淺談微積分在初等數學中的應用

王天予+芮媛媛

摘要：我們用高等數學的思想、觀點、原理和方式方法去認識、理解和解決初等數學中存在的問題，使我們可以進一步地充實初等數學的某些理論的論述深度及內涵，以及可以進一步熟練掌握用初等方法解決問題的技能。微積分是高等數學的重要組成部份，又是初等數學與高等數學相銜接的具體內容的一部分，所以說本文將從微積分的角度簡單地論述高等數學知識對初等數學的指導作用。微積分是數學中的重要組成部分，是研究函數的性質，證明不等式，探求函數的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具。本文通過對微分在解決一些初等函數單調性、求曲線的切線以及幾個初等數學命題的積分證明等問題的討論，為我們解決一些初等數學問題提供了一些新的思想，使微積分對初等數學的指導作用得到具體體現。

關鍵詞：微分；積分；初等數學；應用

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）44-0209-04

1 引言

高等數學是在初等數學基礎上經過一系列數學概念、原理、方法和思想的演變，最終成為一門高度抽象、邏輯嚴密的科學體系。用高等數學的思想、觀點、原理和方法去認識、理解和解決初等數學問題，可以進一步地充實初等數學的某些理論的論述深度，以及進一步熟練地掌握用初等方法解決問題的技能。微積分是高等數學的重要組成部份，又是初等數學與高等數學相銜接的具體內容之一，所以本文將從微積分的角度簡單地論述高等數學知識對初等數學的指導作用。微積分是數學中的重要組成部分，是研究函數的性質，證明不等式，探求函數的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具。微積分的應用為解決數學問題提供了新的思路，新的方法和新的途徑，可以說微積分是打開數學知識大門的一把鑰匙。

2 微積分的應用

2.1微積分的介紹

將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。它既是一門基礎學科，又是一門應用廣泛的學科。要想掌握高等數學的任何一個分支不熟悉微積分是不可能的，因此，研究微積分的一些性質及應用具有很大的必要性。

2.1.1微積分的思想。微積分成為一門學科是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了.公元前3世紀，古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。極限理論作為微積分的基礎早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數無限增大的直線形，圓的面積就是無窮多個三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數學家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》中，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。

2.1.2微積分的創立。由于17世紀工業革命的直接推動，英國科學家牛頓和德國科學家萊布尼茨在許多數學家工作的基礎上創立了微積分，他們為變量建立了一種新型的行之有效的運算規則，去描述因變量在一個短暫瞬間相對于自變量的變化率，以及在自變量的某個變化過程中因變量作用的整體積累，前者稱為微商，后者稱為積分，統稱微積分。此后，數學的發展逐漸出現了一日千里之勢，形成了內容豐富的高等代數、高等幾何、與數學分析三大分支，在此基礎上，還出現了一些其他分支。

2.2微分的應用

2.2.1用微分法判斷初等函數的單調性。用初等方法研究初等函數的單調性，多是用定義或從函數圖像加以判斷的。但對于一些復雜的函數，用定義來判斷其單調性，并不是一件容易的事；而對于一些用初等方法畫不出圖像的函數，要用函數圖像研究它的單調性，更加無從談起。而微分中值定理卻給出了一個研究函數單調性的高等方法。有了微分中值定理對初等函數單調性的研究，求可導函數的單調區間，便可以通過求導的方法來實現，與初等數學方法比較，這種方法既顯得高出一等，又可以解決一些用初等數學的方法無法解決的較為復雜的函數單調性問題。

（1）函數連續的定義。

定義：若函數fx在x■的附近包括x■點本身有定義，并且■ f （x）=f （x■），則稱f（x）在x■連續，或稱x■點是fx的連續點。

（2）導數的定義。

定義：設有函數y=f（x），在x■附近有定義，對應于自變量的任一改變量Δx，函數的改變量為：

Δy=f（x■+Δx）-f （x■），此時，如果極限：■■=

■■存在，則極限值就稱為函數在x■的導數。記為：f'（x■）。

（3）導數的幾何意義。

導數的幾何意義就是曲線y=f（x）在點x的切線斜率。因為f '（x■）表示曲線y=f（x）在x■點的切線斜率，故運用上述切線的一般定義和結論，可以處理與切線有關的許多問題。

（4）拉格朗日中值定理。

定理：若函數f（x）滿足：（i）在[a，b]連續；（ii）在

（a，b）可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使：f'（ξ）=■。

（5）拉格朗日中值定理之推論。

推論：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，如果對于任意的x∈（a，b）有f '（x■）>0，則f（x）在（a，b）內是單調增函數；如果對于任意的x∈（a，b），有f'（x■）<0，則f （x■）在（a，b）內是單調減函數。endprint

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數學中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數的最值和極值證明不等式適用在某區間上成立的不等式，與利用函數的單調性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數F（x）的處理上：利用函數的單調性的證明方法比較的是函數的端點值，而該方法是要考慮函數在區間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數y=f（x）在[a，b]上連續，則函數必在該閉區間上取得最大值和最小值，當函數取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當函數取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構造合適的輔助函數F（x）；

（2）求F（x）在所給區間上的一階導數，從而判別一階導數在此區間上的符號；

（3）根據輔助函數在此區間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結論。

不等式是數學中的重要內容之一，它反映了變量之間很重要的一種關系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現高等數學對初等數學的指導作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數的單調性，極（最）值的判定法，定積分的性質，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應用

2.3.1定積分的定義。設f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數學中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設f（x）在

[a，b]上連續可導，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應用舉例

3.1微分的應用舉例

例1：確定函數f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調區間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數，在（1，2）上是減函數。

例2：已知a∈R，求函數F（x）=x2eax的單調區間

解：∵函數f（x）的導數為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當a=0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（2）當a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當a>0時，函數f（x）在區間-∞，-■內為增函數，在區間-■，0內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當a<0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間0，-■內為增函數，在區間-■，+∞內為減函數。

3.2積分的應用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結束語

綜上所述，利用高等數學的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數學的教學和研究有著很大的指導作用，也可以進一步加深我們對高等數學中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數學教學的教師，只有用高等數學的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態勢，審視初等數學的教學內容，才能使初等數學的教學達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數學教學質量。對于微積分在初等數學中的應用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數學，可以擴大初等數學的應用范圍，初等數學的面貌也就會發生很大的變化。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數學的一些問題[J].河池師專學報（自然科學版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復習魔法數學（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：數學教育。

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數學中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數的最值和極值證明不等式適用在某區間上成立的不等式，與利用函數的單調性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數F（x）的處理上：利用函數的單調性的證明方法比較的是函數的端點值，而該方法是要考慮函數在區間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數y=f（x）在[a，b]上連續，則函數必在該閉區間上取得最大值和最小值，當函數取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當函數取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構造合適的輔助函數F（x）；

（2）求F（x）在所給區間上的一階導數，從而判別一階導數在此區間上的符號；

（3）根據輔助函數在此區間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結論。

不等式是數學中的重要內容之一，它反映了變量之間很重要的一種關系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現高等數學對初等數學的指導作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數的單調性，極（最）值的判定法，定積分的性質，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應用

2.3.1定積分的定義。設f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數學中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設f（x）在

[a，b]上連續可導，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應用舉例

3.1微分的應用舉例

例1：確定函數f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調區間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數，在（1，2）上是減函數。

例2：已知a∈R，求函數F（x）=x2eax的單調區間

解：∵函數f（x）的導數為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當a=0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（2）當a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當a>0時，函數f（x）在區間-∞，-■內為增函數，在區間-■，0內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當a<0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間0，-■內為增函數，在區間-■，+∞內為減函數。

3.2積分的應用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結束語

綜上所述，利用高等數學的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數學的教學和研究有著很大的指導作用，也可以進一步加深我們對高等數學中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數學教學的教師，只有用高等數學的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態勢，審視初等數學的教學內容，才能使初等數學的教學達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數學教學質量。對于微積分在初等數學中的應用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數學，可以擴大初等數學的應用范圍，初等數學的面貌也就會發生很大的變化。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數學的一些問題[J].河池師專學報（自然科學版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復習魔法數學（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：數學教育。

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數學中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數的最值和極值證明不等式適用在某區間上成立的不等式，與利用函數的單調性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數F（x）的處理上：利用函數的單調性的證明方法比較的是函數的端點值，而該方法是要考慮函數在區間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數y=f（x）在[a，b]上連續，則函數必在該閉區間上取得最大值和最小值，當函數取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當函數取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構造合適的輔助函數F（x）；

（2）求F（x）在所給區間上的一階導數，從而判別一階導數在此區間上的符號；

（3）根據輔助函數在此區間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結論。

不等式是數學中的重要內容之一，它反映了變量之間很重要的一種關系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現高等數學對初等數學的指導作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數的單調性，極（最）值的判定法，定積分的性質，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應用

2.3.1定積分的定義。設f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數學中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設f（x）在

[a，b]上連續可導，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應用舉例

3.1微分的應用舉例

例1：確定函數f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調區間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數，在（1，2）上是減函數。

例2：已知a∈R，求函數F（x）=x2eax的單調區間

解：∵函數f（x）的導數為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當a=0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（2）當a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當a>0時，函數f（x）在區間-∞，-■內為增函數，在區間-■，0內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數。

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當a<0時，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間0，-■內為增函數，在區間-■，+∞內為減函數。

3.2積分的應用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區間上一段弧繞x軸旋轉一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結束語

綜上所述，利用高等數學的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數學的教學和研究有著很大的指導作用，也可以進一步加深我們對高等數學中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數學教學的教師，只有用高等數學的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態勢，審視初等數學的教學內容，才能使初等數學的教學達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數學教學質量。對于微積分在初等數學中的應用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數學，可以擴大初等數學的應用范圍，初等數學的面貌也就會發生很大的變化。

參考文獻：

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[2]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數學的一些問題[J].河池師專學報（自然科學版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復習魔法數學（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：初等數學教育研究；王天予（1994-），女，學士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學泰州學院數學科學與應用學院，研究方向：數學教育。