關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的認(rèn)識(shí)

張立杰

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，而數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，應(yīng)用極為廣泛，它幾乎貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，因此它也越來(lái)越受到數(shù)學(xué)教師的重視。

一、對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)

數(shù)形結(jié)合思想是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)律的認(rèn)識(shí)，是無(wú)數(shù)前人在多少年的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)過(guò)程中總結(jié)出來(lái)的根本方法。數(shù)與形是不可分離的，只有當(dāng)它們共同存在時(shí)，才會(huì)使人更加方便地研究數(shù)學(xué)。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”，他還幽默地告訴大家不要“得意忘形”。由此說(shuō)明，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合是多么的重要。

（一）以“數(shù)”化“形”

以數(shù)化形，實(shí)際上就是根據(jù)定理公理把有關(guān)數(shù)量的問(wèn)題圖形化，一般有以下的幾種情況：應(yīng)用平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題，應(yīng)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題，應(yīng)用立體幾何知識(shí)解決問(wèn)題。有些數(shù)量是比較抽象的，不容易理解或者運(yùn)算，例如無(wú)理數(shù)和一些復(fù)雜的有理數(shù)。當(dāng)我們?cè)谶\(yùn)算解題的過(guò)程中無(wú)法算出精確的結(jié)果時(shí)，就需要借助其他的工具來(lái)輔助運(yùn)算，而這個(gè)工具就是圖形。而數(shù)和形在數(shù)學(xué)問(wèn)題中是存在著某種相對(duì)應(yīng)的關(guān)系的，我們就根據(jù)這些關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，在課堂上滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，教師可以適當(dāng)?shù)囟鄿?zhǔn)備一些類(lèi)型題，讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練把和具體的數(shù)相對(duì)應(yīng)的形找出來(lái)，再聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，根據(jù)它們之間存在的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。

（二）以“形”變“數(shù)”

我們總說(shuō)數(shù)學(xué)是抽象的，是因?yàn)樗怯删唧w的事物中提取出來(lái)的關(guān)于量的方面的屬性或關(guān)系，而數(shù)和形是量的最基本的兩個(gè)概念。大家都很清楚圖形的特點(diǎn)，很直觀，能夠形象的表達(dá)出已知條件，有些小的結(jié)論更是顯而易見(jiàn)。學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的圖形，不能一見(jiàn)到圖就腦袋疼，更加不能自暴自棄，一定要仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)覺(jué)題目中隱含的條件或者結(jié)論，再聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，準(zhǔn)確地把圖形數(shù)字化，最后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析運(yùn)算，這樣理清了思路之后，做題才會(huì)更加舒暢，也大大地減少了做題的時(shí)間。

圖形作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，能夠生動(dòng)形象地將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單熟悉的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握更加有保障，使我們對(duì)問(wèn)題的解決方法的掌握更加熟練。要想做到胸中有圖，就需要教師在日常課堂教學(xué)中，逐漸地滲透數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)一步加強(qiáng)解題能力。

（三）“形”“數(shù)”互變

實(shí)質(zhì)上就是以數(shù)化形和以形變數(shù)的結(jié)合。學(xué)生的創(chuàng)新思維能否廣闊的發(fā)展，就要看他對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法是否能夠熟練掌握。事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想背后是符號(hào)語(yǔ)言和圖像語(yǔ)言在支撐。只有當(dāng)學(xué)生在這方面的詞匯積累越加豐富時(shí)，解決問(wèn)題可能產(chǎn)生的思路才會(huì)越加廣闊，解決方法才會(huì)越多，更加靈活。在定量方面，圖形并不能幫助我們算出具體的數(shù)值，這時(shí)就需要借助代數(shù)的運(yùn)算。

從數(shù)與形兩個(gè)方面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生逐步地探索出解題思路，找到問(wèn)題的結(jié)論。我們把這樣的解題思路稱(chēng)為“利用圖形探路子，結(jié)合圖形找式子”。

在日常的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地加強(qiáng)鍛煉學(xué)生利用幾何圖形的意義解決問(wèn)題，熟悉了幾何意義才能更加巧妙地把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)形結(jié)合的思想方法非常重要，需要我們學(xué)習(xí)。我們要根據(jù)代數(shù)、幾何各自的獨(dú)有特點(diǎn)對(duì)一些典型的例題進(jìn)行剖析和歸納。數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用幫助學(xué)生準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生對(duì)解題技巧的把握。

二、對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)建議

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.教師在課堂上給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，一定要先把數(shù)和形的概念講清楚，再將方法分成幾類(lèi)來(lái)講。

2.數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩大基本概念，我們把它們比作為數(shù)學(xué)的雙翼，沒(méi)有數(shù)與形，失去了雙翼，數(shù)學(xué)的發(fā)展也就迷失了方向。

3.把有關(guān)幾何學(xué)的問(wèn)題通過(guò)某種方式的變換，轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問(wèn)題，再利用一些代數(shù)學(xué)的方法對(duì)它進(jìn)行解析、說(shuō)明，使數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，有時(shí)可以得出一些重要的結(jié)果。

4.把相對(duì)應(yīng)的的數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)，仔細(xì)觀察，把曲線(xiàn)與代數(shù)方程結(jié)合在一起考慮。不要放過(guò)任何小的細(xì)節(jié)，通過(guò)已知條件或隱含的知識(shí)，找到解題的關(guān)鍵。

總之，只有當(dāng)代數(shù)與幾何結(jié)合在一起，相互促進(jìn)地創(chuàng)新發(fā)展，羽翼豐富，數(shù)學(xué)才會(huì)顯示出強(qiáng)大的生命力和無(wú)窮的魅力，才會(huì)展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美麗風(fēng)采，給我們帶來(lái)美的享受。

（責(zé)編 張景賢）