混合分數布朗運動環境下歐式期權定價

陳飛躍等

摘 要 假設股票價格變化過程服從混合分數布朗運動，建立了混合分數布朗環境下支付連續紅利的歐式股票期權的定價模型.利用混合分數布朗運動的It公式，將支付連續紅利的歐式股票期權的定價問題轉化為一個偏微分方程，通過偏微分方程求解獲得了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式股票看漲期權的定價公式.

關鍵詞 混合分數布朗運動，歐式期權，期權定價

中圖分類號 F830.91 文獻標識碼 A

Pricing European Option in the Mixed Fractional

Brownian Motion Environment

CHEN Feiyue1，2，YANG Yong2，GONG Haiwen3

（1.School of business， Central South University，Changsha， Hunan 410083， China；

2. Insurance Professional College， Changsha， Hunan 410114， China； 3. School of mathematics and Computational Science，

Changsha University of Science and Technology， Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract Assuming that the process of stock price follows the mixed fractional Brownian motion，this paper constructed the pricing model for European option of stock paying continuous dividend under mixed fractional Brownian motion environment. The problem of pricing European option of stock paying continuous dividend was changed into the question of partial differential equation by using mixed fractional It formula. The pricing formula of European call option of stock paying continuous dividend in mixed fractional Brownian motion environment was obtained by solving partial differential equation.

Key words mixed fractional Brownian motion；European option；option pricing

1 引 言

歐式期權是一種以股票或其他金融資產為標的資產的合約，其持有者有權利但并非有義務在合約規定的某一特定時間以約定價格買入或賣出某種標的資產.期權具有非線性收益的特征，并兼顧了投資、保值和避險的功能.

期權權定價研究一直是金融工程的核心課題.自從1973年BlackScholes[1]期權定價模型出現以來，其定價理論得到了空前的發展，并取得了豐碩的成果.然而近年來，對資本市場的大量實證研究表明，金融資產（如股票）的對數收益率并非服從正態分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，而且金融資產價格也并非隨機游走，而是存在著長期相關性.由于分數布朗運動（此后記為FBM）是一種高斯過程，其所具有的加法不變性，自相似性、厚尾性以及長期相關性等性質使得FBM成為較好的刻畫金融資產變化過程的工具[2].Duncan[3]等建立了一個關于分數布朗運動的基于Wick乘積的隨機積分，稱為分形It積分，在該積分下，Necula[4]給出了分數布朗運動環境下歐式期權在任意時刻的定價公式.Hu[5]等對Hurst指數H∈（1/2，1）的FBM情形進行了研究，獲得了FBM下的Girsanov公式、ClarkOcone混沌展開公式以及It公式等.Xiao[6]使用等價鞅測度方法研究了帶跳擴散的分數布朗運動下的歐式匯率期權定價問題，并獲得了歐式匯率期權的解析定價公式.我國學者在分數布朗運動下的期權定價研究方面也作出了不少貢獻.肖艷清、鄒捷中[7]將經典模型中的計價單位變換方法推廣到分數布朗運動市場環境，給出了分數布朗運動下期權定價公式的新的推導方法.梅正陽、楊玉孔[8]研究了一類Hurst指數H∈（1/2，1）的分數布朗運動模型，通過鞅測度變換獲得了分數布朗運動下的期權定價控制方程和歐式期權的解析公式.張衛國、肖煒麟、徐偉軍、張惜麗[9]應用風險偏好和均衡定價方法，研究了標的資產服從分數布朗運動下的匯率期權定價問題，給出了分數歐式匯率期權的閉式解.林漢燕[10]運用偏微分方程方法推導了分數布朗運動下支付紅利的歐式看跌期權價格的顯式解.

然而，Bjrk和Hurt[11]研究表明分數布朗運動在刻畫金融資產價格的波動時仍存在一些不足，如基于Wick積分的分數布朗運動在金融中的應用會受到限制，同時定義一個合適的關于分數布朗運動的隨機積分是比較困難的.另外，在金融中應用分數布朗運動的主要問題是分數布朗運動不是一個半鞅.為了避免這些問題，并考慮金融資產價格過程的長記憶特性，使用混合分數布朗運動來刻畫金融資產的波動是合理的[12，13].混合分數布朗運動是一族高斯過程，它是布朗運動與分數布朗運動的線性組合.當參數H>1/2時，混合分數布朗運動是一個特殊的長記憶過程.在經濟學中首次使用混合分數布朗運動的學者是P.Cheriditio[14].最近，Sun[15]研究了混合分數布朗環境中的歐式匯率期權的定價問題，而且實證研究和模擬結果表明混合分數布朗運動定價模型是一個合理的模型.孫玉東、師義民[16]運用混合分數布朗運動的It公式，通過偏微分方程求解獲得了幾何平均型亞式期權看漲期權的定價公式.

目前，運用混合分數布朗運動模型研究期權定價問題的文獻還很少，特別是在國內還尚未有學者做過關于混合分數布朗運動環境下支付紅利的股票期權定價方面的研究.本文探討了股票價格遵循混合分數布朗運動下支付連續紅利的歐式期權定價問題，首先利用混合分數布朗運動的It公式，將股票支付連續紅利的歐式期權的定價問題轉化為一個偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價公式.

2 預備知識

2.1 定義

5 結論與展望

本文采用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化過程，研究了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價模型，通過求解偏微分方程得到了期權定價公式的顯示解，從而將分數布朗運動的期權定價模型進行了改進.但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡化模型而所作的一些假設顯然與現實有出入，且模型中沒有考慮金融市場中人的行為等因素，證券市場實際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現出來，所以模型有待進一步改進和修正.如何將更多的因素統一到定價模型中期待更多的學者深入研究.目前，國外已有學者嘗試采用隨機模糊理論對期權等金融衍生品進行定價，從而為期權定價開辟了新的方法途徑.

參考文獻

[1] F BLACK， M SCHOLES.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-659.

[2] E FAMA.The behavior of stock market prices [J].The Journal Business， 1965，38（1）：34-105.

[3] T E DUNCAN， Y HU， P B DUNCAN.Stochastic calculus for fractional Brownian motion. I： Theory[J].SIAM Journal Control Optim，2000，38（2）：582-612.

[4] C NECULA. Option pricing in Brownian motion environment[R].Working Paper of the Academy of Economic Studies，Bucharest，2002，27（4）：8079-8089.

[5] Y HU，B KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J]Infinite Dimensional AnalysisQuantum Probability and Related Topics，2003，1（6）：1-32.

[6] Weilin XIAO. Pricing currency option in a fractional Brownian motion with jumps [J].Economic Modeling， 2010， 27（8）：935-942.

[7] 肖艷清，鄒捷中等.分數布朗運動環境下的期權定價與測度變換[J].數學的實踐與認識，2008，38（20）：58-62.

[8] 梅正陽，楊玉孔等.基于鞅方法的分數Brown運動模型的期權定價[J].應用數學，2008，21（4）：727-730.

[9] 張衛國，肖煒麟，徐偉軍，張惜麗等.分數布朗運動下歐式匯率期權的定價[J].系統工程理論與實踐，2009，29（6）：68-76.

[10]林漢燕.分數次布朗運動模型下歐式期權定價偏微分方程推導法[J].桂林航天工業高等專科學學報，2010，571（1）：1l0-112.

[11]T BJRK， H HULT， A note on Wick products and the fractional BlackScholes model [J].Finance Stock.2005，32（9）：197-209.

[12]C EI-NOUTY， The fractional mixed fractional Brownian motion [J]. Statistics Probability Letters，2003， 65：111-120.

[13]Y MISHURA. Stochastic calculus for fractional Brownian motions and related processes[M].Berlin：Springer Press， 2008.

[14]P CHERIDITIO，Mixed fractional Brownian motion[J].Bernoulli 2001，41（J）：913-934.

[15]Lin SUN. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A， 2013，392： 3441-3458.

[16]孫玉東，師義民.混合分數布朗運動下亞式期權定價[J].經濟數學，2011，28（1）：49-51.

[17]M ZILI. On the mixed fractional Brownian motion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysts，2006（32435），1-9.

[18]邵宇，刁羽. 微觀金融學及其數學基礎[M].北京：清華大學出版社，2008：663-674.

目前，運用混合分數布朗運動模型研究期權定價問題的文獻還很少，特別是在國內還尚未有學者做過關于混合分數布朗運動環境下支付紅利的股票期權定價方面的研究.本文探討了股票價格遵循混合分數布朗運動下支付連續紅利的歐式期權定價問題，首先利用混合分數布朗運動的It公式，將股票支付連續紅利的歐式期權的定價問題轉化為一個偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價公式.

2 預備知識

2.1 定義

5 結論與展望

本文采用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化過程，研究了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價模型，通過求解偏微分方程得到了期權定價公式的顯示解，從而將分數布朗運動的期權定價模型進行了改進.但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡化模型而所作的一些假設顯然與現實有出入，且模型中沒有考慮金融市場中人的行為等因素，證券市場實際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現出來，所以模型有待進一步改進和修正.如何將更多的因素統一到定價模型中期待更多的學者深入研究.目前，國外已有學者嘗試采用隨機模糊理論對期權等金融衍生品進行定價，從而為期權定價開辟了新的方法途徑.

參考文獻

[1] F BLACK， M SCHOLES.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-659.

[2] E FAMA.The behavior of stock market prices [J].The Journal Business， 1965，38（1）：34-105.

[3] T E DUNCAN， Y HU， P B DUNCAN.Stochastic calculus for fractional Brownian motion. I： Theory[J].SIAM Journal Control Optim，2000，38（2）：582-612.

[4] C NECULA. Option pricing in Brownian motion environment[R].Working Paper of the Academy of Economic Studies，Bucharest，2002，27（4）：8079-8089.

[5] Y HU，B KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J]Infinite Dimensional AnalysisQuantum Probability and Related Topics，2003，1（6）：1-32.

[6] Weilin XIAO. Pricing currency option in a fractional Brownian motion with jumps [J].Economic Modeling， 2010， 27（8）：935-942.

[7] 肖艷清，鄒捷中等.分數布朗運動環境下的期權定價與測度變換[J].數學的實踐與認識，2008，38（20）：58-62.

[8] 梅正陽，楊玉孔等.基于鞅方法的分數Brown運動模型的期權定價[J].應用數學，2008，21（4）：727-730.

[9] 張衛國，肖煒麟，徐偉軍，張惜麗等.分數布朗運動下歐式匯率期權的定價[J].系統工程理論與實踐，2009，29（6）：68-76.

[10]林漢燕.分數次布朗運動模型下歐式期權定價偏微分方程推導法[J].桂林航天工業高等專科學學報，2010，571（1）：1l0-112.

[11]T BJRK， H HULT， A note on Wick products and the fractional BlackScholes model [J].Finance Stock.2005，32（9）：197-209.

[12]C EI-NOUTY， The fractional mixed fractional Brownian motion [J]. Statistics Probability Letters，2003， 65：111-120.

[13]Y MISHURA. Stochastic calculus for fractional Brownian motions and related processes[M].Berlin：Springer Press， 2008.

[14]P CHERIDITIO，Mixed fractional Brownian motion[J].Bernoulli 2001，41（J）：913-934.

[15]Lin SUN. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A， 2013，392： 3441-3458.

[16]孫玉東，師義民.混合分數布朗運動下亞式期權定價[J].經濟數學，2011，28（1）：49-51.

[17]M ZILI. On the mixed fractional Brownian motion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysts，2006（32435），1-9.

[18]邵宇，刁羽. 微觀金融學及其數學基礎[M].北京：清華大學出版社，2008：663-674.

目前，運用混合分數布朗運動模型研究期權定價問題的文獻還很少，特別是在國內還尚未有學者做過關于混合分數布朗運動環境下支付紅利的股票期權定價方面的研究.本文探討了股票價格遵循混合分數布朗運動下支付連續紅利的歐式期權定價問題，首先利用混合分數布朗運動的It公式，將股票支付連續紅利的歐式期權的定價問題轉化為一個偏微分方程，然后通過偏微分方程求解獲得了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價公式.

2 預備知識

2.1 定義

5 結論與展望

本文采用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化過程，研究了混合分數布朗運動環境下支付連續紅利的歐式看漲期權的定價模型，通過求解偏微分方程得到了期權定價公式的顯示解，從而將分數布朗運動的期權定價模型進行了改進.但是，本文提出的模型仍然沒有脫離BlackScholes理論框架，為了簡化模型而所作的一些假設顯然與現實有出入，且模型中沒有考慮金融市場中人的行為等因素，證券市場實際存在的一些約束條件如存在漲跌停板限制以及送股、配股等因素也沒有在模型中體現出來，所以模型有待進一步改進和修正.如何將更多的因素統一到定價模型中期待更多的學者深入研究.目前，國外已有學者嘗試采用隨機模糊理論對期權等金融衍生品進行定價，從而為期權定價開辟了新的方法途徑.

參考文獻

[1] F BLACK， M SCHOLES.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-659.

[2] E FAMA.The behavior of stock market prices [J].The Journal Business， 1965，38（1）：34-105.

[3] T E DUNCAN， Y HU， P B DUNCAN.Stochastic calculus for fractional Brownian motion. I： Theory[J].SIAM Journal Control Optim，2000，38（2）：582-612.

[4] C NECULA. Option pricing in Brownian motion environment[R].Working Paper of the Academy of Economic Studies，Bucharest，2002，27（4）：8079-8089.

[5] Y HU，B KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J]Infinite Dimensional AnalysisQuantum Probability and Related Topics，2003，1（6）：1-32.

[6] Weilin XIAO. Pricing currency option in a fractional Brownian motion with jumps [J].Economic Modeling， 2010， 27（8）：935-942.

[7] 肖艷清，鄒捷中等.分數布朗運動環境下的期權定價與測度變換[J].數學的實踐與認識，2008，38（20）：58-62.

[8] 梅正陽，楊玉孔等.基于鞅方法的分數Brown運動模型的期權定價[J].應用數學，2008，21（4）：727-730.

[9] 張衛國，肖煒麟，徐偉軍，張惜麗等.分數布朗運動下歐式匯率期權的定價[J].系統工程理論與實踐，2009，29（6）：68-76.

[10]林漢燕.分數次布朗運動模型下歐式期權定價偏微分方程推導法[J].桂林航天工業高等專科學學報，2010，571（1）：1l0-112.

[11]T BJRK， H HULT， A note on Wick products and the fractional BlackScholes model [J].Finance Stock.2005，32（9）：197-209.

[12]C EI-NOUTY， The fractional mixed fractional Brownian motion [J]. Statistics Probability Letters，2003， 65：111-120.

[13]Y MISHURA. Stochastic calculus for fractional Brownian motions and related processes[M].Berlin：Springer Press， 2008.

[14]P CHERIDITIO，Mixed fractional Brownian motion[J].Bernoulli 2001，41（J）：913-934.

[15]Lin SUN. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A， 2013，392： 3441-3458.

[16]孫玉東，師義民.混合分數布朗運動下亞式期權定價[J].經濟數學，2011，28（1）：49-51.

[17]M ZILI. On the mixed fractional Brownian motion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysts，2006（32435），1-9.

[18]邵宇，刁羽. 微觀金融學及其數學基礎[M].北京：清華大學出版社，2008：663-674.