數的前輩，他們發現了生活中的數學，提出了無數的理論。牛頓就總結過自己的成功，他說自己是站在巨人的肩膀上來取得今天的成功，的確他站在一個很高的高度去提高自己，讓自己處在一個更高的高度，在學生平時的數學思想提高的過程中教師要給學生灌輸這一點，鼓勵學生經常閱讀數學書籍，經常借鑒別人的方法，在同學之間也可以相互的參考相互的交流，這樣可以增加學生的數學思想的內容，開闊自己的思想視野。

6.3 將數學思想注入到學生的現實運用中去

數學的發展并不是獨立的，它今時今日的成就離不開人類在經濟貿易學、自然科學、天文學、物理學以及宇宙學天文學上的研究。它們之間相互滲透，相互推進，造就了今天數學在理論與實際中取得的巨大成就。這就告訴我們關于數學的學習他并不是孤立的，它需要和各個學科之間相互滲透，將數學的理論與思想相互結合，這既是社會發展的需要也是數學在未來發展中對自身的需要，當學生在對數學思想投入到現實的理論中去，這一過程既是對數學思想的一次再熟悉，同時在運用的過程中也是對數學思想的再一次升華。

6.4 要鼓勵學生勇于創新

馬克思說過，這個世界上沒有不變的真理，數學思想也是如此，因此要讓學生明白，在他們深刻的理解玩前輩大師們的思想之后，要用自己的思想自己的之后去辯證的分析它，用自己的頭腦中的智慧，去不斷地更新數學思想，充分發揮自身的想象力，讓自己的思維不斷地發生碰撞，同時在和他人的交流過程中，讓自己的思想和別人的思想發生碰撞，擦出更多新的思想新的火花。

7 結束

關于數學的話題是永遠也說不盡道不完的，關于數學教學的問題也將會是一個永恒的話題，本文主要將了解高等數學教學中的數學思維和數學思想的話題，分析了數學思維與數學思想的重要性，還對體內容進行了系統的介紹，最后提出了關于如何提高學生數學思維能力以及如何提高學生數學思想能力給出了自己的意見，希望可以幫助到有廣大的高等數學教育工作者，同時也希望每一個學習高等數學的高校學子都能夠注重自己數學思維以及數學思想能力上的培養。（本文原刊于南京師大學報社會科學版2014年8月）

參考文獻

[1]曹榮榮. 理工科大一學生高等數學思維的研究[D].華東師范大學. 2011.

[2]高等數學教學的數學思維和數學思想王林峰 [J].大學教育. 2013， （24）：76-77.

[3]淺析融入數學建模思想的高等數學教學姚曉輝 [J].時代教育. 2014， （01）：160

[4]高等數學教學與培養學生的數學思維能力任祖云 [J].考試周刊. 2013， （79）：46-47.

[5]高等數學教材中應滲透數學思想和數學方法王金武 [J].天津市經理學院學報.2013， （02）：81-82

[6]王娟.數學建模思想融入高等數學教學的理論與實踐何俊杰 [J].高師理科學刊.2013， （06）：89.

[7]韓明蓮 ， 廖飛 ， 王嵐 .高等數學教學中使用“討論式教學法”的探索與實踐[C].Proceeding of Conference on Creative Education （CCE2013）.2013.

作者簡介

梅峰太（1971—），男，四川成都，四川省成都市成都職業技術學院副教授，研究方向：高等數學。