折現率離散時間風險模型下最大赤字問題

古再麗努爾?阿布都卡地爾等

摘 要 在引入折現率的條件下研究離散時間風險模型，運用遞推方法和全概率公式，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程并得出結論.

關鍵詞 折現率；離散時間風險模型；破產概率；破產赤字

中圖分類號 F222.3，O211 文獻標識碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風險模型按照收取保費的方式的不同可分為連續模型和離散模型兩種.連續模型采取連續收費的原則，即以時間為連續變化的量連續地收取保費.離散模型采用離散收費的原則，即以一定時間長度為收費的單位區間，在每一個單位區間內只收取一次保費.討論得最多的離散時間模型是將單位時間收取的保費視為常數，每一時期的理賠量視為獨立同分布的隨時機變量的模型[1].文獻[2]對此模型加以推廣把單位時間內的保費收入視為獨立同分布的隨機變量，并將利率因素引入風險模型，以加強模型的現實描述能力.文獻[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時間風險模型，并得到了描述破產嚴重性的破產量：破產前盈余分布，破產前最大盈余分布，破產持續時間分布以及破產前盈余，破產后赤字，破產前最大盈余的聯合分布等.文獻[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時間風險模型，并得到了很好的結果.本文在引入折現率的條件下研究離散時間模型，運用遞推方法，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費收入與理賠支出為隨機變量的離散時間風險模型.假定在所考慮的時間內有固定的折現率δ，u為保險公司初始準備金，保費在每一時期的期初收取，理賠在每一時期的期末支付，則在時刻n保險公司的累積盈余折到初始時刻時的盈余為：

4 總 結

綜上所述，在離散時間風險模型中的利率為折現率這一特征使模型更有現實意義.從本文所討論的模型下得出的關于各個破產指標所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機變量Z的分布函數，就可以利用遞推公式得到保險公司的各個破產指標.

參考文獻

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時間保險風險模型的破產問題[J].應用概率統計，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時間模型下最大赤字問題[J].經濟數學，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經濟數學，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險公司在固定利率下的離散型破產概率[J].數學理論與應用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時間比例再保險模型的破產問題[J].數學雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折現率的條件下研究離散時間風險模型，運用遞推方法和全概率公式，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程并得出結論.

關鍵詞 折現率；離散時間風險模型；破產概率；破產赤字

中圖分類號 F222.3，O211 文獻標識碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風險模型按照收取保費的方式的不同可分為連續模型和離散模型兩種.連續模型采取連續收費的原則，即以時間為連續變化的量連續地收取保費.離散模型采用離散收費的原則，即以一定時間長度為收費的單位區間，在每一個單位區間內只收取一次保費.討論得最多的離散時間模型是將單位時間收取的保費視為常數，每一時期的理賠量視為獨立同分布的隨時機變量的模型[1].文獻[2]對此模型加以推廣把單位時間內的保費收入視為獨立同分布的隨機變量，并將利率因素引入風險模型，以加強模型的現實描述能力.文獻[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時間風險模型，并得到了描述破產嚴重性的破產量：破產前盈余分布，破產前最大盈余分布，破產持續時間分布以及破產前盈余，破產后赤字，破產前最大盈余的聯合分布等.文獻[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時間風險模型，并得到了很好的結果.本文在引入折現率的條件下研究離散時間模型，運用遞推方法，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費收入與理賠支出為隨機變量的離散時間風險模型.假定在所考慮的時間內有固定的折現率δ，u為保險公司初始準備金，保費在每一時期的期初收取，理賠在每一時期的期末支付，則在時刻n保險公司的累積盈余折到初始時刻時的盈余為：

4 總 結

綜上所述，在離散時間風險模型中的利率為折現率這一特征使模型更有現實意義.從本文所討論的模型下得出的關于各個破產指標所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機變量Z的分布函數，就可以利用遞推公式得到保險公司的各個破產指標.

參考文獻

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時間保險風險模型的破產問題[J].應用概率統計，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時間模型下最大赤字問題[J].經濟數學，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經濟數學，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險公司在固定利率下的離散型破產概率[J].數學理論與應用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時間比例再保險模型的破產問題[J].數學雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折現率的條件下研究離散時間風險模型，運用遞推方法和全概率公式，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程并得出結論.

關鍵詞 折現率；離散時間風險模型；破產概率；破產赤字

中圖分類號 F222.3，O211 文獻標識碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風險模型按照收取保費的方式的不同可分為連續模型和離散模型兩種.連續模型采取連續收費的原則，即以時間為連續變化的量連續地收取保費.離散模型采用離散收費的原則，即以一定時間長度為收費的單位區間，在每一個單位區間內只收取一次保費.討論得最多的離散時間模型是將單位時間收取的保費視為常數，每一時期的理賠量視為獨立同分布的隨時機變量的模型[1].文獻[2]對此模型加以推廣把單位時間內的保費收入視為獨立同分布的隨機變量，并將利率因素引入風險模型，以加強模型的現實描述能力.文獻[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時間風險模型，并得到了描述破產嚴重性的破產量：破產前盈余分布，破產前最大盈余分布，破產持續時間分布以及破產前盈余，破產后赤字，破產前最大盈余的聯合分布等.文獻[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時間風險模型，并得到了很好的結果.本文在引入折現率的條件下研究離散時間模型，運用遞推方法，得到了破產前盈余，破產后赤字以及它們的聯合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費收入與理賠支出為隨機變量的離散時間風險模型.假定在所考慮的時間內有固定的折現率δ，u為保險公司初始準備金，保費在每一時期的期初收取，理賠在每一時期的期末支付，則在時刻n保險公司的累積盈余折到初始時刻時的盈余為：

4 總 結

綜上所述，在離散時間風險模型中的利率為折現率這一特征使模型更有現實意義.從本文所討論的模型下得出的關于各個破產指標所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機變量Z的分布函數，就可以利用遞推公式得到保險公司的各個破產指標.

參考文獻

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時間保險風險模型的破產問題[J].應用概率統計，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時間模型下最大赤字問題[J].經濟數學，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經濟數學，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險公司在固定利率下的離散型破產概率[J].數學理論與應用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時間比例再保險模型的破產問題[J].數學雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint