兩大部類擴大再生產的充分必要條件與求解

摘 要 兩大部類擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.直到目前，由于還沒有嚴謹地提出對于擴大再生產公式的一般求解方法，因而也沒有嚴格地確定擴大再生產的充分必要條件.本文基于已經有研究獲得的擴大再生產的一個必要條件，建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，從而證明這個必要條件能夠成為充分條件，由此確定它是充分必要條件.進而使用變量替換法，給出了通過直接求解兩個部類的剩余價值積累率而求解擴大再生產問題的另一種方法.最后引用《資本論》中的兩個實例，對所給出的兩種求解擴大再生產問題的一般方法做了計算驗證.

關鍵詞 擴大再生產；求解；充分必要條件；參數； 線性方程組

中圖分類號 F224，F014.3 文獻標識碼 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

馬克思的兩大部類社會擴大再生產是否存在著充分必要條件，以及如果存在是怎樣的，是再生產理論中一個有待研究和解決的基礎理論性問題.社會擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.到目前，政治經濟學教科書中只是列出了擴大再生產的部分前提條件，沒有給出擴大再生產的充分必要條件[1].主要在于，還沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件.從一個數學問題的視角看，經典的馬克思擴大再生產公式是一個特殊的線性方程組，沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件與缺乏嚴謹的對于這個特殊的線性方程組的一般求解方法，是同一個問題的兩個方面.已經有一些關于擴大再生產的充分條件、必要條件的研究.朱殊洋（2006）對馬克思擴大再生產的充分條件作了探討，但沒有給出一個確切的充分條件[2].陶為群、陶川（2012，2013） 在運用參數線性規劃方法研究擴大再生產優化問題時，給出了擴大再生產有最優解的一個充分必要條件，之后又證明了這個條件也是社會擴大再生產的必要條件，但沒有論述擴大再生產問題的一般求解方法[3，4].不過，他們使用“價值系數法”作為求解擴大再生產優化問題的一種簡便方法，為找到擴大再生產的一般求解方法提供了啟示.基于上述研究結果，可以針對已經獲得的擴大再生產的必要條件，建立一種嚴謹的求解擴大再生產問題的一般方法，從而嚴格地證明這個必要條件也是充分條件，所以成為充分必要條件.還可以運用變量替換法，使這種求解擴大再生產問題的一般方法更簡明和便于使用.

2 兩大部類擴大再生產的

一個必要條件及其經濟含義

馬克思社會再生產理論以社會再生產公式集中體現.陶為群、陶川（2013）指出，經典的馬克思再生產公式是表示社會再生產中生產資料、消費資料兩個部類的產品價值構成和生產資料、消費資料總產品的供給與需求怎樣均衡的一個線性方程組[4].按照再生產理論，社會生產部門劃分成生產生產資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類.第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初時點的總資本分解成用于購買生產資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為 Cj，Vj，由V本文針對已經有研究獲得的兩大部類擴大再生產的一個必要條件[4]，通過建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，證明了這個必要條件能夠成為充分條件，從而確定了擴大再生產的充分必要條件.這里所確定的充分必要條件，僅僅是針對一個年份的擴大再生產而言，所以是靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件.當社會擴大再生產連年不中斷地持續進行，就形成了擴大再生產的動態化.擴大再生產的動態化，需要任何一個年份的擴大再生產都得以實現，所以，靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件首先成為擴大再生產動態化的必要條件.如果擴大再生產動態化的充分必要條件也存在，那么肯定要比靜態意義下的充分必要條件嚴格.因而，本文給出的靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件，為進一步研究分析動態意義下的擴大再生產的充分必要條件，確定了可能的邊界，并提供了可以借鑒的論證方法.本文給出的靜態意義下的擴大再生產的解函數，也為求解擴大再生產動態化的一般問題提供了有益的啟示.

參考文獻

[1] 程恩富，馮金華，馬艷. 現代政治經濟學新編（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海財經大學出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.馬克思擴大再生產充分條件的一個證明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶為群，陶川.馬克思擴大再生產模型的多參數線性規劃與解[J].數量經濟濟術經濟研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶為群，陶川.兩大部類擴大再生產中的廣義拉格朗日乘子[J].經濟數學，2013，30（4）：49-54.

[5] 馬克思.資本論（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint

摘 要 兩大部類擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.直到目前，由于還沒有嚴謹地提出對于擴大再生產公式的一般求解方法，因而也沒有嚴格地確定擴大再生產的充分必要條件.本文基于已經有研究獲得的擴大再生產的一個必要條件，建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，從而證明這個必要條件能夠成為充分條件，由此確定它是充分必要條件.進而使用變量替換法，給出了通過直接求解兩個部類的剩余價值積累率而求解擴大再生產問題的另一種方法.最后引用《資本論》中的兩個實例，對所給出的兩種求解擴大再生產問題的一般方法做了計算驗證.

關鍵詞 擴大再生產；求解；充分必要條件；參數； 線性方程組

中圖分類號 F224，F014.3 文獻標識碼 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

馬克思的兩大部類社會擴大再生產是否存在著充分必要條件，以及如果存在是怎樣的，是再生產理論中一個有待研究和解決的基礎理論性問題.社會擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.到目前，政治經濟學教科書中只是列出了擴大再生產的部分前提條件，沒有給出擴大再生產的充分必要條件[1].主要在于，還沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件.從一個數學問題的視角看，經典的馬克思擴大再生產公式是一個特殊的線性方程組，沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件與缺乏嚴謹的對于這個特殊的線性方程組的一般求解方法，是同一個問題的兩個方面.已經有一些關于擴大再生產的充分條件、必要條件的研究.朱殊洋（2006）對馬克思擴大再生產的充分條件作了探討，但沒有給出一個確切的充分條件[2].陶為群、陶川（2012，2013） 在運用參數線性規劃方法研究擴大再生產優化問題時，給出了擴大再生產有最優解的一個充分必要條件，之后又證明了這個條件也是社會擴大再生產的必要條件，但沒有論述擴大再生產問題的一般求解方法[3，4].不過，他們使用“價值系數法”作為求解擴大再生產優化問題的一種簡便方法，為找到擴大再生產的一般求解方法提供了啟示.基于上述研究結果，可以針對已經獲得的擴大再生產的必要條件，建立一種嚴謹的求解擴大再生產問題的一般方法，從而嚴格地證明這個必要條件也是充分條件，所以成為充分必要條件.還可以運用變量替換法，使這種求解擴大再生產問題的一般方法更簡明和便于使用.

2 兩大部類擴大再生產的

一個必要條件及其經濟含義

馬克思社會再生產理論以社會再生產公式集中體現.陶為群、陶川（2013）指出，經典的馬克思再生產公式是表示社會再生產中生產資料、消費資料兩個部類的產品價值構成和生產資料、消費資料總產品的供給與需求怎樣均衡的一個線性方程組[4].按照再生產理論，社會生產部門劃分成生產生產資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類.第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初時點的總資本分解成用于購買生產資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為 Cj，Vj，由V本文針對已經有研究獲得的兩大部類擴大再生產的一個必要條件[4]，通過建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，證明了這個必要條件能夠成為充分條件，從而確定了擴大再生產的充分必要條件.這里所確定的充分必要條件，僅僅是針對一個年份的擴大再生產而言，所以是靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件.當社會擴大再生產連年不中斷地持續進行，就形成了擴大再生產的動態化.擴大再生產的動態化，需要任何一個年份的擴大再生產都得以實現，所以，靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件首先成為擴大再生產動態化的必要條件.如果擴大再生產動態化的充分必要條件也存在，那么肯定要比靜態意義下的充分必要條件嚴格.因而，本文給出的靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件，為進一步研究分析動態意義下的擴大再生產的充分必要條件，確定了可能的邊界，并提供了可以借鑒的論證方法.本文給出的靜態意義下的擴大再生產的解函數，也為求解擴大再生產動態化的一般問題提供了有益的啟示.

參考文獻

[1] 程恩富，馮金華，馬艷. 現代政治經濟學新編（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海財經大學出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.馬克思擴大再生產充分條件的一個證明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶為群，陶川.馬克思擴大再生產模型的多參數線性規劃與解[J].數量經濟濟術經濟研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶為群，陶川.兩大部類擴大再生產中的廣義拉格朗日乘子[J].經濟數學，2013，30（4）：49-54.

[5] 馬克思.資本論（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint

摘 要 兩大部類擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.直到目前，由于還沒有嚴謹地提出對于擴大再生產公式的一般求解方法，因而也沒有嚴格地確定擴大再生產的充分必要條件.本文基于已經有研究獲得的擴大再生產的一個必要條件，建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，從而證明這個必要條件能夠成為充分條件，由此確定它是充分必要條件.進而使用變量替換法，給出了通過直接求解兩個部類的剩余價值積累率而求解擴大再生產問題的另一種方法.最后引用《資本論》中的兩個實例，對所給出的兩種求解擴大再生產問題的一般方法做了計算驗證.

關鍵詞 擴大再生產；求解；充分必要條件；參數； 線性方程組

中圖分類號 F224，F014.3 文獻標識碼 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

馬克思的兩大部類社會擴大再生產是否存在著充分必要條件，以及如果存在是怎樣的，是再生產理論中一個有待研究和解決的基礎理論性問題.社會擴大再生產的充分必要條件也就是馬克思擴大再生產公式有解的充分必要條件.到目前，政治經濟學教科書中只是列出了擴大再生產的部分前提條件，沒有給出擴大再生產的充分必要條件[1].主要在于，還沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件.從一個數學問題的視角看，經典的馬克思擴大再生產公式是一個特殊的線性方程組，沒有嚴格地確定擴大再生產的充分條件與缺乏嚴謹的對于這個特殊的線性方程組的一般求解方法，是同一個問題的兩個方面.已經有一些關于擴大再生產的充分條件、必要條件的研究.朱殊洋（2006）對馬克思擴大再生產的充分條件作了探討，但沒有給出一個確切的充分條件[2].陶為群、陶川（2012，2013） 在運用參數線性規劃方法研究擴大再生產優化問題時，給出了擴大再生產有最優解的一個充分必要條件，之后又證明了這個條件也是社會擴大再生產的必要條件，但沒有論述擴大再生產問題的一般求解方法[3，4].不過，他們使用“價值系數法”作為求解擴大再生產優化問題的一種簡便方法，為找到擴大再生產的一般求解方法提供了啟示.基于上述研究結果，可以針對已經獲得的擴大再生產的必要條件，建立一種嚴謹的求解擴大再生產問題的一般方法，從而嚴格地證明這個必要條件也是充分條件，所以成為充分必要條件.還可以運用變量替換法，使這種求解擴大再生產問題的一般方法更簡明和便于使用.

2 兩大部類擴大再生產的

一個必要條件及其經濟含義

馬克思社會再生產理論以社會再生產公式集中體現.陶為群、陶川（2013）指出，經典的馬克思再生產公式是表示社會再生產中生產資料、消費資料兩個部類的產品價值構成和生產資料、消費資料總產品的供給與需求怎樣均衡的一個線性方程組[4].按照再生產理論，社會生產部門劃分成生產生產資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類.第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初時點的總資本分解成用于購買生產資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為 Cj，Vj，由V本文針對已經有研究獲得的兩大部類擴大再生產的一個必要條件[4]，通過建立一種求解擴大再生產問題的一般方法，證明了這個必要條件能夠成為充分條件，從而確定了擴大再生產的充分必要條件.這里所確定的充分必要條件，僅僅是針對一個年份的擴大再生產而言，所以是靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件.當社會擴大再生產連年不中斷地持續進行，就形成了擴大再生產的動態化.擴大再生產的動態化，需要任何一個年份的擴大再生產都得以實現，所以，靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件首先成為擴大再生產動態化的必要條件.如果擴大再生產動態化的充分必要條件也存在，那么肯定要比靜態意義下的充分必要條件嚴格.因而，本文給出的靜態意義下的擴大再生產的充分必要條件，為進一步研究分析動態意義下的擴大再生產的充分必要條件，確定了可能的邊界，并提供了可以借鑒的論證方法.本文給出的靜態意義下的擴大再生產的解函數，也為求解擴大再生產動態化的一般問題提供了有益的啟示.

參考文獻

[1] 程恩富，馮金華，馬艷. 現代政治經濟學新編（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海財經大學出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.馬克思擴大再生產充分條件的一個證明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶為群，陶川.馬克思擴大再生產模型的多參數線性規劃與解[J].數量經濟濟術經濟研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶為群，陶川.兩大部類擴大再生產中的廣義拉格朗日乘子[J].經濟數學，2013，30（4）：49-54.

[5] 馬克思.資本論（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint