例談幾何定理探究的教學(xué)策略

潘云超

摘 要：幾何定理是初中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)領(lǐng)域，有效的教學(xué)策略關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，幾何定理探究活動(dòng)一般經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容；分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案；重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法；總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：幾何定理；探究；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據(jù)，是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.本文以人教版課標(biāo)教材八年級(jí)下冊(cè)“17.2勾股定理的逆定理”為教學(xué)案例，探討幾何定理探究的教學(xué)策略.

一、教學(xué)案例

活動(dòng)1：回顧知識(shí)，提供認(rèn)知框架

問(wèn)題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內(nèi)容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題2：等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理有什么關(guān)系？

生討論得出性質(zhì)的逆命題有可能作為判定方法.

【設(shè)計(jì)意圖】深挖幾何定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，判定定理可以從性質(zhì)定理的逆命題出發(fā).

問(wèn)題3：在直角三角形這一章，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，接下來(lái)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)？

呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖，同時(shí)指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質(zhì)—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質(zhì)的逆命題.

【設(shè)計(jì)意圖】新知與舊知從內(nèi)容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過(guò)問(wèn)題提供認(rèn)知框架；重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解性質(zhì)和判定之間的關(guān)系，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體的理解；通過(guò)分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)一個(gè)有意義、有挑戰(zhàn)性的探究?jī)?nèi)容.

活動(dòng)2：探究定理，體驗(yàn)過(guò)程

問(wèn)題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學(xué)生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學(xué)生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

【設(shè)計(jì)意圖】碰到問(wèn)題，解決問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，體會(huì)“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

問(wèn)題5：動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)觀察。

畫出三邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識(shí)體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等即可.

【設(shè)計(jì)意圖】在這過(guò)程中學(xué)生體會(huì)：觀察—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明是探究學(xué)習(xí)的基本過(guò)程.

問(wèn)題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】“從特殊到一般”是一個(gè)反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的研究逐步積累對(duì)這類事物的了解，再逐步形成對(duì)這類事物的總體認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

問(wèn)題7：通過(guò)上述兩個(gè)問(wèn)題，可以證明命題2了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般，形成一般性的規(guī)律.

問(wèn)題8：整個(gè)探究活動(dòng)，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)反思，形成幾何探究的基本框架.

問(wèn)題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念的完整性和數(shù)學(xué)模型的普遍性是數(shù)學(xué)探索的主要內(nèi)容.幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣.

活動(dòng)3：例題講解

活動(dòng)4：梳理歸納

活動(dòng)5：課堂延續(xù)，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方的關(guān)系.

二、反思幾何定理教學(xué)的一般策略

1.分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容

奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導(dǎo)思維方向，增強(qiáng)思維的邏輯性、條理性.具體地說(shuō)，先行組織者能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的聯(lián)系；它能為將要學(xué)習(xí)的材料提供一個(gè)框架或線索，起到了“導(dǎo)游圖”的作用，能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，有助于學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法.

活動(dòng)：通過(guò)先行組織者構(gòu)成前后一致、邏輯連貫的幾何學(xué)習(xí)過(guò)程.在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，就可以運(yùn)用類比的方法開(kāi)展學(xué)習(xí)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了認(rèn)知框架.

2.分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案

有效率的活動(dòng)建立在合理的規(guī)劃前提下，在幾何探究中，探究方案規(guī)劃主要包括探究什么（明確研究對(duì)象，提出研究問(wèn)題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內(nèi)容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法

圖形變化、數(shù)形結(jié)合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構(gòu)成了幾何探究的基本思想方法.數(shù)學(xué)思想能提高教學(xué)效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).形成數(shù)學(xué)思想并能進(jìn)行知識(shí)方法的有效遷移需要經(jīng)過(guò)以下步驟：（1）過(guò)程體驗(yàn)；（2）反思提煉；（3）復(fù)習(xí)內(nèi)化.例如，對(duì)“從特殊到一般”的教學(xué)，問(wèn)題5、問(wèn)題6、問(wèn)題7體驗(yàn)從特殊到一般的過(guò)程，問(wèn)題8提煉思想，使之明朗化，活動(dòng)4復(fù)習(xí)內(nèi)化，總結(jié)提升.

4.總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解決問(wèn)題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結(jié)的核心任務(wù).教師在平時(shí)的教學(xué)中，不斷引導(dǎo)、反思、總結(jié)，才能達(dá)到自覺(jué)運(yùn)用階段，例如，活動(dòng)5，教師反復(fù)滲透，學(xué)生逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)的能力.

學(xué)生思維的參與度，是幾何探究活動(dòng)教學(xué)效率評(píng)價(jià)的重要依據(jù).沒(méi)有思考的探究，不是真正的探究；要實(shí)現(xiàn)真正有意義的探究學(xué)習(xí)，教師要提出好的探究問(wèn)題，給學(xué)生探究的時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主獨(dú)立地探索、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題，通過(guò)探究發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

參考文獻(xiàn)：

吳增生.讓幾何探究活動(dòng)更好地促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展：初中幾何探究活動(dòng)的教學(xué)策略初探[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：幾何定理是初中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)領(lǐng)域，有效的教學(xué)策略關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，幾何定理探究活動(dòng)一般經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容；分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案；重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法；總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：幾何定理；探究；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據(jù)，是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.本文以人教版課標(biāo)教材八年級(jí)下冊(cè)“17.2勾股定理的逆定理”為教學(xué)案例，探討幾何定理探究的教學(xué)策略.

一、教學(xué)案例

活動(dòng)1：回顧知識(shí)，提供認(rèn)知框架

問(wèn)題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內(nèi)容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題2：等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理有什么關(guān)系？

生討論得出性質(zhì)的逆命題有可能作為判定方法.

【設(shè)計(jì)意圖】深挖幾何定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，判定定理可以從性質(zhì)定理的逆命題出發(fā).

問(wèn)題3：在直角三角形這一章，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，接下來(lái)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)？

呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖，同時(shí)指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質(zhì)—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質(zhì)的逆命題.

【設(shè)計(jì)意圖】新知與舊知從內(nèi)容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過(guò)問(wèn)題提供認(rèn)知框架；重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解性質(zhì)和判定之間的關(guān)系，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體的理解；通過(guò)分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)一個(gè)有意義、有挑戰(zhàn)性的探究?jī)?nèi)容.

活動(dòng)2：探究定理，體驗(yàn)過(guò)程

問(wèn)題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學(xué)生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學(xué)生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

【設(shè)計(jì)意圖】碰到問(wèn)題，解決問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，體會(huì)“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

問(wèn)題5：動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)觀察。

畫出三邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識(shí)體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等即可.

【設(shè)計(jì)意圖】在這過(guò)程中學(xué)生體會(huì)：觀察—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明是探究學(xué)習(xí)的基本過(guò)程.

問(wèn)題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】“從特殊到一般”是一個(gè)反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的研究逐步積累對(duì)這類事物的了解，再逐步形成對(duì)這類事物的總體認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

問(wèn)題7：通過(guò)上述兩個(gè)問(wèn)題，可以證明命題2了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般，形成一般性的規(guī)律.

問(wèn)題8：整個(gè)探究活動(dòng)，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)反思，形成幾何探究的基本框架.

問(wèn)題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念的完整性和數(shù)學(xué)模型的普遍性是數(shù)學(xué)探索的主要內(nèi)容.幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣.

活動(dòng)3：例題講解

活動(dòng)4：梳理歸納

活動(dòng)5：課堂延續(xù)，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方的關(guān)系.

二、反思幾何定理教學(xué)的一般策略

1.分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容

奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導(dǎo)思維方向，增強(qiáng)思維的邏輯性、條理性.具體地說(shuō)，先行組織者能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的聯(lián)系；它能為將要學(xué)習(xí)的材料提供一個(gè)框架或線索，起到了“導(dǎo)游圖”的作用，能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，有助于學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法.

活動(dòng)：通過(guò)先行組織者構(gòu)成前后一致、邏輯連貫的幾何學(xué)習(xí)過(guò)程.在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，就可以運(yùn)用類比的方法開(kāi)展學(xué)習(xí)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了認(rèn)知框架.

2.分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案

有效率的活動(dòng)建立在合理的規(guī)劃前提下，在幾何探究中，探究方案規(guī)劃主要包括探究什么（明確研究對(duì)象，提出研究問(wèn)題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內(nèi)容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法

圖形變化、數(shù)形結(jié)合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構(gòu)成了幾何探究的基本思想方法.數(shù)學(xué)思想能提高教學(xué)效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).形成數(shù)學(xué)思想并能進(jìn)行知識(shí)方法的有效遷移需要經(jīng)過(guò)以下步驟：（1）過(guò)程體驗(yàn)；（2）反思提煉；（3）復(fù)習(xí)內(nèi)化.例如，對(duì)“從特殊到一般”的教學(xué)，問(wèn)題5、問(wèn)題6、問(wèn)題7體驗(yàn)從特殊到一般的過(guò)程，問(wèn)題8提煉思想，使之明朗化，活動(dòng)4復(fù)習(xí)內(nèi)化，總結(jié)提升.

4.總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解決問(wèn)題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結(jié)的核心任務(wù).教師在平時(shí)的教學(xué)中，不斷引導(dǎo)、反思、總結(jié)，才能達(dá)到自覺(jué)運(yùn)用階段，例如，活動(dòng)5，教師反復(fù)滲透，學(xué)生逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)的能力.

學(xué)生思維的參與度，是幾何探究活動(dòng)教學(xué)效率評(píng)價(jià)的重要依據(jù).沒(méi)有思考的探究，不是真正的探究；要實(shí)現(xiàn)真正有意義的探究學(xué)習(xí)，教師要提出好的探究問(wèn)題，給學(xué)生探究的時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主獨(dú)立地探索、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題，通過(guò)探究發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

參考文獻(xiàn)：

吳增生.讓幾何探究活動(dòng)更好地促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展：初中幾何探究活動(dòng)的教學(xué)策略初探[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：幾何定理是初中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)領(lǐng)域，有效的教學(xué)策略關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，幾何定理探究活動(dòng)一般經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容；分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案；重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法；總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：幾何定理；探究；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).”幾何定理是分析、推理、判斷的重要依據(jù)，是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.本文以人教版課標(biāo)教材八年級(jí)下冊(cè)“17.2勾股定理的逆定理”為教學(xué)案例，探討幾何定理探究的教學(xué)策略.

一、教學(xué)案例

活動(dòng)1：回顧知識(shí)，提供認(rèn)知框架

問(wèn)題1：在等腰三角形這一章，我們研究了哪些內(nèi)容，是怎樣研究的？

生回顧等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題2：等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理有什么關(guān)系？

生討論得出性質(zhì)的逆命題有可能作為判定方法.

【設(shè)計(jì)意圖】深挖幾何定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，判定定理可以從性質(zhì)定理的逆命題出發(fā).

問(wèn)題3：在直角三角形這一章，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，接下來(lái)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)？

呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命題是否成立.

師生一起完成知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖，同時(shí)指出：這也是幾何研究的一般步驟和方法：下定義—研究性質(zhì)—探索判定條件，以及探索判定條件的一種方法是性質(zhì)的逆命題.

【設(shè)計(jì)意圖】新知與舊知從內(nèi)容、形式或研究方法上都有類似性，所以，通過(guò)問(wèn)題提供認(rèn)知框架；重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解性質(zhì)和判定之間的關(guān)系，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體的理解；通過(guò)分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)一個(gè)有意義、有挑戰(zhàn)性的探究?jī)?nèi)容.

活動(dòng)2：探究定理，體驗(yàn)過(guò)程

問(wèn)題4：寫出勾股定理和它的逆命題.

命題1：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2+b2=c2.

命題2：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

命題2證明有困難，學(xué)生提出先研究特殊情況，以3，4，5為邊的三角形是直角三角形嗎？

師肯定學(xué)生的想法，指出“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

【設(shè)計(jì)意圖】碰到問(wèn)題，解決問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，體會(huì)“從特殊到一般”是研究數(shù)學(xué)的一般方法.

問(wèn)題5：動(dòng)手操作，實(shí)驗(yàn)觀察。

畫出三邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考這是直角三角形嗎？為什么？

生通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想這是直角三角形，但是證明有困難.師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)所畫的三角形都是全等的，生立刻提取原有知識(shí)體系“三邊確定的三角形的形狀是唯一的”即（SSS）.則只要構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等即可.

【設(shè)計(jì)意圖】在這過(guò)程中學(xué)生體會(huì)：觀察—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明是探究學(xué)習(xí)的基本過(guò)程.

問(wèn)題6：你能證明以5，12，13為邊的三角形是直角三角形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】“從特殊到一般”是一個(gè)反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的研究逐步積累對(duì)這類事物的了解，再逐步形成對(duì)這類事物的總體認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

問(wèn)題7：通過(guò)上述兩個(gè)問(wèn)題，可以證明命題2了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般，形成一般性的規(guī)律.

問(wèn)題8：整個(gè)探究活動(dòng)，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)反思，形成幾何探究的基本框架.

問(wèn)題9：比較勾股定理與勾股定理的逆定理，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念的完整性和數(shù)學(xué)模型的普遍性是數(shù)學(xué)探索的主要內(nèi)容.幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣.

活動(dòng)3：例題講解

活動(dòng)4：梳理歸納

活動(dòng)5：課堂延續(xù)，拓展探究

探究銳角三角形和鈍角三角形的兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方的關(guān)系.

二、反思幾何定理教學(xué)的一般策略

1.分析知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，呈現(xiàn)探究?jī)?nèi)容

奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)、包容范圍廣但又容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者.其作用是：搭建研究框架，引導(dǎo)思維方向，增強(qiáng)思維的邏輯性、條理性.具體地說(shuō)，先行組織者能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的聯(lián)系；它能為將要學(xué)習(xí)的材料提供一個(gè)框架或線索，起到了“導(dǎo)游圖”的作用，能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，有助于學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法.

活動(dòng)：通過(guò)先行組織者構(gòu)成前后一致、邏輯連貫的幾何學(xué)習(xí)過(guò)程.在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，就可以運(yùn)用類比的方法開(kāi)展學(xué)習(xí)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了認(rèn)知框架.

2.分析學(xué)生的探究起點(diǎn)，規(guī)劃探究方案

有效率的活動(dòng)建立在合理的規(guī)劃前提下，在幾何探究中，探究方案規(guī)劃主要包括探究什么（明確研究對(duì)象，提出研究問(wèn)題）和怎樣探究（確定探究的大致方向、探究步驟和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的內(nèi)容：勾股定理的逆命題是否成立？

（2）探究的步驟：先研究特殊的情況，再研究一般情況.

（3）探究的方法：觀察、猜想、求證，類比探究，一般到特殊再到一般.

3.重視歸納，提煉數(shù)學(xué)思想方法

圖形變化、數(shù)形結(jié)合、特殊化與一般化、分類、化歸、類比等構(gòu)成了幾何探究的基本思想方法.數(shù)學(xué)思想能提高教學(xué)效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).形成數(shù)學(xué)思想并能進(jìn)行知識(shí)方法的有效遷移需要經(jīng)過(guò)以下步驟：（1）過(guò)程體驗(yàn)；（2）反思提煉；（3）復(fù)習(xí)內(nèi)化.例如，對(duì)“從特殊到一般”的教學(xué)，問(wèn)題5、問(wèn)題6、問(wèn)題7體驗(yàn)從特殊到一般的過(guò)程，問(wèn)題8提煉思想，使之明朗化，活動(dòng)4復(fù)習(xí)內(nèi)化，總結(jié)提升.

4.總結(jié)幾何探究方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解決問(wèn)題的策略、步驟的概括，使之明朗化，是反思總結(jié)的核心任務(wù).教師在平時(shí)的教學(xué)中，不斷引導(dǎo)、反思、總結(jié)，才能達(dá)到自覺(jué)運(yùn)用階段，例如，活動(dòng)5，教師反復(fù)滲透，學(xué)生逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)的能力.

學(xué)生思維的參與度，是幾何探究活動(dòng)教學(xué)效率評(píng)價(jià)的重要依據(jù).沒(méi)有思考的探究，不是真正的探究；要實(shí)現(xiàn)真正有意義的探究學(xué)習(xí)，教師要提出好的探究問(wèn)題，給學(xué)生探究的時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主獨(dú)立地探索、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題，通過(guò)探究發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

參考文獻(xiàn)：

吳增生.讓幾何探究活動(dòng)更好地促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展：初中幾何探究活動(dòng)的教學(xué)策略初探[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2011（12）：3-6.