求解無限長載流直螺線管磁場的兩種方法比較＊

王小蘭

（黃岡師范學院 湖北 黃岡 438000）

李春密

（北京師范大學物理系 北京 100875）

梁莉紅

（萍鄉市第六中學 江西 萍鄉 337000）

恒定磁場是《普通物理學》里很重要的一部分學習內容.其中求解無限長載流直螺線管的磁場是個典型的問題.本文根據畢奧 －薩伐爾定律和安培環路定理兩種方法來解析，并進行比較.

1 用畢奧 －薩伐爾定律求解

先討論用畢奧 －薩伐爾定律求單匝圓形載流導線的磁場，然后根據磁場的疊加原理求多匝圓形載流導線的磁場.

【例1】設在真空中，有一半徑為R圓形載流導線，通過的電流為I，通常稱作圓電流.試求通過圓心并垂直于圓形導線平面的軸線電流上任意一點P處的磁感應強度.

解析：建立如圖1所示的坐標系.其中Ox軸通過圓心O，并垂直圓形導線平面，在圓上任取一電流元Idl，這個電流元到場點P的位置矢量為r.根據畢奧 －薩伐爾定律在P點所產生的磁感應強度為

圖1 圓形導線平面軸線電流上任一點的磁場

由圖中受力分析可知，電流元Idl與位矢r垂直，所以θ＝90°，而dB的方向垂直于電流元Idl與位矢r所組成的平面，即dB與Ox軸的夾角為α.因此，我們可以把dB分解成兩個分量：一是沿Ox軸的分量dBx＝dBcosα；另一是垂直于Ox軸的分量dB⊥＝dBsinα.

考慮到圓上任一直徑兩端的電流元對Ox的對稱性，根據磁場疊加原理，所有電流元在點P處的磁感應強度的垂直分量dB⊥的總和應等于零；其在Ox軸上的分量dBx相互加強.所以

B的方向垂直于圓形導線平面，沿Ox軸正向.

討論：

（1）當x＝0時，即圓心點O處的磁感應強度的量值為

其方向垂直于圓形導線平面，沿Ox軸的正方向.

（2）如果圓電流是由N 匝導線所組成的，通過每匝的電流強度均為I，則圓心點O處的磁感應強度的量值為

【例2】求長直載流螺線管的磁場1.

如圖2所示，真空中有一長為l，半徑為R的載流密繞直螺線管，總匝數為N（單位長度匝數為n）通有電流I.求管內軸線上一點處的磁感應強度B.

圖2 通電螺線管

解析：無限長載流螺線管可看作是由多匝載流圓環構成.圖3為螺線管的縱剖圖.此剖面圖設在紙面內.在距P點為x處取長為dx的一小段，dx上含有線圈ndx匝.因為螺線管上線圈繞得很密，所以，dx段相當于一個圓電流，電流強度為Indx.

圖3 求螺線管磁場

根據上題的結果和磁場疊加原理，它在P點產生的磁感應強度dB的大小為

所有線圈在P點產生的dB均向右，所以P點B為

取點P到所取小段線圈的連線與軸線AB夾角θ為積分變量，由圖可知

代入上式得

（1）討論和推理幾種特殊情況

1）如果螺線管為無限長，θ1＝π，θ2＝0，則

2）當點P處于管內軸線中點時，θ1＝π－θ2，cosθ1＝－cosθ2，而

代入計算結果得

當lR時，細而長的螺線管可看作是無限長，由此得管內軸線中點處的磁感應強度為B＝μ0nI.

3）如果P點位于半無限長螺線管的一端，則

或者 θ1＝π θ2＝

代入上式得

這說明半“無限長”螺線管軸線上端點的磁感應強度只有管內軸線中點磁感應強度的一半.

4）我們可以根據實驗數據不難畫出圖4，圖中給出了長直螺線管內軸線上磁感應強度的分布.可以看出，密繞載流長直螺線管內軸線中部附近的磁場完全可視作均勻磁場，兩端是非均勻磁場.

圖4 通電螺線管內外磁場曲線

（2）推論：如果是無限長密繞載流直螺線管則內部是勻強磁場，數值大小與管軸上的磁感應強度B＝μ0nI相等，其方向軸平行.管外磁場很弱，可以忽略不計.

2 用安培環路定理求解

先根據安培環路定理求有磁介質的無限長載流直螺線管的磁場，再求真空中的無限長載流直螺線管的磁場.

【例3】設有螺線管長為l，共有N匝，電流為I，螺線管中磁介質的磁導率為μ.求無限長載流直螺線管的磁場.

解析：由于螺線管無限長，管內中央部分的磁場可以看作是勻強磁場，方向與螺線管的軸線平行.管的外側磁場強度很弱，忽略不計.

為計算螺線管中段內部某點P的磁場強度可通過P點作一矩形閉合回路abcda（如圖5所示），根據有磁介質的安培環路定理有

沿此閉合曲線求H矢量的線積分為

圖5 求無限長載流直螺線管的磁場

在線段cd上，H＝0.在線段bc和da的管內部分上，雖然H ≠0，但dl與H 相互垂直，即

因此H矢量沿著閉合路徑abcda線積分為

因為管內磁場是勻強的，方向自a向b，所以

所以螺線管內的磁場強度為

于是管內的磁感應強度為

在真空中時

3 兩種求解方法的比較

求解無限長載流直螺線管磁場的兩種方法進行比較如表1所示［2］.

表1 兩種方法比較

從上表可以看出：求解無限長載流直螺線管磁場的兩種思路中，盡管所用方法如對稱法、微分積分法、理想模型法、公式法、推理法等是相同的，但是運用安培環路定理的方法較為直接、簡單、明了.運用安培環路定理解決本題，必須是建立無限長密繞載流直螺線管內部是勻強磁場，忽略了管外的磁場的認知基礎上，第一種方法是第二種方法的鋪墊，第二種方法是第一種方法的提升.無限長載流直螺線管磁場分布情況也是《普通物理學》中的一種理想的物理模型，通過兩種方法的解析和比較，以期提高學生分析問題和綜合解決問題的能力，促進學生元認知能力的發展.

1 馬文蔚.物理學［上冊］（第五版）.北京：高等教育出版社，2006.294～296

2 朱鈜雄.物理學方法概論.北京：清華大學出版社，2008.9～30