關于數(shù)列求和問題的一些思考

褚艷春　楊紅強

在中學數(shù)學的教學中，求數(shù)列各項和的問題是我們不容忽視的教學重點內(nèi)容，依據(jù)《課程標準》的要求，高中階段的學生應該掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列前n項的求和公式，還應該會采用這些簡單的公式去解決生活中一些常見的簡單問題。

一、關于數(shù)列求和問題的認識

與數(shù)列有關的題目是我們在中學階段重點學習的內(nèi)容，一般使用公式法、通項分析法、錯位相減法、裂項相消法、遞推法和階差法等方法進行數(shù)列的求和，在這些方法中公式法是最基本的方法。我們在學習數(shù)列的時候首先學習的就是等差數(shù)列和等比數(shù)列，公式法的本質就是一定要記清楚、記準確公式，能夠準確地通過分析數(shù)列的特征給出其通項公式，然后求出數(shù)列前項和。

通項分析法是相對靈活多變的方法，首先分析數(shù)列各項的特征，觀察有沒有什么共同的特點，例如各項是否可以分解，局部是否可以先求和等等，分組求和然后再整體求和。遇到這種題目，我們要靈活面對，方法不唯一，具體情況還得具體分析，上面我們只是介紹了通項分析法運用的一部分，也是我們常見的一類題目，必須要牢牢掌握。

錯位相減法是我們常用的方法，值得注意的是在解題過程當中一定要自仔細認真，因為在解題過程當中數(shù)列的項數(shù)是繁多的，稍微不注意就容易寫錯。

裂項相消法就是把一項分解成兩項甚至是多項，然后采用消除的辦法求得前項和。用這種方法解決數(shù)列問題的類型有很多，其中包括等差型、無理型、指數(shù)型、對數(shù)型、三角函數(shù)型等等，其中三角函數(shù)型是不常見的，但是我們在遇到的時候要會解，以上介紹的幾種類型一定要牢牢的掌握，在解題過程當中我們經(jīng)常會遇到，每一種類型都有自己鮮明的特點，同學們要在理解的基礎上加以記憶，靈活多變的去解決遇到的不同問題。

遞推法大體上在解決自然數(shù)平方和、立方和的題目時常常會用到。采用遞推法解決數(shù)列題目，起初我們要知道數(shù)列的通項公式，求通項的辦法就是要先找到數(shù)列各項間的規(guī)律，繼后化難為易，在中學課本上等差數(shù)列和等比數(shù)列其通項的求法就可以通過遞推公式的形式來求出。上文我們已經(jīng)介紹了等差數(shù)列其通項通過遞推公式的辦法證明了出來。我已經(jīng)介紹了三種用遞推法去解決問題的類型，這三種類型是我們在解決數(shù)列問題時經(jīng)常會遇到的問題，希望讀者可以理解并牢牢的掌握。

階差法是求通項公式常用的方法，我們知道數(shù)列是由一項一項構成的，其排列有一定的次序，這里的一定次序是關鍵，換句話說這里的一定次序就是數(shù)列的通項，而階差法就是在通項公式不是很容易看出來的情況下采用的辦法。上文中我所介紹的那道例題就是一道很典型的例題，充分理解這道例題，分析階差法的微妙之處是解決這種類型的關鍵。

歸納、猜想、證明這種類型的題目一般情況下我們是可以通過分析數(shù)列各項的共同特征歸納出其前項和，然后猜想通項和公式，最重要的一點就是證明，證明方法一般采用假設法，假設法就是假設當時等式成立，我們來推當時等式也成立。采用這種方法的題目都有自己和鮮明的特點，讀者通過分析上文所介紹的例題可以很快的理解什么時候采用這種方法。關鍵的一點就是假設法的運用，讀者一定要牢牢地掌握。多做一些與此相關的例題，千錘百煉。

與組合數(shù)有關的數(shù)列的求和法和特殊的三角數(shù)列求和法是不常見的一類題目解法，在此我們要了解這兩種方法，在遇到這種題目的時候要會用、會解。

二、一些思考

以上討論的是數(shù)列求和問題常用到的一些解題方法，而數(shù)列求和類的題目其解法靈活多變，不限于一種方法。對于較復雜的的數(shù)列求和題目需要在掌握基本或者說是根本方法的基礎上進行更進一步的探究，并在處理數(shù)學問題時，摸索求解規(guī)律的過程之中，努力培養(yǎng)剖析問題和解決問題的本領，逐步養(yǎng)成勤于思考，善于動手的良好習慣。很多學生在遇到數(shù)列問題時常會感到特別棘手，或者是一看到數(shù)列求和問題就頭大，就害怕，我覺得這完全是沒有必要的行為，只要我們掌握了數(shù)列的最基本的方法，把其他方法好好地理解，我想在以后再次遇到數(shù)列求和問題時就會得心應手。

（責編 張景賢）