高中物理人體內力做功的探究

徐宜強

摘 要： 在高中物理教學過程中，面對人體內力做功的有關問題時，很多同學感到很棘手，往往是憑感覺作答而導致錯誤，甚至個別教師對此也感到困惑，不能對相關問題進行全面分析和解釋。作者結合教學中碰到的實例對人體內力做功的問題作探究。

關鍵詞： 內力做功 位移 力 分析

高中物理教材中功的定義為“力與力方向上的位移的乘積”。細細推敲就會發現，功的定義有點籠統，此處所說的“位移”到底是誰的位移，不夠明確，是力的作用點的位移，還是物體的位移？兩種理解好像都有道理，但好像都有片面性。在某些問題中我們必須把“位移”理解為物體的位移，而在另一些問題中我們必須把“位移”理解為力的作用點的位移，需要具體問題具體分析。真實情況果真如此嗎？

一、對功的定義與做功的若干理解

定義中所說的位移，應理解為物體上受力的那個質點的位移，且是相對于慣性系的位移，當物體時平移直線運動時，物體長各點的位移都相同，這時可把位移理解為“物體的位移”；另外，“力”與“物體的位移”具有瞬間對應的關系，即物體的位移是指在力作用的時間內的位移；還有，要理解“力的作用點的位移”，應為力作用在其上的那個質點的位移；最后，若力是變力，可以利用無限分割的極限思想，把做功的那段時間分成很多小段，每小段時間內，力被視為恒力。

二、人體內力做功的問題提出

在教學中筆者被學生問到這樣一個問題：在人船模型中，若人和船最初靜止，人若加速從船尾走向船頭，由動量守恒可知，船必反向加速，人和船間的一對靜摩擦力均做正功，代數和并不為零。這和我們所熟知的“一對靜摩擦力的凈功的一定為零”的結論相悖，這到底是怎么回事呢？

類似問題還有：人由一樓勻速率爬到五樓，地面對人的支持力是否做功？是什么形式的能轉化為人的重力勢能？不少學生認為人在登樓時受到豎再向上的支持力豎直向下的重力，人的位移方向與支持力方向相同，故支持力做正功，重力做負功，地面提供能量轉化為人的重力勢能。事實上支持力不做功，人的重力勢能是通過消耗人體的生物能轉化而來。

三、人體內力做功的常規分析

這兩個問題之所以讓學生如此迷惑，是因為學生在對功的定義中“位移”的理解上出現了錯誤與混亂。其實問題并沒有想象的那樣復雜，“位移”就是作用點的位移。之所以出現理解上的混亂，是因為學生（當然也有部分教師）容易將作用點的位移和作用點的變動混為一談，其實這二者是有很大區別的。

如圖1所示，手握住一端固定于墻壁的繩并在繩上滑動，求滑動摩擦力對人手所做的功時，當然是用滑動摩擦力乘以人手的位移；然而若求滑動摩擦力對繩子所做的功時，就應多加注意，問題的關鍵在于受力點的更換不等于受力質點位移，手在繩上滑動，繩上不同點依次充當摩擦力的受力點，但整個過程中受力質點均未發生位移，所以作用于繩的摩擦力并不做功。

至此，本文開篇提到的兩個問題也可得以澄清。在人船模型中，人腳底對船的靜摩擦力的方向與船的運動方向（即作用點的移動方向）相同，所以做正功，然而其反作用力的方向與它的作用點（在腳底，與船運動方向相同）運動方向相反，故做負功，這時不能看人質心的位移方向。

在爬樓問題中，人在爬樓時，地面對腳底有支持力的時候，腳沒有發生位移，腳騰空向上運動的時候，支持力正好消失，也就是說支持力的作用點并沒有位移，所以支持力不做功。實際上人在登樓時，已不能把人看做一個質點處理，事實上人在爬樓時是人通過肌肉收縮做功，也就是人的內力做功，從而把人體內的化學能轉化為機械能與內能。

四、人體內力做功的深層探究

支持力不做功，重力做負功的情況下，又如何解釋人體ΔEk增加的問題呢？同樣在人船模型，靜摩擦力對人做負功，人的動能緣何會增加呢？這也正是大多數學生的疑惑之所在。這個問題相對比較復雜，要對此進行深層次的探討和研究，事實上，這是一個涉及內力做功及質點組的動能定理問題。人體在起立過程中既不能看做質點，又不能看做剛體，而是可以變形的質點組。我們把人體看做是由N個質點組成的質點組，應有ΣW=ΣE■-ΣE■，其中ΣW是組成人體的各質點所受所有外力和內力功的代數和，即上式可寫成ΣW■+ΣW■=ΔE■，也就是所有外力功和所有內力功的代數和等于其動能增量。人體起立過程，是身體各部位肌肉內力在起作用，內力的作用點要發生位移，而且位移方向與力方向一致，導致內力功不等于零，從而有ΣW■+ΣW■=ΔE■，也就是說，是人體肌肉內力功與人體重力功的總功，導致起立過程中人體的動能增量，即ΔE■。

關于內力做功問題，在教學實踐中一直是被公認為高中物理的難點問題。平時大家教學中所遇到的絕大部分是內力功為零的情況，因此在使用動能定理分析問題時，內力做功常常被大家忽視。

五、人體內力做功的具體應用

掌握了上述規律，我們就可以根據規律，解決下面的問題：如圖2所示，一人質量為m，站在傾角為θ、長度為l的自動扶梯上，準備從一樓上到二樓，試問在以下三種情況下，扶梯對人的支持力對人所做的功分別為多少？

（1）扶梯不動，人以速度v上到二樓；

（2）扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯靜止上到二樓；

（3）扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯以速度v上到二樓。

解析：（1）人（重心）雖移動，然而扶梯對人的支持力的作用點并沒有移動，只是作用點在不斷更換，故不做功；

（2）扶梯對人的支持力的作用點位移為l，支持力F■=mg，由功的定義：W=F■·l·cos（■-θ）=mglsinθ.

（3）由于扶梯以速度u勻速運動，人相對扶梯以速度v走動，從一樓到二樓作用點的實際位移l=u·■，支持力F■=mg，所以由功的定義：W′=F■·l′·cos（■-θ）=■.

六、人體內力做功的延伸拓展

值得一提的是，單純由于內力做功不可能使物體組的平動動能增加，還必須借助于外力。也就是說：這些外力雖然不做功，但它們可以使內力所做的功的一部分（對應的能量）轉化為物體組的平動動能；定量地說，它們可以控制究竟有多少內力功（對應的能量）能夠轉化為質點組的平動動能，其效果就跟它們自己做功一樣。也正是由于這一點，才常常引起人們的誤會。

鑒于此，物理學上已提出了物體組的贗功能原理：作用于物體組的所有外力的矢量和的贗功等于以物體組質心為代表的平動動能的增量。

下面我們通過一個例子具體看一下贗功能原理的應用：在一次體育課進行的原地縱跳測試中，小明同學先屈膝下蹲，再用力蹬地起跳，他的身高H=1.73m，質量為m=50kg，從蹬地開始經t=0.4s，豎直跳離地面。設他蹬地力的大小恒為F=900N，在與地面接觸的過程中，他的重心上升可視為勻變速直線運動。求小明從開始蹬地到上升到最大高度的過程中機械能的增加量。

先看一般求法：小明起跳過程中，受到地面彈力作用，向上做勻加速運動。由牛頓第三定律易知，地面對人的彈力F′=F=900N，由牛頓第三定律，有F′-mg=ma，經0.4跳離地面時的速度為v=at，重心上升的高度h■=■at■，離地后，人上升的最大高度為h■，則v■=2gh■，在最高點，動能為零，因此，從蹬地開始到最高度過程中機械能的增加量為：ΔE=ΔE■=mg（h■+h■），聯立以上各式即可求解：ΔE=576J。

若應用贗功能原理求解則有，地面彈力雖然不做功，但它可以使內力所做的功的一部分轉化為物體組的平動動能。定量地說，它可以控制究竟有多少內力功能夠轉化為質點組的平動動能，其效果就跟彈力自己做功一樣，所以有：ΔE=W■=W■=F′h■=576N。由此可見，應用贗功能原理求解此類問題，還是較簡便的。但需要強調的是，這些外力并不做功，只是數值上相等而已。

通過對人體內力做功的探究，我們清楚地知道人體內力做功可以使人的動能或勢能增加，當然人體對自身做功也可以將體內的化學能轉化為自身的熱能。如人提水桶在水平地面上勻速行走，人用力推一個靜止的物體等，限于篇幅，本文不再贅述。

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