微分方程在流行病學方面的運用

摘 要：確定性模型是流行病數學模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學中的簡單運用。

關鍵詞：微分方程；流行病；運用

流行病的數學模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關系的數學方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發生的新病例數均為確定的數值，而且當模型的初值一經給定，整個流行過程的發展及結局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學狀態和類別，比如，一個易感染者受感染后變為感染者，或一個感染者因死亡或隔離轉入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學模型，這種模型假定疾病是通過人群內成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變為感染者。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數學模型，我們對人群及流行病學狀態作如下假設：

1.在時刻t的易感染人數和感染人數分別為S和I；

2.人群是封閉的總人數為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉為感染者的變化率與當時易感染人數與感染人數的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀50年代，科學家Muench將在化學反應體系中的催化作用機理的思想應用于流行病學領域，提出了一組流行病學催化模型。而且已被應用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設。

Muench的催化模型作如下假設：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環境、生物、社會及經濟諸方面的因素有關，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內的有效接觸數來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉變為感染者（陽性者）后，感染不再轉變為陰性，即以如下形式表示：陰性 在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉變為感染者或免疫者，臨床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉變為易感染者（或陰性者），并且他們又以率a轉為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術常用數學.北京：科學技術出版社，1976.

[2]北大數力系.常微分方程與無窮級數.北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應用舉例：導彈打飛機.高等數學研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫用數學。

摘 要：確定性模型是流行病數學模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學中的簡單運用。

關鍵詞：微分方程；流行病；運用

流行病的數學模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關系的數學方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發生的新病例數均為確定的數值，而且當模型的初值一經給定，整個流行過程的發展及結局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學狀態和類別，比如，一個易感染者受感染后變為感染者，或一個感染者因死亡或隔離轉入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學模型，這種模型假定疾病是通過人群內成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變為感染者。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數學模型，我們對人群及流行病學狀態作如下假設：

1.在時刻t的易感染人數和感染人數分別為S和I；

2.人群是封閉的總人數為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉為感染者的變化率與當時易感染人數與感染人數的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀50年代，科學家Muench將在化學反應體系中的催化作用機理的思想應用于流行病學領域，提出了一組流行病學催化模型。而且已被應用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設。

Muench的催化模型作如下假設：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環境、生物、社會及經濟諸方面的因素有關，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內的有效接觸數來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉變為感染者（陽性者）后，感染不再轉變為陰性，即以如下形式表示：陰性 在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉變為感染者或免疫者，臨床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉變為易感染者（或陰性者），并且他們又以率a轉為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術常用數學.北京：科學技術出版社，1976.

[2]北大數力系.常微分方程與無窮級數.北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應用舉例：導彈打飛機.高等數學研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫用數學。

摘 要：確定性模型是流行病數學模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學中的簡單運用。

關鍵詞：微分方程；流行病；運用

流行病的數學模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關系的數學方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發生的新病例數均為確定的數值，而且當模型的初值一經給定，整個流行過程的發展及結局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學狀態和類別，比如，一個易感染者受感染后變為感染者，或一個感染者因死亡或隔離轉入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學模型，這種模型假定疾病是通過人群內成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變為感染者。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數學模型，我們對人群及流行病學狀態作如下假設：

1.在時刻t的易感染人數和感染人數分別為S和I；

2.人群是封閉的總人數為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉為感染者的變化率與當時易感染人數與感染人數的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀50年代，科學家Muench將在化學反應體系中的催化作用機理的思想應用于流行病學領域，提出了一組流行病學催化模型。而且已被應用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設。

Muench的催化模型作如下假設：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環境、生物、社會及經濟諸方面的因素有關，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內的有效接觸數來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉變為感染者（陽性者）后，感染不再轉變為陰性，即以如下形式表示：陰性 在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉變為感染者或免疫者，臨床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉變為易感染者（或陰性者），并且他們又以率a轉為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術常用數學.北京：科學技術出版社，1976.

[2]北大數力系.常微分方程與無窮級數.北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應用舉例：導彈打飛機.高等數學研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫用數學。