重視和發掘習題的潛功能

顏泂沛

普通高中課程標準實驗教科書數學必修5（人民教育出版社A版）第46頁習題2.3 B組第2題和第62頁習題2.5 B組第2題，其內容如下：

2.3B：2.已知數列{a■}是等差數列，S■是其前n項和，求證：S■，S■-S■，S■-S■也成等差數列.

2.5B：2.已知等比數列{a■}的前n項和為S■，求證：S■，S■-S■，S■-S■也成等比數列.

這兩道題的解法緊緊圍繞數列的性質特征，依據相同的思維，不同的知識結合數列項數和下標的特征，可以從以下兩個方面得到一些高考常用的結論.

一、利用題目所給數列項數相同的特征

Ⅰ.若數列{a■}為等差數列，公差為d，設A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=a■+a■+…+a■，則A、B、C成等差數列，且公差為knd；

若數列{a■}為等比數列，公比為q，設A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=2■+a■+…+a■，則A、B、C成等比數列，且公比為q■；設M=a■·a■……a■，N=a■·a■……a■，P=a■·a■……a■，則M，N，P也成等比數列，且公比為q■.

例1.【2014年高考全國卷文】設等比數列{a■}的前n項和為S■，若S■=3，S■=15，則S■=（？搖 ？搖）

A.31 B.32 C.63 D.64

【答案】C

【解析】設公比為q，由題得S■-S■=a■+a■=S■×q■=3×q■=12，

∴q■=4，∴S■-S■=a■+a■=S■q■=48，∴S■=63.

例2.【2010年高考安徽卷理】設{a■}是任意等比數列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是（？搖 ？搖）

A.X+Z=2Y B.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y■=YZ D.Y（Y-X）=X（Z-X）

【答案】D

【解析】∵{a■}是等比數列，∴S■，S■-S■，S■-S■成等比數列，不妨設這三項分別為a，2a，4a；則X=a，Y=3a，Z=7a，代入可得.

例3.【2013年高考福建卷理】已知等比數列{a■}的公比為q，記b■=a■+a■+…+a■，c■=a■·a■·…·a■（m，n∈N■），則以下結論一定正確的是（？搖 ？搖）

A.數列{b■}為等差數列，公差為q■

B.數列{b■}為等比數列，公比為q■

C.數列{c■}為等比數列，公比為q■

D.數列{c■}為等比數列，公比為q■

【答案】C

【解析】數列{b■}為等比數列，公比為q■，數列{c■}為等比數列，公比為q■=q■.

例4.【2013年高考北京卷（文、理）】若等比數列{a■}滿足a■+a■=20，a■+a■=40，則公比q=？搖？搖 ？搖？搖；前n項S■=？搖？搖 ？搖？搖.

【答案】2，2■-2

【解析】a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=48，∴q=2，

∴a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=192.

例5.【2009年高考浙江卷文】設等差數列{a■}的前n項和為S■，則S■，S■-S■，S■-S■，S■-S■成等差數列.類比以上結論有：設等比數列{b■}的前n項積為T■，則T■，？搖 ？搖？搖？搖，？搖 ？搖？搖？搖，■成等比數列.

【答案】■，■

【解析】對于等比數列，通過類比，有等比數列{b■}的前n項積為T■，則T■，■，■，■成等比數列.

二、利用數列下標特征解題

Ⅱ.等差數列下標成等差數列且公差為m的項a■，a■，a■，…組成的數列仍為等差數列，公差為md；等比數列下標成等差數列且公差為m的項a■，a■，a■，…組成的數列仍為等比數列，公比為q■.

例6.【2014年高考廣東卷文】等比數列{a■}的各項均為正數，且a■a■=4，則log■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=？搖？搖 ？搖？搖.

【答案】5.

【解析】由題意知a■a■=a■■=4，且數列{a■}的各項均為正數，所以a■=2，

∴a■a■a■a■a■=（a■a■）·（a■a■）·a■=（a■■）■·a■=a■■=2■，

∴log■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=log■（a■a■a■a■a■）=log■2■=5.

例7.【2012年高考全國卷理】已知{a■}為等比數列，a■+a■=2，a■a■=-8，則a■+a■（？搖 ？搖）

（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7

【答案】D

【解析】因為{a■}為等比數列，所以a■a■=a■a■=-8，又a■+a■=2，所以a■=4，a■=-2或a■=-2，a■=4.若a■=4，a■=-2，解得a■=-8，a■=1，a■+a■=-7；若a■=-2，a■=4，解得a■=-8，a■=1，仍有a■+a■=-7，綜上選D.

例8.【2006年高考試卷上海春】已知數列a■，a■，…，a■，其中a■，a■，…，a■是首項為1，公差為1的等差數列；a■，a■，…，a■是公差為d的等差數列；a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數列（d≠0）

（1）若a■=40，求d；

（2）試寫出a■關于d的關系式，并求a■的取值范圍；

（3）續寫已知數列，使得a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數列……依次類推，把已知數列推廣為無窮數列.提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

【解析】（1）a■=10，a■=10+10d=40，∴d=3.

（2）a■=a■+10d■=10（1+d+d■）（d≠0），

a■=10[（d+■）■+■]，

當d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，a■∈[7.5，+∞）.

（3）所給數列可推廣為無窮數列{a■}，其中a■，a■，…，a■是首項為1，公差為1的等差數列，當n≥1時，數列a■，a■，…，a■是公差為d■的等差數列.

研究的問題可以是：試寫出a■關于d的關系式，并求a■的取值范圍.

研究的結論可以是：由a■=a■+10d■=10（1+d+d■+d■），

依次類推可得a■=10（1+d+…+d■）=10×■，d≠1，10（n+1）， d=1

當d>0時，a■的取值范圍為（10，+∞）等.

由上面的高考試卷中關于數列例題可以看出，精心研究習題的解答，重視課本習題的輻射作用，重視書本習題的研究無論對教師和學生分析能力和解題能力都是有利的，特別是對于新教師的培養更有利.